chuyên đề số phức luyện thi đại học

Phân dạng các loại bài tập thường gặp trong lì thi đại học liên quan số phức. Câu hỏi sắp xếp từ cơ bản đến nâng cao đáp ứng yêu cầu về luyện thi đại học. Phần cuối là lời giải chi tiết các câu. Các phương pháp và ví dụ minh họa được trình bày khoa học, logic

Tất cả nội dung tài liệu đều được biên soạn bằng word và chỉnh sửa dễ dàng Có gợi

ý và lời giải chi tiết cho những bài từ trung bình đến khó Tài liệu tách biệt 2 phần: Phần bài tập và Phần lời giải.

Các hình vẽ và công thức khi đăng lên trang 123.doc có sự lệch dòng hoặc sẽ bị mất nét do không phải là file ảnh Nhưng độc giả yên tâm là trong file nó nguyên vẹn, đẹp và đầy đủ

MỤC LỤC Bài 1 Khái niệm số phức

VẤN ĐỀ 1 TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO, ĐIỂM BIỂU DIỄN, MOĐUN, SỐ PHỨC LIÊN HỢP

CỦA SỐ PHỨC CHO TRƯỚC

VẤN ĐỀ 2 TẬP HỢP CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC ( DẠNG ĐƠN GIẢN, CÁC BÀI TOÁN

TẬP HỢP ĐIỂM CÓ LIÊN QUAN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG)

Bài 2 Các phép toán trên số phức

5 Các loại khác, bài toán tập hợp điểm có liên quan diện tích hình phẳng,…)

Bài 3 Phương trình trên tập số phức

Bài 4 Giá trị nhỏ nhất – lớn nhất

Vấn đề 1 Phương pháp đại số ( Đánh giá, Bất đẳng thức, Hàm số,…)

Vấn đề 2: Phương pháp hình học ( Tính chất và tương giao đường thẳng, đường tròn, elip,…)

Vấn đề 3: Lượng giác hóa

Đề thi về số phức qua các kì thi TN THPT đến năm 2019

Gợi ý và Lời giải tất cả các bài tập trong các vấn đề

PHẦN I: CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TƯƠNG ỨNG TỪNG BÀI

BÀI 1 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 1 TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO, ĐIỂM BIỂU DIỄN, MOĐUN, SỐ PHỨC

LIÊN HỢP CỦA SỐ PHỨC CHO TRƯỚC.

Câu 1. Phần thực và phần ảo của số phức z = +1 2i

P=

20192

P=

D P=4

, cho các điểm A, B như hình vẽ bên Trung điểm của đoạn thẳng ABbiểu diễn số phức

2i

−

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Tam giác MNP cân B Tam giác MNP đều

C Tam giác MNP vuông D Tam giác MNP vuông cân

Câu 8. Cho i là đơn vị ảo Gọi S là tập hợp các số nguyên dương n có 2 chữ số thỏa mãn

n i

là sốnguyên dương Số phần tử của S là

Câu 12. Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2x+ + −1 1 2( y i) =2 2( − + −i) yi x

Khi đó giá trị của

A Phần ảo của z là bi B Môđun của

5

x= y=

33;

5

x= y=

C

13;

5

x= y= −

D

11;

Câu 18. Trong mặt phẳng phức, cho điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z Trong các

mệnh đề sau mệnh đề nào là sai?

A z z− =6

B Số phức z có phần ảo bằng 4.C.

5

z = D z = −3 4i

S =

192

S =

232

S =

212

S =

Câu 22. Cho số phức z, biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức z;iz và z i z+  

tạo thànhmột tam giác có diện tích bằng 18 Mô đun của số phức z bằng

3

z =, 3

2

z = và

trên mặt phẳng tọa độ Biết MN =2 2

Gọi H là đỉnh thứ tư của hình bình hành

6 22

z = − +

B

1 652

z = +

C

1 652

z = − +

D

1 654

VẤN ĐỀ 2 TẬP HỢP CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC ( DẠNG ĐƠN GIẢN ).

Câu 1. Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z a bi= +

đối xứng với M qua O

Câu 2. Điểm biểu diễn của các số phức z= +7 bi

Để điểm biểu diễn của z nằm

trong dải (- 2; 2), ở hình 1, điều kiện của a và b là:

Câu 12. Số phức z thỏa mãn điều nào thì có biểu diễn là phần gạch chéo như trên

hình

A Số phức z có phần ảo lớn hơn -1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2.

B Số phức z có phần ảo lớn hơn -1 và nhỏ hơn 2.

C Số phức z có phần ảo lớn hơn hoặc bằng -1 và nhỏ hơn hoặc bằng 2.

D Số phức z có phần ảo lớn hơn hoặc bằng -1 và nhỏ hơn 2.

Câu 13. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn | | 1z <

trên mặt phẳngtọa độ là:

Câu 2. Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z= +(1 i) (2−i)

10092

− D 0

Câu 4. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức

z = z = z =

Mệnh đề nàodưới đây đúng?

−

1

i m

12

i

−

12

i

− +

Câu 14. Cho hai số phức 1

Câu 18. Cho hai số phức 1

Chọn kết luận đúng.

A M thuộc tia Ox B M thuộc tia Oy

C M thuộc tia đối của tia Ox D M thuộc tia đối của tia Oy

Câu 26. Trong tập số phức £, chọn phát biểu đúng?

Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn z+4z = +7 i z( −7)

Khi đó, môđun của z bằng bao nhiêu?

Câu 3. Cho số phức z Gọi A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng (Oxy)

a a

z = − +

C

2 12

a a

z = + +

D

2 42

Câu 16. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

A Hai B Không C Một D Vô số

Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn

m ∈ ÷

D

0

31;

z = Gọi M , N là các điểm biểu diễn cho 1

z

và2

1 z+ là số thực Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là?

A Hai đường thẳng B Parabol C Một Đường thẳng D Đường tròn

Câu 1. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức zthỏa mãn:

;R=2 C I(2; 1− )

;R=4 D I(2; 1− )

là

A Một đường tròn B Một đường thẳng

C Một Elip D Một parabol hoặc hyperbol

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho số phức z thỏa mãn

1 2 3

z− + i =

Tập hợp các điểm biểudiễn cho số phức w z= (1+i)

chạy trên đường nào?

A Một đường thẳng B Một đường parabol.C Một đường tròn D Một đường elip

3

z = Biết rằng tập hợp số phức w= +z i

là một đường tròn Tìm tâm củađường tròn đó

w z= +z

trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn

có phương trình nào dưới đây?

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

2 z− = + +1 z z 2

trên mặt phẳng tọa độ làmột

A đường thẳng B đường tròn C parabol D hypebol

LOẠI 4 TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG ELIP.

Câu 1. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (1+i z) + +2 (1+i z) − =2 4 2

là:

A Đường thẳng B Đường tròn C Elip D Parabol

Câu 2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

z− + + =z

là:

A Đường thẳng B Đường tròn C Elip D Parabol

Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn

P =

LOẠI 5 TẬP HỢP ĐIỂM KẾT HỢP TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG.

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi ( )H

là tập hợp điểm biểu diễn số phức w= +(1 3i z) +2thỏa mãn

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi ( )H

là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn các số phức

BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC.

22

có hai nghiệm phân biệt 1

có bao nhiêu giá trị 0

z− + i

đạt giá trị nhỏ nhất

z − +z =

, với 2

z

cóthành phần ảo dương Cho số phức z thoả mãn 1

−

2016 12

m=

12

m= −

13

Câu 8. Với hai số phức 1

+

7215

+

Câu 5. Cho số phức z thõa mãn

VẤN ĐỀ 3 LƯỢNG GIÁC HÓA.

Câu 1. Cho số phức z thoả mãn

A 10 21 B 6 13

C 5 21 D 2 13

Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn (z+2)i+ +1 (z−2)i− =1 10

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất

PHẦN II: SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI TN THPT ĐẾN NĂM 2019.

1

−1

−

Câu 4. (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho số phức z= +2 i

M  

 ÷

 

(2x−3yi) (+ −1 3i) = +x 6i

với i là đơn vị ảo

52

32

−1

6

Câu 21. (THPT QG 2017 Mã đề 110) Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là

điểm M như hình bên

P

= 2 33

Câu 25. (Đề minh họa lần 1 2017) Cho số phức z thỏa mãn (1 )+i z= −3 i

Hỏi điểm biểu diễn củazlàđiểm nào trong các điểm M N P Q, , , ở hình bên?

A Điểm P B Điểm Q C Điểm M D Điểm N

Câu 26. (Đề minh họa lần 1 2017) Kí hiệu 1 2 3

z =

D

343

z =

Câu 30. (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho số phức z a bi a b= + ( , ∈¡ )

thỏa mãn(1+i z) +2z = +3 2 i

Tính P = +a b

A

1 2

A 4 B 3 C 1 D 2.

Câu 32. (Tham khảo 2018) Cho số phức z a bi a b= + ( , ∈¡ )

thỏa mãn z+ + −2 i z (1+ =i) 0

và1

là sốthuần ảo?

Câu 40. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

P= +

C P=5 2+ 73

D

5 2 732

hay tam giác MNP vuông tại M và không phải tam giác cân.

Ta có

n i

là số nguyên dương khi n=4k

x y

x y

1 0 4

13

4z z +16z z +9z z =48⇔ z z z z3 1 2 3+z z z z1 1 2 3+z z z z2 1 2 3 =48(z3 z1 z z z z2) 1 2 3 48

Xét tam giác OMN ta có

Gọi M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn trong hệ trục tọa độ của các số phức 1

1 652

2< <z 2

và nằm ngoài đường tròn I( )1;0

bán kính r=1

.Diện tích hình phẳng

Theo giả thiết 1

=+ (5 14 ) (3 2 )

w = + − =

.

z + +z z

=

( )1 vì

Ta có:

4 2

1 31

z z z

1 2

i i

−

=+

Với

32

ta được

( )3 673 3

11

i S

i i

=

− − ( )2 336

11

i i

m m

và d ≠0

VẤN ĐỀ 2 TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Gọi

z= +x iy

với ,

x y∈¡

ta có hệ phương trình

( ) ( )

21

x y

a b

=



 =

 Vậy P=2

a b

=



⇔  =

 Vậy a b+ =9

Gọi z x yi= +

, với ,

x y∈¡

Ta có 3 z z+2017(z z− )=48 2016− i 2 ( ) ( )

3z 2017 x yi x yi 48 2016i

3 48

10082.2017 2016

2017

z z

a b

Theo bài ra ta có:

1 2

1 2

123

z z

Đặt z a bi= +

, a

,b∈¡ ⇒ =z a2+b2

Theo đề bài ta có2

a a

Câu 17:

Hướng dẫn giải Chọn B

a b a b

Suy ra a b =1

Trình bày lại

Theo giả thiết

a b b

22

Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT ( )3

4 2

m m

4 2

m m

4 2

m m

−

−10

m

⇔ =

hoặc m= −2

hoặc m= ±6Vậy tổng là 10 2 6 6 8− + − =

.

x y

=



⇔  ≠

 Chọn đáp án D

LOẠI 2 TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRÒN

Gọi M x y( ; )

là điểm biểu diễn số phức

z x yi= + (x y, ∈¡ )

.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w= − + −3 2i (2 i z)

2

x a

LOẠI 3 TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG PARABOL

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

LOẠI 4 TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG ELIP

là điểm biểu diễn của số phức z, F1(−1;1)

là điểm biểu diễn của số phức 1

1

z = − +i

và( )

Viết lại giả thiết:

2 2

2 2

Suy ra ( )H

là phần mặt phẳng giới hạn bởi hình vuông cạnh 16

và hai hình tròn ( )C1

có tâm( )

Cách 1: Phương trình có hai nghiệm phức , thì hai nghiệm phức là hai số

liên hợp của nhau nên

Gọi , ( ) là một nghiệm của phương trình

Ta có:

hoặc Suy ra hoặc Do đó

Vậy

Cách 2: Ta có

Phương trình có hai nghiệm phức thì

Khi đó phương trình có hai nghiệm là và

Diện tích tam giác:

Vậy có chữ số hàng đơn vị là 3

Vì , , không thẳng hàng nên , không đồng thời là số thực, cũng không đồng thời

là số thuần ảo , là hai nghiệm phức, không phải số thực của phương trình

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn thì phải có nghiệmphức Suy ra

Vậy trong khoảng có số

BÀI 4 BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

LIÊN QUAN SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 1 PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ.

Ta có

Cách 2 Ta có

Vậy giá trị lớn nhất của bằng Dấu bằng sảy ra khi

M 0 M A

Gọi là điểm biểu diễn số phức Đặt , và

Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn có tâm , bán kính sao cho biểuthức đạt giá trị nhỏ nhất

Trước tiên, ta tìm điểm sao cho

Ta có

luôn đúng

.Thử trực tiếp ta thấy thỏa mãn

Vì nên nằm ngoài

Vì nên nằm trong

Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi thuộc đoạn thẳng

Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của và đoạn thẳng

Phương trình đường thẳng

Phương trình đường tròn

Tọa độ điểm là nghiệm của hệ hoặc

Thử lại thấy thuộc đoạn

.Dấu “ ” xảy ra khi

Gọi là điểm biểu diễn số phức ta có:

; điểm M nằm trên đường tròn tâm và bán kính bằng 1 Biểu thức trong đó , theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của đạt

z + z

bằng

Câu 6. Chọn B

Gọi với , gọi là điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức Ta

có:

.Như vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm và bán kính

.Gọi , lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức , Dễ thấy thuộc đường tròn Vì nên là đường kính của đường tròn

.Từ đó:

Gọi là điểm biểu diễn số phức , là điểm biểu diễn số phức Từ và suy

ra điểm nằm trên đường tròn tâm và bán kính ; điểm nằm trên đườngtròn tâm và bán kính

Ta có

Đặt với , theo giả thiết

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường thẳng

Gọi , suy ra là tổng khoảng cách từ điểm đến haiđiểm ,

Thấy ngay và nằm cùng phía với Lấy điểm đối xứng với quađường thẳng ta được điểm

Gọi , với Khi đó là điểm biểu diễn cho số phức

Nhận xét rằng , , thẳng hàng và

Cách 1: Gọi là đường trung trực của , ta có

Dấu “ ” xảy ra khi hoặc

Theo giả thiết,

Đặt ,

Do đó ,