Một số PP giải bài toán Bất đẳng thức

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Học sinh:Nguyễn Ngọc Toàn Lớp :Chuyên Toán khóa 20082011 Lời nói đầu. BĐT là một vấn đề khá quan trọng của toán học.Càng ngày vấn đề này càng được khai thác sâu hơn.Chính vì đó phương pháp giải cũng rất đa dang phong phú và ngày càng phức tạp.Cũng như tất cả mọi bài toán, để giải quyết tốt thì trước hết chúng ta cần nắm vững lí thuyết và phương pháp giải bắt đầu từ cơ bản mà nâng cao dần lên.Hiểu và làm được điều đó, tất yếu chúng ta sẽ thu được kết quả tốt trong mảng này cũng như mọi vấn đề khác. Đó là lí do tôi quyết định làm chuyên đề về vấn đề BĐT này. Chuyên đề này chắc chắn còn nhiều thiếu sót, mong các bạn thông cảm và có ý kiến chỉnh sửa để nó được hoàn thiên hơn. Xin cám ơn A.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP: I.Phương pháp BĐT thông dụng 1.Phương pháp. a.BĐT cauchy: Với n số thực không âm: x. 1 , x 2 , …,x n ( 1, ; 2n n n∈ ≥ ) Ta luôn có: 1 2 n 1 2 x x x . n n n x x x+ + + ≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 2 x x x n = = = b.Bất đẳng thức schwartz. Với 2n số thực tùy ý : ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; ; ; 2 ; ; ; ; n n a a a a n b b b b  ≥   Ta luôn có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 n n n n a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 1 2 2 ; ; ; n n a kb a kb a kb= = = c.Bất đẳng thức Bernoulli mở rộng: 1+a >0 thì ( ) ( ) n 1 a 1 ; 1na n R n+ ≥ + ∀ ∈ ≥ Dấu đăng thức xảy ra khi : 1; 0; ; 1 n a R a n R n = ∀ ∈   = ∀ ∈ ≥  2.Bài tập cơ bản: Cho a,b là 2 sô thực thỏa mãn: 2 2 1a b+ = chứng minh 8 8 1 8 a b+ ≥ Nguyễn Ngọc ToànChuyên Toán 0811 1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Giải: Áp dụng bất đẳng thức schwartz ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 4 2 2 2 4 4 4 4 8 8 2 2 8 8 1 . 1 1 1 1 . 1 1 2 4 1 8 a b a b a b a b a b a b = + ≤ + + ⇒ ≤ + ⇒ ≤ + ≤ + + ⇒ ≤ + ⇒ ĐPCM II.Phương pháp phản chứng chứng minh bất đẳng thức: 1.Phương pháp: Một mệnh đề chỉ có chân trị hoặc là đúng hoặc là sai mà không thể đồng thời vừa đúng hoặc vừa sai. Muốn chứng minh mệnh đề đúng, ta chứng minh nó không sai. Nói cách khác, nếu giả sử mệnh đề mà sai thì sẽ dấn tới một điều vô lí. Chứng minh bằng phản chứng gồm ba bước: Bước 1: Giả định: Giả sử mệnh đề cần chứng minh là sai. Bước 2: Truy nguyên: từ giả sử mệnh đề là sai ta suy diễn tới một điều vô lí với một mệnh đề toán học đã được chứng minh hoặc 2 kết quả trái ngược nhau. Bước 3: Kết luận: Điều vô lí chứng tỏ rằng mệnh đề cần chứng minh phải đúng. 2.Bài tập cơ bản: Cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn đồng thời: ( ) ( ) ( ) 0 1 0 2 1 1 1 0 3 abc ab bc ca ab bc ca   <   + + >    + + >   Chứng minh cả 3 số a,b,c đều âm. Giải: Từ (1) suy ra 1 trong ba số a,b,c phải có một số âm. Giả sử a 0 0bc < ⇒ > ⇒ b và c cùng dương hoặc cùng âm. Nếu b và c cùng dương thì từ (3) suy ra: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 0 2 0 a b c a b c abc a b c a b c b c ab ac b bc c ab bc ca b bc c + + > ⇒ + + < ⇒ < − + ⇒ + < − + ⇒ + < − − − ⇒ + + < − − − < Vô lí vì trái với giả thiết ab+bc+ca > 0 Điều đó vô lí chứng tỏ b,c cùng âm. Vậy a,b,c âm. III.Phương pháp quy nạp toán học chứng minh bất đẳng thức. 1.Phương pháp: Nguyễn Ngọc ToànChuyên Toán 0811 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Cơ sở của phương pháp quy nạp để chứng minh một BĐT đúng với mọi sô tự nhiên thuộc tập con D của tập số tự nhiên N, mà n 0 là phần tử nhỏ nhất của tập con đó ta thực hiện 3 bước quy nạp như sau: Bước 1: Chứng minh BĐT đúng với n=n 0 . Bước 2: Giả sử BĐT đúng với số tự nhiên 0 k n≥ từ đó ta chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n=k+1. Bước 3: Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi sô tự nhiên n của tập D. 2.Bài tập cơ bản: Với giá trị nào của số tự nhiên n bất đẳng thức sau đúng: 2 2 1 n n≥ + Giải: n=0 suy ra 0 2 2.0 1 1> + = (sai) n=1 suy ra 1 2 2.1 1 3> + = (sai) n=2 suy ra 4>5 (sai) n=3 suy ra 8>7 (đúng) n=4 suy ra 16>9 (đúng) Giả sử B Đ T đúng với n=k>2 tức là 2 k >2k+1 Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n=k+1 tức là 2 k+1 > 2.(k+1)+1 Thật vậy ta có 2 2 k ≥ với mọi 1k ≥ theo giả thiết quy nạp 2 k + 2 k > 2k+1+2 ( ) 1 2 2 1 1 k k + ⇒ > + + Vậy bất đẳng thức đúng với n=k+1 Kết luận 2 n > 2n+1 với mọi n > 2 IV.Phương pháp lượng giác chứng minh bất đẳng thức: 1.Phương pháp. Phương pháp này thường được sử dụng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức mà các chữ bị ràng buộc được với nhau bởi các điều kiện nhất định chẳng hạn: Nếu có hệ thức x 2 + y 2 =1 thì có thể đặt : x=cosa và y=sina Nếu có hệ thức xy=1 thì có thể đặt x=tana và y=cota. 2.Bài tập cơ bản: Cho 4 số thực x, y, u, v thõa mãn x 2 + y 2 = u 2 + v 2 = 1 Chứng minh rằng ( ) ( ) 2 2u x y v x y− ≤ − + + ≤ Giải : Đặt cos cos à sin sin x a u b v y a v b = =     = =   Khi đó Nguyễn Ngọc ToànChuyên Toán 0811 3 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos sin sin cos sin os sin 2 os 4 u x y v x y b a a b a a c a b b a c b a π − + + = − + +   = − + − = − −  ÷   Do đó : ( ) ( ) 2u x y v x y− + + ≤ vì ( ) ( ) os 1 2 2 4 c b a u x y v x y π   − − ≤ ⇒ − ≤ − + + ≤  ÷   ⇒ ĐPCM V.Phương pháp đổi biến chứng minh bất đẳng thức : 1.Phương pháp đổi biến : Cơ sở của phương pháp đổi biến là thực hiện việc tách một phân thức trong bất đẳng thức của giả thiết thành tổng của nhiều phân thức ; để áp dụng được các phương pháp khác( làm mất tổng ở mẫu) để tiếp tục chứng minh bất đẳng thức. Ở đây cũng không loại trừ khả năng : Khi nhìn thấy một phần tử chung trong bất đẳng thức ở giả thiết, ta thực hiện phép đổi biến để đại số hóa bất đẳng thức đang cần chứng minh ; và cũng tiếp tục chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp khác. 2.Bài tập cơ bản : Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác : Chứng minh : ( ) 3 1 a b c b c a a c b a b c + + ≥ + − + − + − Giải : Đặt 2 2 2 b c a x c x y c b a y a y z a b c z b z x + − = = +     + − = ⇒ = +     + − = = +   Ta có x, y,z dương ; khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành : 1 2 2 2 2 y x z x x y x y z x z y z y z y x x z y z       + + +   + + = + + + + +    ÷  ÷  ÷         Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có 6 1 6 . . . . . 3 2 2 2 2 x y z x z y x y y z x z z y x y x z y z x + + + + + ≥ = ⇒ ĐPCM B.MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1:(ĐH KT cần thơ 1979)Giả sử x,y,z là 3 số thực bất kì hãy chứng minh: 2 2 2 0x y z xy yz zx+ + − − − ≥ Bài 2:(ĐH 1979) Chứng minh rằng: 1.Với 0x ∀ ≥ ta có: 1 2x x+ ≥ Nguyễn Ngọc ToànChuyên Toán 0811 4 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC 2. Với ( ) 0, 1, i x i n∀ ≥ = ta có: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 2 n n n x x x x x x+ + + ≥ Bài 3: (ĐH 1980) Cho 3 số thực a, b, c với a, b khác 0 và a+b+c=0 1.Chứng minh rằng: 3 3 3 3a b c abc+ + = 2.Nếu thêm điều kiện c=2n với n nguyên dương chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 3 a b c n a b c + + = + − Bài 4:(ĐH ngoại thương TPHCM 1991) Cho các số dương 1 2 1 2 , , , ; , , , n n x x x y y y chứng minh răng: ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 n n n n n n n x y x y x y x x x y y y+ + + ≥ + Bài 5:( ĐH sư phạm Vinh 1997) Chứng minh rằng với a,b,c,d,e là các số thực nằm trong khoảng (0,1) thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1a b c d e a b c d e− − − − − > − − − − − Hãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn của bài trên. Bài 6: (ĐH Huế 1997) Cho 2 số không âm b,c. Chứng minh rằng tồn tại 1 số 0,1k ∈ sao cho với mọi số a mà a b c ≤ + ta đều có ka b c ≤ + và ( ) 1 k a c− ≤ Bài 7:(ĐH an ninh Hà Nội Khối A 1989) Chứng minh rằng với mọi sô nguyên dương 2n ≥ ta đều có: 1 2 1 3 n n   < + <  ÷   Bài 8:(IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. CM: 1 1 1 1 1 1 1a b c b c a     − + − + − + ≤  ÷ ÷ ÷     Bài 9: ( IMO 1995) Cho a,b,c là các số thực dương sao cho abc=1. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 1 3 2a b c b a c c a b + + ≥ + + + Bài 10:(THTT 101998)Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện : 1a b c+ + = .Tìm giá trị nhỏ nhất của: 2 2 2 1 1 1 1 P a b c ab bc ca = + + + + + Nguyễn Ngọc ToànChuyên Toán 0811 5 . học.Càng ngày vấn đề này càng được khai thác sâu hơn.Chính vì đó phương pháp giải cũng rất đa dang phong phú và ngày càng phức tạp.Cũng như tất cả mọi bài toán, để giải quyết tốt thì trước

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Học sinh:Nguyễn Ngọc Toàn

Lớp :Chuyên Toán khóa 2008-2011

Lời nói đầu.

BĐT là một vấn đề khá quan trọng của toán học.Càng ngày vấn

đề này càng được khai thác sâu hơn.Chính vì đó phương pháp giải cũng rất đa dang phong phú và ngày càng phức tạp.Cũng như tất cả mọi bài toán, để giải quyết tốt thì trước hết chúng ta cần nắm vững lí thuyết và phương pháp giải bắt đầu từ cơ bản mà nâng cao dần

lên.Hiểu và làm được điều đó, tất yếu chúng ta sẽ thu được kết quả tốt trong mảng này cũng như mọi vấn đề khác

Đó là lí do tôi quyết định làm chuyên đề về vấn đề BĐT này Chuyên đề này chắc chắn còn nhiều thiếu sót, mong các bạn thông cảm và có ý kiến chỉnh sửa để nó được hoàn thiên hơn.

Xin cám ơn!!!

-A.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP:

I.Phương pháp BĐT thông dụng

1.Phương pháp.

a.BĐT cauchy:

Với n số thực không âm: x.1, x2, …,xn( n 1, ;n n 2)

Ta luôn có: x 1 x 2 x n n 1 2

n

Dấu đẳng thức xảy ra khi x 1  x 2  x  n

b.Bất đẳng thức schwartz

Với 2n số thực tùy ý : 1 2 3  

1 2 3

; ; ; ;

2

; ; ; ;

n n

n









1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n

Dấu đẳng thức xảy ra khi a1 kb a1 ; 2 kb2 ; ;a n kb n

c.Bất đẳng thức Bernoulli mở rộng:

1+a >0 thì 1 a  n   1 na n R n;  1

Dấu đăng thức xảy ra khi : 1;

  



    



2.Bài tập cơ bản:

Cho a,b là 2 sô thực thỏa mãn: a2 b2  1chứng minh 8 8 1

8

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức schwartz ta có:

2

2

8 8

1 1

1

8

 ĐPCM

II.Phương pháp phản chứng chứng minh bất đẳng thức:

1.Phương pháp:

Một mệnh đề chỉ có chân trị hoặc là đúng hoặc là sai mà không thể đồng thời vừa đúng hoặc vừa sai Muốn chứng minh mệnh đề đúng, ta chứng minh nó không sai Nói cách khác, nếu giả sử mệnh đề mà sai thì

sẽ dấn tới một điều vô lí Chứng minh bằng phản chứng gồm ba bước: -Bước 1: Giả định: Giả sử mệnh đề cần chứng minh là sai

-Bước 2: Truy nguyên: từ giả sử mệnh đề là sai ta suy diễn tới một điều

vô lí với một mệnh đề toán học đã được chứng minh hoặc 2 kết quả trái ngược nhau

Bước 3: Kết luận: Điều vô lí chứng tỏ rằng mệnh đề cần chứng minh phải đúng

2.Bài tập cơ bản:

Cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn đồng thời:

 

 

 

0 1

0 2

0 3

abc

ab bc ca

ab bc ca



 



  







Chứng minh cả 3 số a,b,c đều âm

Giải:

Từ (1) suy ra 1 trong ba số a,b,c phải có một số âm

Giả sử a 0   bc  0 b và c cùng dương hoặc cùng âm

Nếu b và c cùng dương thì từ (3) suy ra:

     2

a b c

a b c abc

 

    

        

Vô lí vì trái với giả thiết ab+bc+ca > 0

Điều đó vô lí chứng tỏ b,c cùng âm

Vậy a,b,c âm

Cơ sở của phương pháp quy nạp để chứng minh một BĐT đúng với mọi sô tự nhiên thuộc tập con D của tập số tự nhiên N, mà n0 là phần

tử nhỏ nhất của tập con đó ta thực hiện 3 bước quy nạp như sau:

Bước 1: Chứng minh BĐT đúng với n=n0

Bước 2: Giả sử BĐT đúng với số tự nhiên k n 0 từ đó ta chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n=k+1

Bước 3: Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi sô tự nhiên n của tập D

2.Bài tập cơ bản:

Với giá trị nào của số tự nhiên n bất đẳng thức sau đúng: 2n  2n 1

Giải: n=0 suy ra 2 0  2.0 1 1   (sai)

n=1 suy ra 2 1  2.1 1 3   (sai)

n=2 suy ra 4>5 (sai)

n=3 suy ra 8>7 (đúng)

n=4 suy ra 16>9 (đúng)

Giả sử B Đ T đúng với n=k>2 tức là 2k>2k+1

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n=k+1 tức là 2k+1 > 2.(k+1)+1 Thật vậy ta có 2k 2

 với mọi k 1theo giả thiết quy nạp 2k + 2k > 2k+1+2

 

1

2k 2 k 1 1

    Vậy bất đẳng thức đúng với n=k+1

Kết luận 2n > 2n+1 với mọi n > 2

IV.Phương pháp lượng giác chứng minh bất đẳng thức:

1.Phương pháp.

Phương pháp này thường được sử dụng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức mà các chữ bị ràng buộc được với nhau bởi các điều kiện nhất định chẳng hạn:

-Nếu có hệ thức x2 + y2 =1 thì có thể đặt :

x=cosa và y=sina

-Nếu có hệ thức xy=1 thì có thể đặt x=tana và y=cota

2.Bài tập cơ bản:

Cho 4 số thực x, y, u, v thõa mãn x2 + y2 = u2 + v2 = 1

Chứng minh rằng  2 u x y  v x y    2

Giải :

Đặt cos à cos

v

Khi đó

       

cos cos sin sin cos sin

4

Do đó : u x y  v x y    2

4

c b a      u x y v x y 

 ĐPCM

V.Phương pháp đổi biến chứng minh bất đẳng thức :

1.Phương pháp đổi biến :

Cơ sở của phương pháp đổi biến là thực hiện việc tách một phân thức trong bất đẳng thức của giả thiết thành tổng của nhiều phân thức ; để

áp dụng được các phương pháp khác( làm mất tổng ở mẫu) để tiếp tục chứng minh bất đẳng thức Ở đây cũng không loại trừ khả năng : Khi nhìn thấy một phần tử chung trong bất đẳng thức ở giả thiết, ta thực hiện phép đổi biến để đại số hóa bất đẳng thức đang cần chứng minh ; và cũng tiếp tục chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp khác

2.Bài tập cơ bản :

Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác :

b c a a c b a b c        

Giải :

Đặt

2 2 2

      

Ta có x, y,z dương ; khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành :

1

         

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có

6

1

6 3

B.MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1:(ĐH KT cần thơ 1979)Giả sử x,y,z là 3 số thực bất kì hãy chứng

minh: x2 y2 z2  xy yz zx   0

Bài 2:(ĐH 1979) Chứng minh rằng:

2 Với  x i 0,i 1,n ta có:

1 1 1 2  1  2n 1 2

Bài 3: (ĐH 1980) Cho 3 số thực a, b, c với a, b khác 0 và a+b+c=0

1.Chứng minh rằng: a3 b3 c3  3abc

2.Nếu thêm điều kiện c=-2n với n nguyên dương chứng minh rằng:

3 3 3

n

 



 

Bài 4:(ĐH ngoại thương TPHCM 1991)

Cho các số dương x x1 , , , ; , , , 2 x y y n 1 2 y n chứng minh răng:

 1 1  2 2   n 1 2 n 1 2

n

Bài 5:( ĐH sư phạm Vinh 1997) Chứng minh rằng với a,b,c,d,e là các số

thực nằm trong khoảng (0,1) thì:

1  a 1  b 1  c 1  d 1  e  1 a b c d e   

Hãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn của bài trên

Bài 6: (ĐH Huế 1997) Cho 2 số không âm b,c

Chứng minh rằng tồn tại 1 số k 0,1 sao cho với mọi số a mà a b c  ta đều có ka b c  và 1 k a c  

Bài 7:(ĐH an ninh Hà Nội Khối A 1989) Chứng minh rằng với mọi sô

nguyên dương n 2 ta đều có: 2 1 1 3

n

n

   

Bài 8:(IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1 CM:

Bài 9: ( IMO 1995)

Cho a,b,c là các số thực dương sao cho abc=1

Chứng minh: 3  3  3 

2

Bài 10:(TH&TT 10/1998)Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều

kiện :

1

2 2 2

P

 