Tính thể tích của hình chóp S.ABC.. Chứng minh bất đẳng thức sau PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần Phần A hoặc B A.. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a 2,0 điểm
Trang 1SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
Môn thi: TOÁN, Khối A và B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số = −
+
2 1 1
x y x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm các giá trị của m để phương trình 2x− =1 m x+1 có 2 nghiệm phân biệt
Câu II (2,0 điểm)
1) Giải phương trình 2cos (sin 3x x−cos3 ) 1x =
2) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình
3 3 2
3 3 2 0
− + − − =
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
1 2
2 0
(x+1) 1 2− x dx
∫
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có mặt SBC vuông góc với đáy, các cạnh SB = SC = 1 và các góc
ASB BSC CSA 60= = = Tính thể tích của hình chóp S.ABC
Câu V (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh bất đẳng thức sau
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc B)
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng ∆ sao cho ∆ tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 15
2 và chu vi bằng 15.
2) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A( 1;0; 2), B(2;1;4), C(1; 1; 2)− − Tìm tọa độ điểm M sao cho MA MB MC= = và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC) bằng 5
Câu VII.a (1,0 điểm) Giả sử n là số nguyên dương và 2
0 1 2
n
+ = + + + + Biết rằng tồn tại số nguyên dương (1k ≤ ≤ −k n 1) sao cho 1 1
2 9 24
= = , hãy tính n.
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x y+ + = ∆5 0, 2:x−2y− =3 0 và đường tròn (C): (x−3)2+ +(y 5)2 =25 Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc ∆1 sao cho M và N đối xứng qua ∆2
2) Trong không gian Oxyz, cho điểm M ( 2;1;3)− Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác ABC có trực tâm là M
Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn z =4 và một acgumen của 3 i
z
+ bằng
6
π
−
………Hết………
Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:……… Chữ kí của giám thị 1:………Chữ kí của giám thị 2:………
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Hệ phương trình
3 3 2
− + − − =
2
1
1
x
−
3
Tính tích phân
1 2
2 0
(x+1) 1 2− x dx
∫
1
1
4
1 2
0
Xét J =
1 2
2 0
1 2
π
(1 cos 2 )
t
π +
∫ Vậy
1 2
2 0
∫
5
BDT
Trang 3Đặt a x , b y , c z x y z , , 0
b = c = a = ⇒ > và xyz = 1
BDT trở thành
1 1
1
y x
z
x y z
+ +
+
x y z
+ + + (do xyz = 1)
x y z
0
và x z y x z y2 + 2 + 2 ≥ 33 x y z3 3 3 = 3
M và N đối xứng qua ∆2 nên phép đối xứng trục ∆2 biến M thành N
M ∈ (C) ⇒ ∈ N (C') với (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục ∆2
Theo giả thiết N ∈∆1 nên N là giao của (C') và ∆1
(C) có tâm I(3; -5) và bán kính R = 5 nên (C') có tâm I’(-1 ; 3) và bán kính R
= 5 Pt (C') là (x+1)2+ −(y 3)2 =25
Giải hệ
x y
+ + =
ta được N(-1 ; -2) và N(-4 ; 7)
N(-1 ; -2) ta tìm được M(-1 ; -2)
N(-4 ; 7) ta tìm được M 22 49
;
Giả sử (P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a ; 0 ; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
Nếu (P) đi qua gốc O thì A B C ≡ ≡ nên không tồn tại tam giác ABC
Nếu (P) không đí qua O thì abc ≠ 0 nên Pt (P) là x y z 1
(P) đi qua M nên 2 1 3
1
M là trực tâm tam giác ABC
3
3
2
=
uuur uuur uuur uuur
Thế vào (1) ta được 4 1 3 14
Vậy pt (P) là 3
7 14 14
−
Cách khác Chứng minh được OM ⊥ (ABC)
Trang 4Vậy (P) là mặt phẳng qua M và có vecto pháp tuyến OM uuuur = − ( 2;1;3)
PT (P) là − 2( x + + 2) ( y − + 1) 3( z − = ⇔ − + + 3) 0 2 x y 3 z − = 14 0
i
i z
Theo giả thiết
z = − π + i − π = − i