CHỦ ĐỘNG GIẢM THIỂU SỐ BIẾN TRONG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

Vậy bđt ban đầu được cminh.

CHỦ ĐỘNG GIẢM THIỂU SỐ BIẾN TRONG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

Trong quá trình giải toán - một trong các hướng làm đơn giản bài toán là làm giảm thiểu số biến ,yếu tố tham gia bài toán

Bài 1: " Với a > 0 , b > 0 - chứng minh :

4ab (3- a ) - 4a ( 1+ b2 ) ≤ b "

1+ b2≥ 2b (bđt Cô Si ) ⇒ -4a (1+ b2) ≤ -4a.2b (vì a > 0 )

Ta đi cminh bđt chặt hơn bđt ban đầu :

4ab (3- a ) - 4a.2b ≤ b ⇔ 4a (3- a ) - 8a ≤ 1 ( là bđt chỉ có 1 biến) ⇔ 4a2 - 4a +1 ≥ 0 ⇔ (2a- 1 )2≥ 0 (đúng )

Vậy bđt ban đầu được cminh

Dấu "=" xảy ra ⇔ b2= 1, 2a -1= 0 (a > 0 ,b > 0)⇔ a= 1/2 , b =1

Bài 2 :Cho x, y, z > 0 và x+y +z = 1 Chứng minh :

x+ 2y + z ≥ 4(1- x) (1 - y) (1- z) Nhận xét : Bđt cần cminh tương đương

1+ y ≥ 4 (1- x) (1-y) (1-z) Ta có x,z có vai trò như nhau nên có lẽ dấu bằng xảy ra khi x = z → ta mạnh dạn đánh giá :

4 (1- x) (1-z) ≤ [(1-x )+ (1-z)]2 (dấu bằng xảy ra khi x = z )

= ( 1+ y )2 (suy từ gt x+y +z = 1) **

Từ gthiết ta có x,y,z ∈ (0,1)

** ⇒ 4(1- x) (1 - y) (1- z) ≤ ( 1+ y )2(1-y)

Ta cminh bđt chặt hơn bđt ban đầu : ( 1+ y )2(1-y) ≤ 1+y ( bđt chỉ theo một biến ) ⇔ 1-y2≤ 1 ( vì

0 < y < 1) Bđt cuối cùng là đúng ⇒ bđt ban đầu được cminh

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = z ,y =1 ( x+y +z = 1) ⇔ x = z = 0 , y = 1

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

ab

b a b a

2

2 + + > >

Đặt x =

ab

b

a2+ 2 ,

Ta có a > 0, b > 0 ⇒

ab

b

a2+ 2 ≥ 2 ⇒ x ≥ 2 Khi đó M = x + 1/x = f (x) vứi x ≥ 2 ( M là biểu thức theo 1 biến x )

f '(x) = 1 - 1/x2 > 0 với x ≥ 2

⇒ f(x) tăng trên [2; +∞) ⇒ min M = minf(x) = f(2) = 5/2

Bài 4: a,b,c∈ (0,1] -chứng minh :

(1 a)(1 b)(1 c)

3

1 c b a

+

+

(đề thi hs giỏi lớp 12 - Quảng nam ) Giữa 2 biểu thức a+b+c và (1-a) (1-b) (1-c) có bđt liên hệ :

3 − − − ≤ − + − + − = − + +

(bđt Cô Si ) Ta đi cminh bđt chặt hơn bđt ban đầu :

c b

a

1

+

3

c b a 3











(♦ ) (đã làm giảm đi một số biến "1-a'' ,''1-b'' , ''1-c '' )

Đặt S = a+b+c , 0 < S ≤ 3 Bđt (♦ ) viết lại :

3

S 3 S S 3 9 3

S 3 S

S









 −

≥

−

⇔(3−S) [9−S(3−S)2]≥ ***là bđt chỉ theo một biến

Vì 3-S ≥ 0 , để cminh *** ta cminh 9 - S(3-S)2≥ 0 với 0 <S ≤ 3

Ta có :

S(3-S)2 =

3 2

3

) S 3 )(

S 3 ( S 2

1 ) S 3 ( S 2

1











≤

− = 4 ( bđt Cô si) ⇒ 9 - S(3-S)2≥ 9 - 4 > 0 ⇒.*** được cminh ⇒ bđt (♦ ) được cminh ⇒ bđt ban đầu được cminh

Dấu '' = ''xảy ra ⇔1-a =1-b = 1-c , S = a+b+c = 3 ⇔ a = b = c =1

@ Bài tập đề nghị :

1/ Chứng minh với mọi x ta có : | sin3x +cosx | < 5/4

2/ Chứng minh với 0 < x < π/2 thì 3x - x3 <

x sin 2 3/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

P = sin

2

C sin 2

B sin

2

A