Giải phương trình lượng giác.. Giải hệ phương trình.. Tính góc giữa hai mặt phẳng ACD và BCD.. Biết thể của khối tứ diện ABCD Câu V1,0 điểm: Cho ba số thực thỏa mãn ,Chứng minh rằng: PH
Trang 1ĐỀ THAM KHẢO 7
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I( 2,0 điểm): Cho hàm số: (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
2. Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành
Câu II (2,0 điểm):
1 Giải phương trình lượng giác
2 Giải hệ phương trình
Câu III(1,0 điểm): Tính tích phân sau:
3 4
4
2 cos sin
dx I
Câu IV(1,0 điểm): Cho tứ diện ABCD có AC = AD = , BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) Biết thể của khối tứ diện ABCD
Câu V(1,0 điểm): Cho ba số thực thỏa mãn ,Chứng minh rằng:
PHẦN RIÊNG (Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần A hoặc B)
A. Theo chương trình chuẩn.
Câu VIa(2,0 điểm):
1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm : A(1;2; 2) B(-1;2;-1) C(1;6;-1) D(-1;6;2) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD)
2 Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 - 2x + 6y -15 = 0 (C ) Viết PT đường thẳng (W) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 = 0 và cắt đường tròn (C) tại A; B sao cho AB = 6
Câu VIIa(1,0 điểm): Xác định hệ số của x5 trong khai triển (2+x +3x2 )15
B. Theo chương trình nâng cao.
Câu VIb(2,0 điểm):
1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm : A(1;2; 2) B(-1;2;-1) C(1;6;-1) D(-1;6;2) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD)
2. Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 - 2x +6y -15 = 0 (C ) Viết PT đường thẳng (W) vuông góc với đường thẳng : 4x - 3y + 2 = 0 và cắt đường tròn (C) tại A; B sao cho AB = 6
Câu VIIb(1,0 điểm):Giải phương trình:
Trang 2
-
HẾT -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 06 trang)
Môn: TOÁN: KHỐI A,B
TXĐ: D= R\{1}
Hàm số luông nghịch biến trên D và không có cực trị
0,25
PT đường TCĐ: x=1; PT đường TCN: y=1
0,25
Bảng biên thiên:
t - 1 +
f ’ (t) - +
f(t)
1 +
- 1
0,25
x
y
f x ( ) = x+2 x-1
1 4
-2
5/2
Trang 3 Gọi k là hệ số góc của đt đi qua A(0;a) PT đt d có dạng y= kx+a (d)
<=>Pt (1-a)x2 +2(a+2)x-(a+2)=0 (1) có nghiệm x ≠ 1
0,25
Theo bài ra qua A có 2 tiếp tuyến thì pt (1) có 2 nghiệm x1 ; x2 phân biệt
Khi đó theo Viet ta có : x1 +x2 = ; x1.x2 =
0,25
Suy ra y1 = 1+ ; y2 =
Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía của trục Ox thì y1.y2 <0
0,25
Giải đk trên ta được
⇔ -(3a+2) <0 ⇔ a>-2/3
Kết hợp với đk (*) ta có 1 ≠ a>-2/3
0,25
0,25
Đặt : t = x + y ; ĐK: t
Giải PT:
0.25
0,5
Trang 4
Hệ đã cho trở thành
Vậy hệ dã cho có một nghiệm
0,25
3
4
4
2 cos sin
dx
3 4
2
22 cos sin
4
dx
Đặt : t = tanx
Đổi cận: x =
x =
0,5
Khi đó
3
4 3 8 )
3 2
1 ( ) 2
1 ( )
1
1
3 3
1
2 2
3 1 2
2 2
t t dt t t dt t t t
BĐT cần chứng minh tương đương với
Nhận xét: Do nên là các số thực dương
0,25
Xét : A = với x,y > 0
Chia tử và mẫu cho và đặt t = ta được A = với t > 0
Xét hàm số f(t) = trên (0;+ )
Ta có : f ’ (t) =
Bảng biên thiên:
0,5
Trang 5t 0 1 +
f ’ (t) - 0 +
f(t)
1 1
Dựa vao bảng biến thiên ta có f(t) với mọi t > 0
Từ đó A = với x,y > 0; dấu bằng xảy ra khi t = 1 nên x = y.
Do vai trò là như nhau nên BĐT cần chứng minh tương đương
Áp dụng BĐT cô si ta có
Thay vào ta suy BĐT được chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =
0,25
Gọi E là trung điểm của CD, kẻ BH AE
Ta có ACD cân tại A nên CD AE
Tương tự BCD cân tại B nên CD BE
Suy ra CD (ABE) CD BH
Mà BH AE suy ra BH (ACD)
Do đó BH = và góc giữa hai mặt phẳng
(ACD) và (BCD) là
0,25
Thể tích của khối tứ diện ABCD là
Mà
0,25
H
D
E
C B
A
Trang 6Khi đó : là 2 nghiệm của pt: x2 - x + = 0
Xét BED vuông tại E nên BE =
Xét BHE vuông tại H nên sin =
Vậy góc giữa hai mp(ACD) và (BCD) là
0,25
[ , ] = (12; -6;8)
Mp (BCD) đi qua B và có VTPT =(6;-3;4) nên có PT: 6x-3y+4z+16=0
Gọi d là đt đi qua A và vuông góc với mp(BCD) thì d có PT:
0,5
Hình chiếu vuông góc H của A lên mp(BCD) là giao điểm của d với mp(BCD)
Tọa độ của H là nghiệm của hệ :
Vậy H( -2; -4; -4)
0,5
Đường tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5
Gọi H là trung điểm AB thì AH=3 và IH AB suy ra IH =4
Mặt khác IH= d( I; W )
Vì W || d: 4x-3y+2=0 nên PT của W có dạng
3x+4y+c=0
0,5
d(I; W )=
vậy có 2 đt thỏa mãn bài toán: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0
0,5
I
A H B
Trang 7Ta có (2+x+3x2 )15 =
Vậy (2+x+3x2 )15 =
0,5
Theo gt với x5 ta có các cặp số : (k=3; i=2) ( k=4; i=1) (k=5; i=0)
Vậy hệ số của x5 trong khai triển trên là :
a=
0,5
ĐK: x > 1
Với ĐK trên phương trình đã cho tương đương
0,25
0,5
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm :
0,25
