CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN1.. Phương pháp: Cộng trừ cho một số hạng.. Bài 1: Tính các tích phân sau đây.. Phương pháp: Nhân chia cho một số hạng.. Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
Trang 1CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1 Phương pháp: Cộng trừ cho một số hạng.
Bài 1: Tính các tích phân sau đây
Bằng cách: Cộng 1 và bớt 1.
1 ∫01
2x I=
2x+1 dx
2 ∫23 22
x I=
x -1 dx
Bài 2: Tính các tích phân sau đây
Bằng cách: Cộng 1 và bớt 1.
1
π
0
I= tan xdx
2
π π
3
I= cot xdx
3
− +
∫0ln2
1 I=
1
x x
e dx e
4
π
= +
0
os
1 osx
c x
2 Phương pháp: Nhân chia cho một số
hạng
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
Bằng cách nhân và chia cho một số hạng
thích hợp
1
π
∫2 0
1 I=
cosx+1 dx
2
π π
∫2 3
1 I=
cosx-1 dx .
3 ∫47 2+
1 I=
x x 9 dx
4 ∫ln3ln8 +
1 I=
1
x dx e
Bài 3: Tính các tích phân sau đây
1 ∫0ln2 +
1 I=
1
x dx e
2 ∫01 +
1 I=
2 1x dx
Bài 2: Tính các tích phân sau đây
1 ∫12 + 3
1 I=
x 1 x dx
2
+ +
∫ 38 22
x 1 I=
1 dx
x x
3 ∫2 35 2+
1 I=
x x 4 dx
2 3
1 I=
1 dx
x x
Bài 3: Tính các tích phân sau đây
1
π
0
tan I=
cos2x x dx
2
π π
+
∫3
2 6
1 I=
3sin x sinx.cosx dx .
3
π
∫4
1 I=
sin x 5sinx.cosx+6cos x dx
4
π
∫4
1 I=
sin x 4cos x dx .
5
π π
=
π
∫3 6
1 sinx.sin x+
6
6
π π
=
π
∫3 6
1 sinx.sin x+
3
3 Phương pháp: Nhân lượng liên hợp Bài 1: Tính các tích phân sau đây
1
1
+
∫0
1 I=
x+1 x dx
2
16
−
∫0
1 I=
x+9 x dx .
3
2
∫1
1 I=
x+1 x 1 dx
4.
1
x I=
x+ 1+x dx
Trang 21
1 I=
x+1+ 1+x dx
4 Phương pháp: Đặt thừa số chung và cộng
trừ cho một số
1
3
+
1
x x
2
4
+
1
x x
3
2
+
∫1 5
1
x x
4 ∫0ln2 2 +
1 I= x xdx
e e
5
+ +
∫01 46
1 I=
1
x dx
3
5 Phương pháp: Nhân chia và cộng trừ cho
một số
1 ∫01 2 +
1 I=
3
x dx e
6 Phương pháp: Chia tử mẫu cho một số
hạng
1 ∫12 + 24
1-x I=
1 x dx
HD:
+ = + −
2 2
2
x
+ = −
/
2
2
π
+
∫4 3
4 0
4sin I=
1 os
x dx
c x Đặt t=cosx
7 Phương pháp đặt thừa số khỏi căn
1
π 4
=
+
sinx cos 5 4 os
2.
π 2 π
=
+
4
cosx sin 3 sin
3.
π π
−
3 4
cot sin sinx sin x
4.
π
3 0
t anx 3+cos
os x
x
c
CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
1.
π
= +
0
os
1 sinx
c x
Cao đẳng Bạc Liêu
2.
=
+
0
4 os 3cos
1 sinx
Cao đẳng Bến Tre
3.
π
= ∫2
sinx sin x+2cosx.cos
2
x
Cao đẳng Sóc Trăng
4.
π π
=
+
∫2 4
sinx-cosx
1 sin2x
Cao đẳng y tế
π
= ∫2
3 0
cos2x sinx-cosx+3
Cao đẳng Sư phạm Hải Dương
6.
π
= +
∫4 0
os2
1 2sin2x
c x
Cao đẳng Đông Du
7.
π
= +
0
4sin
1 osx
x
c
Cao đẳng sư phạm Quảng Ngãi
8.
=
+
0
sin3 sin 3
1 os3x
c
Cao đẳng Sư phạm Bến tre.
9.
π π
−
= ∫2 3 3
3 3
sin sinx cot sin x
x
Đại học ngoại thương
10.
π π
π −
=
π +
∫2 2
sin 4 sin 4
x
x
Trang 3π π
= ∫3 4 4 tan
Đại học luật.
12.
π
= ∫4 0
cos2x sinx+cosx+2
Đại học kĩ thuật
13
π π
= ∫4 6
4 2
cos x sin x
Đại học cần thơ 99
14.
π
= ∫4 2
6 0
sin x
os x
c
Đại học giao thông vận tải 97
15.
π
= ∫2 0
1 sinx+cosx
Đại học giao thông vận tải 98.
16.
π
= ∫6 0
1 sinx+ 3cosx
Đại học bách khoa
17.
Đại học y dược
18.
π
= ∫4 0
1 1+sin2x
Đại học nông lâm
19.
π π
=
π
∫3 6
1 sinx.sin x+
6
Đại học đà lạt
20
π
= +
2 0
sinx.cos
1 os
x
c x
HV BCVT
21.
π
0 os os 2
I c x c xdx
Đại học thái nguyên
22.
π
0 sin os 3
Cao đẳng vĩnh long.
π
= ∫2
2 0
1 sinx+cosx
Đại học Y dược
24.
π π
=
π
∫3 6
1 sinx.sin x+
3
CĐ sư phạm hà nội.
0 1+sin sin2
CĐ kinh tế
26.
π π
3 6
sin sin2 os
x
x c x
Học viện ngân hàng
π π
=
+
6
os sin2 1 sin
c x
Học viện báo chí.
TÍCH PHÂN CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC
TỪ NĂM 1998 ĐẾN NĂM 2002
1/ = ∫1 3( − 2)3 =
0
1 1
40
ĐH Thủy sản – 98.
2/
−
∫02 2 4 13 1 ln3
24 2 1
x
x ĐH Quốc gia – 97.
3/ = ∫01( ) + 3 =
1 8 1
x
x
đề TS – 98.
4/ = ∫1 5( − 3)6 =
0
1 1
168
ĐH Kính quốc dân 97.
5/
0
3 os
8
I c xdx
CĐ KT đối ngoại và ĐH SP 2000.
6/
π
0
2 sin
3
ĐH Kỹ thuật công nghệ 97 Học viện kỹ thuật quân sự 97.
7/
0
4 1
45
I x x dx
ĐH Sư Phạm và ĐH Luật 2001.
0 2sin sinx.cosx-cos
2
ĐH ngoại ngữ 97.
9/
0 os
4
I c xdx
ĐH BK 97.
10/
0
3 sin
16
ĐH Hùnh Vương 97.
Trang 411/ = ∫π4 4 = ( π − )
0
1
32
ĐH Quốc gia 2000.
12/ = ∫π3( + ) = π2 +
0
3 os2x
18 4
CĐ kỹ thuật 2000.
13/
0 os sin
8
CĐ SP 2000.
14/
π
π
6
2 2
15/
π
2
π
4
sin2 x
16/ = ∫π4 t anx+2 = 2( ) −
2
os
e
c x
17/
( )
e
e x
18/
π
π
4
4
4 3 sin
dx
I
x
ĐH Hàng hải 95.
sin x sin x sin x sin x
19/
π
0
1+sinx
c
CĐ Maketting 97.
20/
π
6
0
28 15 os
dx
I
c x
HD:
2
2 2
x
21/
0
1
1 sin 2 os2xdx
2
22/
π
0
2 os
3
I c xdx
ĐH Kỹ thuật công nghiệp 99.
23/
π
+
0
1 osx
xdx I
c ĐH Đà Nẵng 98.
24/
0
2
15
ĐH Ngoại Thương 96.
25/
0
848 1
105
ĐH Giao thông vận tải 96.
26/
+
∫01
1 3
xdx I
x ĐH quốc gia 98.
27/
π
0
2 sin os
15
ĐH Quốc gia 98.
28/ = − = ( ) +
−
dx
e ĐH Kỹ thuật công nghệ 99.
29/
2 1
2
x e x
e dx
e e ĐH Văn Lang 96.
30/
−
−
+ +
∫01
2 ln 1 1
x x
I
e
e ĐH quốc gia 96.
31/
+
+
∫01
1 ln 2 1
x x
e dx e I
e ĐH KT 99 – ĐH Mở bán công 2000.
32/ = ∫1 ( 2 + ) =
ln 1 ln2
2
ln 1
I
ĐH Cần Thơ 99.
33/
+
∫37 3 0
15
3 1
x dx I
x ĐH Ngoại Ngữ 99.
34/
π π
= ∫2 3 =
6
5 os 24
ĐH Cần Thơ 2000.
35/
π π
4 4
3 sin
x
ĐH Tài Chánh Kế toán 2000.
36/
π
0
2
os sin2
5
ĐH Mỏ 2000.
37/
3
e xdx I
x
38/ = ∫2( ) − 2− + = −
39/
π
3 0
sinxdx 3
2 cos
I
x
40/
π
0
8 os
15
I c xdx
ĐH Tôn Đức Thẳng 2001.
41/
+
1 ln
4
I x xdx
ĐH Mở Bán Công 2001
Trang 543/
π
= ∫0 sinxdx= π
ĐH Đại cương 96.
44/ I = ∫01c os x dx I = ∫01sin x dx
CĐ Kinh Tế Đối Ngoại 99.
45/ = ∫1( ) + = 2+
5
1 ln
4
CĐ Marketing 97.
46/ = ∫1 ( − ) = 2−
2 ln
4
CĐ Marketing 99.
47/ = ∫2( 2+ ) = −
1
ĐH Cần Thơ 97.
48/
256 64
x
x ĐH Ngoại Ngữ HN 96.
49/
−
2
x
x
ĐH Đại Cương 96.
50/ = ∫π3 ( ) = ( − )
0
1 sinxln cosx ln2 1
2
Bồ đề TS.
51/
π
2
π
π
3
3 osxln 1-cosx ln2 1 1
ĐH QG 99 HD: TPTP, áp dụng
sin x 1 os c x 1 osx 1 osx c c
.
52/
0
1 2
x
I x e dx
ĐH Cần Thơ 99.
53/
π
= ∫2 sin 2
0 xsin2
54/
3
∫3
2
0
cos
x
x
Học Viện Hành chính quốc gia 2000.
55/ = ∫1 3 = ( 3+ )
9
x
56/
=
+
∫03 32 1
x dx
I
x
57/
( )
ln 4
e
e
x
58/
= ∫1eln = 2
e
e
59/
2 2
1
2 1
2 ln2
x
x ĐH QG KD 2001
60/
+
∫01
ln3 2 ln2
1 2x
dx I
CĐ KT Đối Ngoại 2001
61/
( )
3
1 2 3
3 0
2
9
I x e dx
e CĐ Công Nghiệp 2001
62/
−
∫210
8 5
5 1
dx I
x ĐH Mở Bán Công 2001
64/
π
+
0
1 sinx
c x
ĐH Văn Lang 2001.
65/
π
0
2 sin
3
ĐH QG 2001.
66/
π
0
1
os sin2
2
ĐH Nông Lâm 2001 CÁC ĐỀ THỊ ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003 ĐẾN NĂM 2012
1/
π −
+
0
1 2sin 1 ln2
x
2/
3
x
HD: t = x − 1.
3/
+
1 3ln ln 116
135
x x
4/ = ∫3 ( 2− ) = −
KD04.
5/
+
∫2 0
sin2 sinx 34
27
1 3 osx
x
6/
π
0
sin2 osx 2ln2 1 1+cosx
xc
KB05.
∫2 sinx
4
KD05.
8/
π
+
∫2
3
os 4sin
x
∫ln3ln5
3 ln 2
dx I
Trang 610/ = ∫1( − ) 2 = − 2
0
5 3 2
4
KD06.
11/
−
1
ln
32
KD07.
12/
−
= ∫12 3 =
16
x
13/ = π( − ) = − π
0
8
os 1 os
15 4
KA09.
−
1
x
dx
+
1
1
t e dt e dx dx
t
15/ = ∫13( ) + + 2 = + ÷
3 ln 1 3 ln 27
1
x
x
KDB09.
16/ = ∫1( − 2 + ) = −
0
1 2
I e x e dx
e CĐ09.
17/
−
+
∫01
1
x
18/
+
∫01 2 2
2 1 1 1 2 ln
1 2
x
19/ = ∫1 ( + )2 = − +
2 ln
KB10.
20/
3
2
x
KA11
( )
π
= ∫4
0
.sinx+ x+1 osx
x.sinx+cosx
KD11
−
=
+ +
∫04
4 1
x
x
CD11 = ∫12 ( ) + +
2 1
1
x
x x
KB12
=
∫01 4 32
x
π
= ∫4 1 sin2 +
CD12 = ∫03 + 1
x
x
CÁC ĐỀ THI DỰ BỊ TỪ NĂM 2002
1/
π
0 1 os sinx.cos
KA.
2/ = ∫−0 ( 2 + 3 + )
KA.
3/ = ∫0ln3 ( + )3
1
x x
e dx I
e
KB.
4/
= +
∫01 23 1
x dx I
5/ = ∫1 3 − 2
I x x dx
KA.
6/
=
−
∫ln2ln5 2 1
x x
e dx I
7/ Cho hàm số ( ) = ( ) + 1 3 +
x a
x
Tìm a, b biết
= − ∫01 '(0) 22, f(x)dx=5
f
8/ = ∫1 3 2
0
x
I x e dx
KB.
9/
+
= ∫13x2 1ln
10/
π
= ∫2 osx
0 c .sin2
KB.
11/ I = ∫ln3ln8 2e x ex + 1 dx
KD.
12/
+
=
+
∫073
2 1
x
13/
=
+
∫13 2
ln
ln 1
I
14/
π
0sin tanxdx
KB.
15/ = ∫ 2
1e ln
I x xdx
KD.
π
= ∫4 tanx+e osxsinx
Trang 717/
−
=
+
∫1
3 2ln
1 2ln
18/ = ∫π2( ) +
0 1 sin2
KD.
19/ I = ∫12( x − 2)ln xdx
KD.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1/
π
π
3
sin x+cos x
sinx
2/
+
ln 2
x
3/
+
= ∫0ln2 2
x
e xe
e
∫13 3 ∫13 2 22
1
4
1
+
∫
4
2
5 1
1 5.
1
5 2 1
x dx
6/
π
0
2 sin os
15
7/
−
−
+ +
∫01
2 ln 1 1
x
x
e e
8/
+
∫0ln
1 12 ln
5 7 5
x
dx
I
9/
=
∫033 23
3
x
x
( )
∫
∫
∫
∫
2 1 2 2 1
e 1
1
10 / I= ln 1+x 3ln3 2ln2 1
2
12 / I= ln
4
13 / I= x ln
dx
x
e xdx x
( ) ( ) ( )
∫
∫
5 1
2 1
27
14 / I= 2xln(x-1)dx 24ln4 .
2 dv=2xdx v=x chọn v=x 1 1 1
1
15 / I= 2x-1 ln ln4
2
xdx
( )
π π
π
∫
∫
2 4
6
16 / I= ln x 3ln3 2, v=x chọn v=x-1
6
x dx dx x
π
+
∫
∫
∫
∫
0 1 0 2 0
x ln3 0
18 / I= 1- x 3
19 / I= 2+ sinx+3 osxdx
cosxdx
20 I=
1+ 3sinx+1 e 21/ I=
1 1 x
xdx c
dx e
+ +
∫03 32
22 / I=
1
x x dx x
23
π
= ∫2 0
2sinx.cosx 13-5cos2x
24
π
= ∫2 osx
0 c sin2
25
π
2 0
osx.sin 1+sin
x