Bài giảng phương trình lượng giác môn toán (ôn thi đại học)

Mục lục Chủ đề 1. Một số kiến thức chung ....................................................................... 5 Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản ................................................................................. 5 Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos ......................................................................... 15 Chủ đề 2. Đại số hóa phương trình lượng giác ..................................................23 Loại 1. Một số phép đại số hóa đơn giản ...................................................................................... 23 Loại 2. Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos ................................................. 31 Loại 3. Phép đại số hóa 2 tan x t  ................................................................................................. 41 Loại 4. Phép đại số hóa t = tanx ................................................................................................... 45 Chủ đề 3. Phương trình tích .............................

 Phân loại chi tiết

 Hệ thống ví dụ phong phú

 Bài tập có đáp số đầy đủ

 Trích dẫn tất cả các bài thi trong các năm 2002 - 2012

Bản quyền thuộc về ThS Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng

Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn/phphong84

Mục lục

Chủ đề 1 Một số kiến thức chung 5

Loại 1 Các phương trình lượng giác cơ bản 5

Loại 2 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos 15

Chủ đề 2 Đại số hóa phương trình lượng giác 23

Loại 1 Một số phép đại số hóa đơn giản 23

Loại 2 Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos 31

Loại 3 Phép đại số hóa t tan2x 41

Loại 4 Phép đại số hóa t = tanx 45

Chủ đề 3 Phương trình tích 48

 Điều kiện có nghiệm: (0.1) có nghiệm  m   1;1

 Công thức nghiệm: Với mọi m   1;1, ta có

Ta thấy với mỗi m   1;1, giá trị arcsin m

luôn tồn tại duy nhất

y=sinx

-1

1

- π 2

π 2 arcsinm

O m y

 Điều kiện có nghiệm: (0.2) có nghiệm  m   1;1

 Công thức nghiệm: Với mọi m   1;1, ta có

(0.2)  x arccosm2k  (k  )

Trong đó, arccos m là nghiệm thuộc đoạn

0; của phương trình  sin xm (Hình 2)

Ta thấy với mỗi m   1;1, giá trị arccos m

luôn tồn tại duy nhất

π y=cosx

-1

1

π 2 arccosm O

m y

Ta thấy với mỗi m , giá trị arctan m luôn tồn tại duy nhất

y=tanx

arctanm

- π 2

π 2 O

m y

Với mọi m , (0.4) có nghiệm và

arccotm m

x x

k x

Chú ý Trong ví dụ trên, ta thấy khi giải bằng hai cách khác

nhau ta được các công thức nghiệm khác nhau Tuy nhiên các

công thức nghiệm nói trên cùng thể hiện một tập nghiệm của

phương trình

y

x -1

-1

1

1 O

Ví dụ 3 Giải phương trình: sin2xcos 22 x 1  1

Giải

 1  cos 22 x 1 sin2x  cos 22 xcos2x  cos 2 cos

k x

k x

x x

2

x x

22726

Kết hợp điều kiện: Những giá trị vi phạm điều kiện được

biểu diễn bằng những điểm trắng, những giá trị thỏa mãn

-1

1

1 O

Chú ý Khi biểu diễn họ x 2k

 Một điểm trong trường hợp n 1

 Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ trong trường hợp n 2 Hai điểm này là các điểm

biểu diễn giá trị 2

-1

1

1 O

n 2

y

x -1

-1

1

1 O

n 3

y

x -1

-1

1

1 O

n 4

Ví dụ 9 Giải phương trình  2 

Giải Điều kiện để  1 có nghĩa: cosx 0

Ta thấy

1 5sin x2 1 sin x   0 2

2sin x5sinx  3 0

  

1 2

sin

voâ nghieäm

x x

Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của  2 và  3 trên

đường tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm

điều kiện (điểm được khoanh trắng), ta được các họ nghiệm

-1

1

1 O

Ví dụ 10 Giải phương trình: 12 sin

8 cos

x

x x

Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của  4 trên đường

tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm một

trong hai điều kiện  2 ,  3 (điểm được khoanh trắng), ta

được các họ nghiệm của  1 là:

8 +2kπ y

x -1

-1

1

1 O





65

2sinx 4sin x3sinx sin 2x 0

6) sinxsin 2xcosxcos 2x0

7) sinxsin 2xcosxcos 2x0

Bài 2 Giải các phương trình sau

sinxcosx sin 2x

4) sin 2x1 tan 2 tan x x1

5) sin 2xtanx1 sin 2 tan 2 x x

Loại 2 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

A Tóm tắt lý thuyết

* Phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x là phương trình có dạng:

trong đó, A và B là các hằng số không đồng thời bằng 0 (A2B2  ) 0

* Cách giải: chia hai vế của  1 cho A2B2 , ta được phương trình tương đương:

Trong từng trường hợp, việc chọn  phù hợp giúp quá trình tính toán bớt phức tạp

k x

Nhận xét Phương trình ở ví dụ trên không phải phương trình bậc nhất Việc giải phương trình

này liên quan đến việc rút gọn biểu thức 1 sin cos 

Ta có 2sin 3 cos 2x xsin 5xsinx Do đó

 1  3 cos 5xsin 5x2sinx  3cos 5 1sin 5 sin

k x

Ví dụ 6 [ĐHA09] Giải phương trình:  

22

1 2 sin x 1 sin x sinx 1 2 sin x sinxcos 2x Do đó

 1  cosxsin 2x 3 sin xcos 2x  sin 2x 3 cos 2xcosx 3 sinx

 1sin 2 3cos 2 1cos 3sin

k x

Ví dụ 8 Cho phương trình 2sin2 xsin cosx xcos2xm  1

1) Giải phương trình khi m  1

2sin cosx x3 1 2 sin x   3 2

2sin cosx x6sin x 0

 sin cosx x3sin2x  0 sinxcosx3sinx0

Giải các phương trình sau

1) 2 2 sin xcosxcosx 3 cos 2x

2) sinxsin 2x 3 cos xcos 2x

4 sin xcos x  3 sin 4x 2

8 sin xcos x 3 sin 2xcos 2x  5

5) 4sin3x 1 3sinx 3 cos 3x

6) sin 3 x4sin 2 sinx x4

7) 3 cos 2xsin 2x2sin 2 x62 2

sinxcos sin 2x x 3 cos 3x2 cos 4xsin x

9) [ĐHB12] 2 cos x 3 sinxcosxcosx 3 sinx 1

 , 5 6



Chủ đề 2 Đại số hóa phương trình lượng giác

Loại 1 Một số phép đại số hóa đơn giản

A Nội dung phương pháp

Phần này đề cập đến việc giải các phương trình lượng giác bằng cách thực hiện một phép đặt ẩn phụ đơn giản: tsinx, t sin2x, tsin 2x, tcosx, t cos2x, tcos 2x, ttanx, t tan2x,

tan 2

t x, … Các công thức sau đây rất cho ích cho việc phát hiện ẩn phụ:

* Một số công thức “quy về sin”

* Một số công thức “quy về cos”

x x

4 cos x3cosx  2 cos x1 cosx 1 0 4 cos3x2 cos2x4 cosx  2 0

 2 cos3xcos2x2 cosx   1 0

1cos

2

x x

Ví dụ 3 [ĐHD02] Tìm nghiệm thuộc đoạn 0;14 của phương trình

x x

Ví dụ 7 [ĐHA10] Giải phương trình:

1 sin cos 2 sin

14

cos

x x

 2sin2xsinx   1 0

1sin

2

x x

26726

loạiTMĐKTMĐK

Bài 1 Giải các phương trình sau

1) tan cos cos2 sin 1 tan tan

3cos 4x8 cos x2 cos x  3 0

10) [ĐHB03] cot tan x 4 sin 2 2

cos 2xcosx 2 tan x1  2

12) [ĐHA05] cos 3 cos 22 x xcos2x 0

sin cos 2x xcos x tan x1 2 sin x 0

14) [ĐHA02] 5 sin cos 3 sin 3 cos 2 3

Loại 2 Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos

A Nội dung phương pháp

Đối với các phương trình lượng giác chỉ chứa các biểu thức:

+) tổng và tích của sin và cos (phương trình đối xứng đối với sin và cos ),

+) hiệu và tích của sin và cos (phương trình gần đối xứng đối với sin và cos ),

ta có các quy tắc đại số hóa cụ thể như sau:

Dạng 1: Xét phương trình dạng f sinxcos ;sin cosx x x0  1

1 2

Dạng 3: Xét phương trình dạng f sinxcosx;sin cosx x 0  3

Đặt t sinxcosx  2 sinx4 

2 1 2

Đặt t sinxcosx  2 sinx4 

2

1 2

t t

Ví dụ 2 [ĐHA07] Giải phương trình:  2   2 

1 sin x cosx 1 cos x sinx 1 sin 2x  1

Giải

Ta có  1  sinxcosxsin cosx xsinxcosx  sinxcosx2

t t

sinxcosx sin xcos xsin cosx x  sinxcosx1 sin cos x x,

sin 2x2sin cosx x

Đặt tsinxcosx 2 sinx4 

 

2

1sin cos

t t t

Vậy các họ nghiệm của  1 là x2k , 2

Ta có  1  cosxsinx2 2 sin cosx x  2

thỏa mãn thỏa mãn

t t

  Ta thấy f nghịch biến trên  2;   f nghịch

biến trên  2; 2, lại có f  24 2 1 , f  2  4 2 1  TGT của f là

sinxcosx2 2 sin 2x

2) 1 sin3 cos3 3sin 2

6) 2 sin xcosxtanxcotx

7) sinxsin2xsin3xsin4xcosxcos2xcos3xcos4 x

Bài 2 Tìm m để phương trình sinxcosxsin 2xm có nghiệm

Bài 3 Tìm m để phương trình 2 sin xcosxsin cosx xm có nghiệm x0;2

Bài 4 Tìm m để phương trình sin3xcos3xmcó nghiệm

Loại 3 Phép đại số hóa tan2x

t 

A Tóm tắt lý thuyết

* Nguyên tắc chung: Hầu hết các phương trình lượng giác đều đưa được về dạng

sin ; cos ; tan ;cot2x 2x 0

Để giải  1 ta có thể làm như sau:

+) Tìm nghiệm thỏa mãn cos2x0 của phương trình

+) Tìm nghiệm thỏa mãn cos2x0 của phương trình:

Đặt t tan2x  2

2 1

t x



1 1

* Trường hợp đặc biệt (áp dụng cho phương trình bậc nhất đối với sin, cos ):

Phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x là phương trình có dạng:

t x t

11cos

1

t x t t x t

2) 4sinxcosx 3 tan2x

3) 2sinxcosx 1 cot2x

Bài 2 Tìm m để phương trình 2sinxmcosx 1 m có nghiệm thuộc đoạn 2;2

Bài 3 Tìm m để phương trình m2 sin x2 cosm x2m1 có nghiệm thuộc đoạn

Loại 4 Phép đại số hóa t = tanx

A Nội dung phương pháp

Ý tưởng chung của phương pháp này là: chọn một số n thích hợp ( n   ) sao cho sau khi chia *

hai vế của phương trình cho cosn x ta thu được phương trình mới có dạng f tanx  0 Quá trình này được thực hiện nhờ việc sử dụng các đẳng thức sin

cosx tan

x  x và 2

2 1

Thay cosx 0 vào  1 ta có 2

sin x 0  sinx 0  x   (vì sin x, cos x không thể đồng

thời bằng 0) Do đó những giá trị của x mà cosx 0 không phải nghiệm của  1 Chia hai vế của  1 cho cos x ta được phương trình tương đương 2

2

tan x2 tanx   3 0 tan 1

x x

tan x tanx1 3 tanx3 tan x3 tan x1  tan3ttan2x3 tanx  3 0

 tanx1 tan  x 3tanx 3  0

x x x

* Thay cosx 0 vào  1 ta có 2

sin xm Do đó

+) m 1  những giá trị của x làm cho cosx 0 không là nghiệm của  1

+) m 1  những giá trị của x làm cho cosx 0 là nghiệm của  1   1 có nghiệm

* Khi cosx 0, chia hai về của  1 cho 2

cos x ta được phương trình tương đương

Bài 1 Giải các phương trình sau

1) 6sin2xsin cosx xcos2 x 2

2) sin 2x2sin2x2 cos 2x

3) 2sin 22 x3sin 2 cos 2x xcos 22 x 2

8) 3

sinxcosx4sin x 0

10) cos 2x 5 2 2 cos  xsinxcosx

Bài 2 Tìm m để phương trình mcos2x4 sin cosx xm  có nghiệm thuộc khoảng 2 0

Chủ đề 3 Phương trình tích

A Nội dung phương pháp

Phần này đề cập đến việc giải phương trình lượng giác bằng cách đưa phương trình cần xét về dạng phương trình tích Cũng như đại số hóa, đây là một tư tưởng quan trọng khi giải phương trình nói chung, phương trình lượng giác nói riêng

Sau đây là một số đẳng thức hay sử dụng trong phần này

cos x 1 sin x 1 sin x

o sin 2x2sin cosx x

o cos 2xcosxsinxcosxsinx

1 sin 2 x sinxcosx

o 1 sin 2 xsinxcosx2

sin xcos x sinxcosx 1 sin cos x x

sin xcos x sinxcosx 1 sin cos x x

x x

k x

Ví dụ 3 [ĐHD04] Giải phương trình: 2 cosx1 2 sin xcosxsin 2xsinx  1

Giải

Ta có sin 2xsinxsinx2 cosx1 Do đó

 1  2 cosx1 2 sin xcosxsinx2 cosx1

 2 cosx1 sin xcosx0  2 cos 1 0

cos

x x

Ta có: 1 sin 2 xsinxcosx2, cos 2xcosxsinxcosxsinx

Do đó  1  sinxcosx  sinxcosx2cosxsinxcosxsinx 0

 sinxcosx1sinxcosx  cosxsinx0

 sinxcosx2 cosx10  sin cos 0

2

x x

 1  sin 2 cosx xsin cosx xsinxcos 2xcosx0

sinx 2 cos xcosx1  2 cos xcosx1  0

sinx1 2 cos xcosx1  0

 sinx1 cos x1 2 cos x10 

1cos

2

x x x

k x

sin xsin cosx x2 sinx  sinxcosx2  0

 sinxsinxcosxsinx  sinxcosx20

 sinx1 sin xcosxsinx0   

Coi  1 là phương trình bậc hai đối với sin x, ta có

cosx 12 4 cos x 2 cosx 32

Đến đây, việc tìm ra nghiệm của phương trình được thực hiện như ở cách 1

Nhận xét: Đối với phương trình có dạng

 

với a , b là các số không đồng thời bằng 0, việc đưa về phương trình tích nói chung là phức tạp

Để giải phương trình dạng này (phương trình bậc hai đối với sin, cos ) ta có một cách làm khác như sau: Coi  1 là phương trình bậc hai đối với cos x , giải cos x theo sin x; hoặc coi  1 là phương trình bậc hai đối với sin x, giải sin x theo cos x

C Bài tập

Giải các phương trình sau

sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x

2) [ĐHA03] cot 1 cos 2 sin2 1sin 2

4) [ĐHB07] 2sin 22 xsin 7x 1 sin x

5) [ĐHB08] sin3x 3 cos3xsin cosx 2 x 3 sin2 xcosx

6) [ĐHD08] 2sinx1 cos 2 xsin 2x 1 2 cosx

7) [ĐHB10] sin 2xcos 2xcosx2 cos 2xsinx0

8) [ĐHA11] 1 sin 2 xcos 2x  2 sin sin 2x x

9) [ĐHD11] sin 2 2 cos sin 1 0

4sin x4 sin x3sin 2x6 cosx 0

12) 2sin cos 2x xsin 2 cosx xsin 4 cosx x

13) 1 tan x 1 sin 2   x 1 tan x

3 cos xsin cosx x2sinx2 1 3 cosx  4 0

17) sin 2xcos 2x3sinxcosx 2 0

18) [ĐHD10] sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0

19) [ĐHA12] 3 sin 2xcos 2x2 cosx 1

20) [ĐHD12] sin 3xcos 3xsinxcosx 2 cos 2x