Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - Bất đẳng thức pdf

TR NG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003I.

TR NG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003

CHUYÊN 1: PH NG PHÁP CÂN B NG H S TRONG

B T NG TH C CAUCHY

Tr c h t xin nêu ra và ch ng minh b t đ ng th c CauChy d ng t ng quát:

Cho n s không âm: a a1, 2, ,an Khi đó: 1 2

1 2

, n 2,n

n n

n

a a a

a a a n

 

D u “ = “ x y ra a1 a2   an

Ta ch ng minh B T trên b ng ph ng pháp quy n p

Th t v y: V i n = 2: Hi n nhiên B T đúng Ta nh n th y r ng n u B T đúng v i n s thì c ng đúng

v i 2n s vì:

2

1 2 2 ( 1 2 ) ( 1 2 2 ) n 1 2 n 1 2 2 2 n 1 2 2

M t khác, n u B T đúng v i n s thì nó c ng đúng v i ( n – 1) s Th t v y, ta ch c n ch n:

1 2 1 , s=

1

s

1 2 1

n

n

s



ng th c x y ra khi t t c các bi n b ng nhau (đpcm)

Ph ng pháp ch ng minh trên g i là ph ng pháp quy n p CauChy Cách ch ng minh trên quá hay

và quá ng n g n do nhà Toán h c CauChy đ a ra, chính vì th đôi khi ta l m t ng r ng CauChy là

ng i đ u tiên phát hi n ra nó

Th c ra B T trên có tên là B T:AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means)

Trong ch ng trình toán THPT ta th ng s d ng B T trên cho 2 s ho c 3 s không âm

*) i v i 2 s không âm a và b, ta có:

2

a b

ab

 

*) i v i 3 s không âm a, b, c , ta có: 3

3

a b c

abc

 



Xin minh h a ph ng pháp cân b ng h s qua VD d i đây:

VD m đ u: Cho a, b, c d ng CMR: M = 3 2

) (b c

a

3

) (a c

b

3

) (a b

c

c b

a  

(*)

H ng d n

Áp d ng B T CauChy cho 3 s d ng là: 3 2

) (b c

a

c

b 

;

8

c

b 

, ta có:

2

3

)

(b c

a

c

b 

+

8

c

b  

33 3

64

a

=

4

3a

) (b c

a

3a

-4

c

b 

(1)

Hoàn toàn t ng t : 2

3

) (a c

b

4

3b

-4

a

c 

(2) và 2

3

)

c

4

3c

-4

b

a 

(3)

C ng (1), (2) và (3) v theo v , ta có : 3 2

) (b c

a

3

) (a c

b

3

) (a b

c

c b

a  

(đpcm)

D u “ = “ x y ra    a b c

Bình lu n: Cách làm trên r t hay, ng n g n Tuy nhiên có gì đó có v … n may??? C s nào đ áp

TR NG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003

d ng B T CayChy cho 3 s d ng 3 2

) (b c

a

c

b 

;

8

c

b 

? S th nh t đã có, còn 2 s sau l y đâu ra?

Cách làm trên là hoàn toàn có c s Chúng ta đ ý r ng, vai trò c a a, b, c trong bài toán là nh nhau nên d đoán r ng đ ng th c x y ra khi mà a = b = c ( Ki m tra th y đúng) Nhìn vào v ph i thì ch

xu t hi n a + b + c, không có a + b, b + c hay c + a vì th ta c n ngh cách đ kh chúng

Khi a = b = c thì 2

3

) (b c

a

a

Ta c n đi tìm s x sao cho: 3 2

) (b c

a

a

= b c 2a

x x

 

T đó tìm đ c x = 8

Bài 1:Cho a, b, c d ng CMR: 2 2 2

2

 

H ng d n

Ta có:

Bài 2: Cho a, b, c d ng CMR: a2 b2 c2 1 1 1

b  c  a    a b c

H ng d n

      D u “ = “ x y ra    a b c

Bài 3: Cho a, b, c d ng CMR :

bccaab   

H ng d n

Ta có:

 

H ng d n

Ta có:

D u “ = “ x y ra    a b c

H ng d n

Ta th y VP ko còn ch a bi n, VT có b c 1 V y ph i ch ng VP c ng ph i b c 1? Li u VP có th thay

b ng ( a + b + c )/4 ?

TR NG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003

Ta có:

(4 )

a

a b c

D u “ = “ x y ra     a b c 1

Các bài t p trên ch y u các B T c n CM d ng phân th c nên vi c cân b ng h s đ “ gi n c” ko m y khó kh n Tuy nhiên, n u bài toán yêu c u tìm GTLN, GTNN c a m t bi u th c ko

có d ng phân th c nh trên thf làm th nào?

Ta hãy xét m t s bài toán sau đây:

Bài 6: Cho x, y, z > 0 : xy + yz + xz = 1 Tìm GTNN c a bi u th c: M = x2

+ y2 + z2

H ng d n

Bài toán trên là m t bài r tđ n gi n và có nhi u cách làm Ch ng h n có th nêu m t s cách n.sau:

*) Cách 1: 1(xy yz zx)2 (x2y2z2)(x2y2z2)(x2y2 z2 2) x2y2 z2 1

T đó: minM = 1 1

3

*) Cách 2: Ta nh n th y ngay B T c b n: x2

+ y2 + z2  xy + yz + xz = 1

*) Cách 3: Nh n th y vai trò c a các bi n trong đi u ki n và trong bi u th c M là nh nhau nên bi u

th c M đ t GTNN thì x = y = z Do đó ta s phân tích nh sau:

M = x2 + y2 + z2 = 1 2 2 1 2 2 1 2 2

2 x y  2 y z  2 z x xy yz zx 

Ta th y r ng 2 cách đ u tiên s g p khó kh n n u nh h s c a x2

, y2 , z2 trong bi u th c M khác nhau ( c 3 khác nhau t ng đôi m t ho c ch có 2 h s gi ng nhau) Khi đó cách s 3 s gi i quy t t t các kh n ng còn l i Hãy xét m t bài t p mà ch có 2 h s gi ng nhau

Bài 7: Cho x, y, z > 0 : xy + yz + xz = 1 CMR : 15x2 +15y2 + z2  5

H ng d n

¸p dông B§T Cauchy ta cã :

2 2

2 2

2 2

5

5

5













15y2+15y2 + z2 5(xy+yz+xz) =5 ®pcm DÊu “=”

















 11 5 11 1

z y x

TR NG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003

L i gi i trên r t hay, ng n g n Tuy nhiên khi đ c l i gi i ta th y có gì đó không m y t nhiên! T i sao l i ngh đ c tách nh trên đ áp d ng B T Cauchy???

Ta th y r ng, v i x, y, z trong đi u ki n thì vai trò c a chúng là nh nhau, còn trong B T c n CM thì vai trò c a x và y là nh nhau, t c là n u d u “ = “ x y ra thì giá tr c a x, y là nh nhau và khác

giá tr c a z Tuy nhiên, nh m giá tr n c a x, y, z đ d u b ng x y ra bài này l i ko h đ n gi n

chút nào V y làm sao l i tách đ c nh trên ???

Ta chú ý r ng B T trên còn có th vi t l i nh sau: 2 2 2

15x 15y z 5(xy yz zx) Vì th ta c n áp

d ng B T sao cho có th s d ng đ c gi thi t Có x2

, y2, z2đ t o ra xy, yz, Zx ch c ko khó đúng ko? Vì vai trò c a x và y là nh nhau nên ta s ti n hành nh sau:

2 2

(15 ) 2 (15 ) 15 15 2 2 (15 ) 2 (15 )(1 ) (*) (15 ) (1 ) 2 (15 )(1 )

ay axy

a y c z a c yz

  







Gi ta so sánh (*) và 2 2 2

15x 15y z 5(xy yz zx) thì d dàng suy ra a = 5/2, c = 1/2 n đây thì

m i vi c đã đ c sáng t

Bài 10 : Cho a, b, c d ng: 2 2 2

1

a  b  c  CMR:

1

Bài 11 : Cho a, b, c d ng: 2 2 2

1

3 3 3

1 2

Bài 12 :Cho x, y, z d ng tho mãn: xy+yz+zx = 5

TÌm GTNN c a bi u th c M = 28x2

+ 28y2 +z2 Bài 13: Cho x, y , z > 0: xy + yz + zx = 1 Tìm GTNN c a bi u th c: 2 2 2

Bài 14: Cho các s d ng x,y,z sao cho x + y + z= 1 Tìm các giá tr nh nh t:

Ax y z b) 2 2 2

3

Bx y  z c) 2 2 2

Bài 15: Cho x,y,z là các s d ng : xy + yz + zx = 1 Tìm giá tr nh nh t:

a 2 2 2

A x  y z b) 2 2 2

TR NG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003

B t đ ng th c Svacx là h qu tr c ti p c a B T Bunhiacopxki và đ c phát bi u nh sau:

Cho hai dãy s th c a a1, 2, ,anvà b b1, 2, ,bn (bi   0, i 1, 2, n) thì ta có:

2 2

1 2

1 2

i j

a a

i j

b b

Vì là h qu tr c ti p c a B T Bunhiacopxki nên ta s phát bi u và ch ng minh B T Bunhiacopxki Phát bi u: Cho hai dãy s th c a a1, 2, ,anvà b b1, 2, ,bn ta có:

1 1 2 2 1 2 1 2 ( a b  a b   a bn n)  ( a  a   an)( b  b   bn)

D u “ = “ x y ra ai kb ii, 1, 2, n

f x a x b A a C b B a b f x Bx C

+) Tr ng h p 1: N u A = 0 ho c C = 0: B T hi n nhiên đúng

+) Tr ng h p 2: A C ,  0 Do f x( )Ax22Bx      C 0 x ' 0 B2 AC(®pcm)

D u “ = “ x y ra ai kb ii, 1, 2, n( T c là f(x) = 0 )

Ta s ch ng minh B T (*) b ng B T Bunhiacôpxki:

Th t v y, áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki cho hai b s 1 2

1 2

1 2

, , , n µ , ,

n n

a

a a

v b b b

ta đ c B T (*) ng th c x y ra khi i  j ,  

i j

a a

i j

b b

Sau đây là m t s bài t p minh ho cho s ti n l i c a B T Svacx trong vi c ch ng minh B T

Bài s 1:Ch ng minh r ng v i các s d ng a,b,c ta đ u có : (1 1 1)( a    b c ) 9 (1)

a b c

H ng d n

   

 

1 1 1 9

(1)

a b c a b c( luôn đúng theo B T(*)) D u “ = “ x y ra    a b c

Bài s 2: Ch ng minh r ng v i các s d ng a,b,c tho mãn 2  2  2 

1

a b c , ta có:

(2) 2

a bc b ca c ab

H ng d n



    

9 VT

2 2 2

2 2 2

3

2 2 2

(3)

H ng d n

TR NG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003

 

VT

 đpcm D u “ = “ x y ra    a b c

Bài s 4 : Cho các s d ng a,b,c tho mãn abc = 1 CMR :   

2 2 2

3 (4)

H ng d n

 

VT

Ta có:

                 

 

a b c

D u “ = “ x y ra     1 a b c

2 2 2

1

(5)

H ng d n

A

D u “ = “ x y ra    a b c

A

H ng d n

 

4

4 4 4 2 2 2

2

( ® )

a b c

b c a c a b a b c c a b a c b a b c a b c

D u “ = “ x y ra    a b c

A

Bài s 8: ( IMO - 1995 ) Cho a , b , c > 0: abc = 1 CMR:  3   3   3  

(8)

A

a b c b c a c a b

Bài s 9: CMR: V i a, b, c d ng, ta có: A a42  b42  c42   a b c(9)

TR NG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003

Bài s 10: CMR: V i a, b, c d ng, ta có: a23 b23 c23 9

A

  (10) Các bài t p trên ta đã áp d ng B T theo chi u “ ” còn khi “” thì sao?

Ch ng h n v i hai s d ng x, y ta đ u có: 1 1 4

 (*) Tuy nhiên trong m t s bài toán, ch ng

h n: Tìm GTLN c a m t bi u th c thì ta l i ko th dùng B T d ng (*) mà s d ng B T d ng sau đây: 1 1 1( 1)

4

T ng t , đ i v i 3 s d ng x, y , z ta c ng có: 1 1 1( 1 1)

9

 

Bài s 11: Cho x, y, z > 0 sao cho: 1 1 1 4

H ng d n

Ta có:

1

VT

Bài s 12: Cho a, b, c > 0 CMR:

a b c b c a c a b

 

TR NG THPT CHUYấN LÀO CAI Giothoimai2003

Bài 1: Chứng minh rằng x

e >1  x với x  0

Giải Xét hàm số f x = x

e -1 - x liên tục và khả vi với mọi x  0

f, x = x

e -1, f 0 0

nếu x  0 thì ,  x 10

e x

f  f x đồng biến

 f x > f 0  x

e - 1 - x > 0  x

e > 1  x (1) Nếu x  0 thì ,  x 10

e x

f  f x nghịch biến

 f x > f 0  x

e -1- x > 0  x

e > 1  x (2)

Từ (1),(2)  x

e >1  x với x  0 đpcm

Bài 2 : ( ĐH Kiến Trúc Hà Nội )

Chứng minh rằng bất đẳng

2 1

2

x x

ex    đúng với mọi x  0

Giải

e x

2

2

< 0 x  0

e x

x x

2

2

Ta có f, x = x

e

x 1  , , 1 x 0

e x

Do đó f, x nghịch biến trong x0;  f, x < f, 0 =0 với x0;

 f x nghịch biến trong x0;  f x < f 0 0 x  0

e x

2

2

<0 hay

2 1

2

x x

ex    với x  0 đpcm

Bài 3: Chứng minh rằng

6

3

x

x < sin x  x với x  0

Giải

Ta h- ớng dẫn cho học sinh chứng minh bất đẳng thức

 chứng minh











x x x x x sin 6 sin

3 với x  0

Ta chứng minh sin x  x với x  0

Xét f x =sin x - x , f 0 0

 f, x = cos x  1 <0  f x nghịch biến

 f x < f 0 với x  0  sin x - x <o  sin x  x (1)

Ta chứng minh

6

3

x

x < sin x

Xét  

6 sin

3

x x x x

2 1 cos

2

x

x  =g x

 g, x sinxx 0 với mọi x >0  g x đồng biến  g x >g 0 =0

với x  0 hay f, x >0 với x  0  f x đồng biến  f x > f 0 =0 với x  0 

0 6 sin

3





6

3

x

x <sin x với x  0 (2)

TR NG THPT CHUYấN LÀO CAI Giothoimai2003

Từ (1),(2) 

6

3

x

x < sin x  x với x  0 đpcm

Bài 4: Chứng minh rằng sin x tan x

2

2x với

2

0 x 

Giải áp dụng bất đẳng thức côsi: 2sin x 2tan x  sin x tan x

2 2

tan sin 2

tan sin

2 2

.





 x x

x x

 2sin x 2tan x  2 1

tan sin

 x x

Yêu cầu bài toán  Việc chứng minh 2 1 1

tan sin

2



x x

2

tan sin









x x

x

 sin x  tan x  2 x với

2

0 x

xét hàm số f x = sin x  tan x  2 x với

2

0 x

, f 0 0

cos

1 cos

2 cos

1 cos  2   2  2 

x

x x

cos

1 cos

x

(vì cos x  cos2 x với

2

0 x

)

 f, x 0  f x đồng biến  f x  f 0 với

2

0 x

 f x = sin x  tan x  2 x  0

 sin x  tan x  2 x hay 2sin x 2tan x  2x1 với

2

0 x

đpcm

Bài 5: (ĐH D- ợc )

Với

2

0 x

3 tan sin

.

2 2 2

Giải Xét hàm số  

2

3 tan 2

1

x x

x

2





 x o

x

x x

x x

x

2

3 cos 2

1 2

cos 2

cos 2

3 cos 2

1

2

3 cos

1 2

cos 2

cos

33

2   x

x x

 f, x 0 













2

;

0 

x  f x đồng biến trong khoảng











2

;

0 

 f x  f 0  0

2

3 tan 2

1 sin x  x  x  













2

;

0 

x



2

3 tan 2

1

x













2

;

0 

x Đẳng thức xảy ra  x  0

3 tan

2

1 sin tan

sin 2 tan

sin 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2

x x

x x

x x

3 1 tan sin

2

2 2

2

x x















2

;

0 

x Đẳng thức chỉ xảy ra   0

tan sin 2



 x

x x

 x  0 Do đó 2 1

3 tan sin

2

2 2













2

;

0 

x đpcm

TR NG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003

Bài 6 Cho

4

3

0   , Chøng minh r»ng 2 1 3

2 







Bài 7: Chøng minh r»ng víi 0a3 b a1 th×

      

a  b

b a

a b b

a

b a a



















3

3 3

3 3

1 2

2 1 1

2

2

Bài 8 Cho

2

0  

b a

Chøng minh r»ng a sin a  b sin b > 2.cosbcosa

10 tan 6 tan 3 9 tan 5 tan

Bài 10: Cho x yz>0 chøng minh

y

x z x

z y z

y



z y



Bài 11: Chøng minh x x ln1 x x

2

2

víi mäi x  0

x

x x







1 2

2

víi x  0

2

1 sin







 

 x

2

0 x

Bài 14: Cho a,b,c>0 vµ 2 2 2 1





 b c

2

3 3 2 2 2 2 2









c a

c

b c

b

a

TR NG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003

Xin m đ u b ng 2 bài toán sau đây:

Bài toán 1 Cho , 0

1

a b





  

2

P

ab



H ng d n

D u “=” x y ra

a

b







 



1

1

2

2

Bài toán 2 Cho , 0

1

a b





  

2 1

P

ab

H ng d n

L i gi i 1 Ta có: 21 2 1 2 4 2 42 4 2

P

ab

L i gi i 2 Ta có: 21 2 1 1 2 4 2 1 24 1

P

M t khác

P

D u “=” x y ra

1 2 1



  



Bình lu n: Bài toán 1 và bài toán 2 g n nh t ng t nhau, cùng áp d ng b t đ ng th c

a b a b

 L i gi i 1 t i sao sai? L i gi i 2 t i sao l i tách 1 1 1

2ab  6ab 3ab? Làm sao nh n bi t

đ c đi u đó? ó chính là k thu t ch n đi m r i trong b t đ ng th c Và qua chuyên đ này

chúng ta s hi u sâu h n v k thu t “ch n đi m r i” trong vi c gi i các bài toán c c tr

Các b t đ ng th c trong các đ thi thông th ng là đ i x ng v i các bi n, và ta d đoán d u b ng x y

ra khi các bi n b ng nhau và x y ra t i biên

TR NG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003

I K thu t ch n đi m r i trong b t đ ng th c Cauchy

Bài 1:Cho , 0

1

a b





  

ab

Sai l m th ng g p:

*) Sai l m 1:

2ab ab 2ab ab  V y P 4 2 2 nên MinP2(2 2)

*) Sai l m 2:

D u b ng x y ra

2 2

2

1







 



2

a  vào ta đ c b P7

7

MinP

2

a  b Nguyên nhân sai l m:

Sai l m 1: H c sinh ch a có khái ni m “đi m r i”, vi c tách 1 1 1

ab  ab ab là do thói quen đ làm

xu t hi n a2b22ab(ab)2 4 2 2 1 4

2

1

ab









 



D u “=” b t đ ng th c

không x y ra  không k t lu n đ c MinP 4 2 2

Sai l m 2: H c sinh đã có khái ni m đi m r i, d đoán đ c d u b ng khi 1

2

a  nên đã tách các b

s h ng và MinP khi 7 1

2

a  là đúng, nh ng b c cu i h c sinh làm sai ví d nh b

2

(1x)   , d u b ng x y ra khi x x x1 Min(x1)2x1??.

L i gi i đúng: Do P là bi u th c đ i x ng v i ,a b , ta d đoán MinP đ t t i a  , ta có:b 12

4 2

TR NG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003

D u b ng x y ra

2 2

2

1







 



Bài 2: Cho , 0

1

a b





  

Sai l m th ng g p:

3

S

3

2



3 MinS 

Nguyên nhân sai l m:

59

3

1

  



  



L i gi i đúng

Ta d đoán d u b ng x y ra khi a  , và ta th y b 12 a3b33a b2 3ab2 (a b )3 vì th ta mu n

xu t hi n (a b )3; ta áp d ng b t đ ng th c cho 3 s 31 3 12 1 2

đ ng th c cho 5 s :

3

4

S

D u b ng x y ra khi a  b 12

II K thu t ch n đi m r i trong b t đ ng th c BCS.

Bài 3 Cho , ,x y z là ba s d ng và x   , chy z 1 ng minh r ng:

Nh n xét: chúng ta có th dùng b t đ ng th c Cauchy nh ph n 1

2