ĐỀ THI TÍCH PHÂN

Nếu vẽ đồ thị thì phần phía trên trục hoành dương nên không đổi dấu, phần đồ thị dưới trục hoành âm nên đổi dấu... Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục

2) Định lý : Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì:

⋅ Với mọi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 nguyên hàm của ƒ(x) trên K

⋅ Ngược lại, nếu G(x) là 1 nguyên hàm của ƒ(x) trên K thì tồn tại một số C sao cho G(x) = F(x) + C

x dx x

91

x dx x

1sin xcos x

d) ƒ(x) = sin 5 cos3x x e) ƒ(x) = tan x2 g) ƒ(x) = e 3 2 x− h) ƒ(x) = 1

(1−x)(1 2 )− x

 Hướng dẫn :

d) (1∫ −x d) (sin )x = (1−x)sinx+∫sinxdx = (1−x)sinx−cosx C+

II BÀI TẬP SGK NÂNG CAO:

1) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

3 2

3) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:

Nguyên hàm của hàm số y = xsinx là:

4) Khẳng định sau đúng hay sai ? Nếu ƒ(x) = (1− x)/thì ∫ f x dx( ) = – x + C

 Hướng dẫn : Đúng vì – x là một nguyên hàm của ƒ.

5) Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) ƒ(x) =

2 3

91

x x

1

5x+4 c) ƒ(x) = x41−x2 d) ƒ(x) = ( )2

11

x C

+

7) Dùng phương pháp đổi biến số và từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) ƒ(x) =

5 3 2

118

118

8) Dùng phương pháp đổi biến số và từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

2x x+2x x−4∫ xd x = 1 2sin 2 1 cos 2 1sin 2

b) ∫ xlnxdx= 2∫xlnxd( )x = 2 x3lnx−2∫ x(lnx+1)dx= 2 x3lnx−2∫ xlnxdx−2∫ xdx ⇒ 3ln

x C

x C

ln415) ∫2 (x x2+1)3dx= ∫(x2+1) (3d x2+1) =

−

=+

=

x x

d x x x

x

xdx x

x

dx

1

ln2

1)()1

11(2

1)1()

1

2 2

2 2 2

2 2

§2 TÍCH PHÂN

I Khái niệm tích phân:

1) Định nghĩa : Cho hàm số ƒ(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K Nếu F(x) là một nguyên hàm

của ƒ(x) trên K thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số ƒ(x) hay tích phân xác

định trên đoạn [a; b] của hàm số ƒ(x), ký hiệu ( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

e

dx e

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:

1) Phương pháp đổi biến số:

1 1

t x

t x

 VD3 : Tính I =

1

0

(1 )1

x x

dx xe

++

2

dx x

−

∫ Đặt x = sint ⇒ dx = costdt Đổi cận:

1

62

t x

π

 VD3 : Tính I =

1 2 0

0 0

1( 1)dx

2

1 3( 1)

x dx x

−+

dx e

+

1

2 0

x x

dx xe

++

=

++

ln1

e x

e x

a)

2 0

(1 3 )+ x dx

1 3 2 2 0

11

x dx x

−

−

2 2 1

ln(1 x)

dx x

1

(1 3 ) (1 3 )

3∫ + x d + x =

1 5 2 0

2(1 3 )

1

6 0

tancos

x dx x

41

x dx

= 12

π

64) Dùng phương pháp tính tích phân từng phần tính các tích phân sau:

7) Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = sin x

x trên khoảng (0; +∞) Khi đó

3

1

sin 2x

dx x

∫ = F(6) – F(2)8) Chứng minh rằng

1(ln )x dx x

3

2 0

13

(ln ) (ln )x d x

3 3 1

1(ln )

3

(ln 3)3c)

3

2 0

x

e d x

1 3 0

19

0

ln 1 sin x+ π = ln211) Tính các tích phân sau:

x dx x

π π

0 0

=+

=+

0220

2

42

0

C B A A

C

C B

B A

2 2

31

t x

1

4

t x

−

16

xdx dt

2 0

x dx x

π

π+

x dx x

t x

t x

38) Tính 2

dx I

1 1

t t

t t

ππ

6 3

2

x dx x

00

t x

t x

π =π =π

π π

π π

t x

t x

t e

x e

t x

§3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

I Diện tích hình phẳng:

1) Diện tích hình thang cong :

a) Định nghĩa : Hàm số y = ƒ(x) liên tục trên đoạn [a; b], hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = ƒ(x) và các đường y = 0 (trục hoành Ox), x = a, x = b được gọi là hình thang cong (H) có diện tích là:

y f x y H

 Bước 2: Lập bảng xét dấu hàm số ƒ(x) trên đoạn [a; b] Nếu vẽ

được đồ thị thì không lập bảng xét dấu.

 Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ( )

b

a

f x dx

∫ Nếu vẽ đồ thị thì phần phía trên trục

hoành dương nên không đổi dấu, phần đồ thị dưới trục hoành âm nên đổi dấu.

 Hàm số y = ƒ(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b], diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = ƒ(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là: ( ) ( )

y f x

y g x H

 Bước 2: Lập bảng xét dấu hàm số ƒ(x) trên [a; b] Nếu vẽ được 2 đồ thị thì không lập bảng xét dấu.

 Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ( ) ( )

b

a

f x −g x dx

∫ Nếu vẽ 2 đồ thị thì ƒ(x) – g(x) dương khi ƒ(x) nằm trên g(x) và ngược lại.

c) Ví dụ:

 VD1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y= − +x4 2x2+3 và y=4x2

 Giải : Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là

1) Trường hợp 1 : Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f x( ) 0≥ ∀ ∈x [ ]a b; , 0

 VD1: Tính thể tích hình cầu do hình tròn ( ) :C x2+y2 =R2 quay quanh Ox

 Giải : Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x2 =R2 ⇔ = ±x R

a +b = quay quanh Oy

 Giải : Tung độ giao điểm của (E) và Oy là

42

 VD3: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y x= 2, y2 =x quay quanh Ox

 Giải : Hoành độ giao điểm 4 0 0

c) Hoành độ giao điểm của hai đường là x = 3 và x = 6 Do đó

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = 2

x + 1, tiếp tuyến với đường này tại điểm M(2; 5)

ππ

−

=+

4) Tính thể tích khối nón tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:

II BÀI TẬP SGK NÂNG CAO:

1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sinx + 1, trục hoành, x = 0 và x = 7

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số y = cos x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = π2

Trên khoảng (–2; 1), ta có (x – 4) – (–2 x – 2x) < 0 nên 2

x

−

6) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 0, x = 4 và y = x – 1 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo

thành khi quay hình A quanh trục hoành

 Hướng dẫn : 4( )2

1

71

= , y = 1 và y = 4 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo

thành khi quay hình A quanh trục tung

 Hướng dẫn :

4 2 1

8) Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x= 5y2, x = 0 và y = –1 và y = 1 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.

 Hướng dẫn :

1 4 1

0

4

x x

1 2 0

(1 )

S =∫ −x dx =

1 2

0

1

x x

S =∫ xdx+ =

11) Tính thể tích của vật thể nằm giữa 2 mặt phẳng x = 0, x = π,

biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc

với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ π) là một hình vuông cạnh là 2 sin x

12) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 2

x , y = 0, x = 0 và x = 2 Tính thể tích của khối tròn xoay

tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành

14) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 2

III BÀI TẬP LÀM THÊM:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

1) Đồ thị hàm số y = x – 4x, trục hoành, đường thẳng x = –2 và đường thẳng x = 4.3

−+ , trục hoành và 2 đường thẳng x = 1 và x = 3.

∫ Theo bảng xét dấu:

S =∫ − x dx=∫ + x dx+∫ − x dx x= x + x x− x = 1 e

e+ – 28) Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số 2

1

x y

x

−

=+ và hai trục tọa độ Tính thể tích khối tròn xoay khi

hình (H) quay quanh trục Ox

 Giải : Giao điểm của đồ thị hàm số 2

1

x y

x

−

=+ với trục hoành là x = 2 Do đó

2 2

0

21

BÀI TẬP ÔN HẾT CHƯƠNG:

+

3

11

x x

e dx e

++

∫

1(sinx+cos )x dx

+

64 3 1

dx x

+

2

2 3 0

(x 1)(x 2)(x 3)

dx x

II BÀI TẬP SGK NÂNG CAO:

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (từ bài 1 đến bài 3)

x x

++

b a− ∫ được gọi là giá trị trung bình của hàm số ƒ trên

[a; b] và được ký hiệu là m(ƒ) Chứng minh rằng tồn tại điểm c∈[a; b] sao cho m(ƒ) = ƒ(c)

 Hướng dẫn : Giả sử m và M tương ứng là giá trị bé nhất, lớn nhất ƒ trên [a; b] Ta có m ≤ ƒ(x) ≤ M

b) Tiếp tuyến tại A(0; –3)∈(P ) và tại B(3; 0)∈(P ) có phương trình lần lượt là y = 4x – 3 và y = –2x + 6

Giao điểm hai tiếp tuyến là 3;3

3 2

14) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường cong có phương trình x(y + 1) = 2 và các đường thẳng x = 0,

y = 0 và y = 3 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục tung

 Hướng dẫn :

3

2 0

4

3( 1)

15) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường cong có phương trình x – y = 0 và các đường thẳng y = 2, x 2

= 0 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh

325

V =π x dx=π

1 4 3 0

47

V = −π π y dy= π

∫

x = 3 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox

 Hướng dẫn : Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 1 3 2

t x

t x

Bài 6 (Đề thi TN.THPT năm 2007 Phân ban) Tính tích phân I =

2 2 1

21

x

=+ Đổi cận:

Tính thể tích khối trịn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hồnh

 Hướng dẫn : Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là sinx = 0 ⇒ x = 0

0 0

31

x dx

 Hướng dẫn : I =

1

2 2 0

1

x x

− −

− = 0 ⇔ x = –

13Bảng xét dấu

Do đó S =

0 1 3

ππ

e dx

e +

∫

t x

t x

+

∫

 Hướng dẫn : Đặt 2

2

ln1

ln2

dx

x x

x dv

π

−+

85

8

b a

b a

t x

Bài 28 (Đề dự trữ năm 2003 – Khối A – Đề 2) Tính I =

t x

t x

π π

Bài 31 (Đề dự trữ năm 2004 – Khối D – Đề 2) Tính I =

ln8 2 ln3

dt x

t x

t x

Bài 34 (Đề dự trữ năm 2004 – Khối B – Đề 2) Tính I = 2 cos 2 cos

t x

t x

Bài 36 (Đề dự trữ năm 2004 – Khối A – Đề 1) Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi phép quay quanh

trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đường y= xsinx (0 x≤ ≤π)

 Hướng dẫn : Hồnh độ giao điểm của đường y= xsinx với trục hồnh là xsinx 0 x 0

14

x x

dx x

− ++

16 1

ln 2 17

dx x

+

2cos

dt dx

++

π

++

2 1 3cos

xdx dt

21

x dx x

++

x x+

∫

x e

t x

Bài 52 (Đề thi ĐH năm 2006 – Khối A) Tính I =

2sin cos

1 3sin

dx x

2lnln

( 1)4

Bài 57 (Đề thi ĐH năm 2007 – Khối B) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = xlnx, y = 0, x = e

Tính thể tích khối trịn xoay hình thành khi quay hình (H) quanh trục Ox

 Hướng dẫn : Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là xlnx = 0 ⇔ x = 1

2lnln

4y x= và y = x Tính thể tích vật thể tròn trong khi quay (H) quanh trục Ox trọn một vòng

 Hướng dẫn : Hoành độ giao điểm của hai đường 1 2 2 4 0 0

44

ln x

dx x

t x

d t t

Bài 64 (Đề dự trữ năm 2008 – Khối B) Tính

x dx x

+ và cos2x =

2 2

11

t t

−+ Đổi cận:

t t

 Hướng dẫn : 2 2

2

t x

t x

3 ln( 1)

x dx x

++

1( 1)

−+

−+

 Hướng dẫn : Đặt

2

1ln

32

3

e e

e

x dx

e

x dx

+ ++

+ ++

x dx

e

++

+

1 3