Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 2

Chương 3: Tập Lồi Trong Mục đích của chương này là giới thiệu các khái niệm cơ bản của tập lồi, để mô tả một số tính chất của các tập, và để lấy được các định lý tách cơ bản cho tập lồi.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

KHOA TOÁN – TIN

MÔM TỐI ƯU PHI TUYẾN

BÀI THUYẾT TRÌNH NHÓM 18

1/ Nguyễn Việt hải

2/ Trần Ngọc Hải

3/ Phạm Phi Hùng

Chương 3: Tập Lồi Trong

Mục đích của chương này là giới thiệu các khái niệm cơ bản của tập lồi, để mô tả một số tính chất của các tập, và để lấy được các định lý tách cơ bản cho tập lồi Các định lý tách

là những nền tảng mà trên đó có nhiều điều kiện tối ưu phần còn lại phi tuyến tính

I Tập lồi và tính chất của nó

Để định nghĩa các khái niệm về một tập lồi, chúng ta bắt đầu bằng cách xác định các đường thẳng và đoạn thẳng qua hai điểm trong n

1 Đường thẳng

Cho x x1, 2 n Các đường thẳng qua x1 và x2 được định nghĩa là tập

 

x x  x x 

x x p x  p x p p  p p  Nếu chúng ta viết lại định nghĩa đầu tiên thành các dạng tương đương

,

x x x  x x  và xét các trường hợp khi x 2 , nó trở nên rõ ràng bằng các phương trình vector 1  2 1

x x  x x là phương trình tham số của hình học giải tích sơ cấp của đường thẳng đi qua 1

x và x2, hình 3.1.1

2 Đoạn thẳng

Cho x x1, 2 n Chúng ta định nghĩa các đoạn thẳng nối x1 và x2:

x x  x x  x x  



x x   x x  x x  

Rõ ràng x x1, 2 là phần của đường thẳng qua x1 và x2 mà nằm giữa và bao gồm các điểm 1

x và x2,, Hình 3.1.1  1 2

,

x x không bao gồm x1 hoặc x2, 1 2

,

x x

gồm 2

x , và  1 2

,

x x  không bao gồm x 1

3 Tập lồi

Một tập   n là một tập lồi nếu đoạn thẳng đóng nối hai điểm thuộc  nằm trong  Một cách tương đương chúng ta nói một tập   nlà tập lồi nếu

 

,

1



Hình 3.1.2 minh hoạ một số tập lồi trong 2, và hình 3.1.3 minh hoạ một số tập không

lồi trong 2

Từ 3 chỉ ra rằng chính n là tập lồi, tập hợp rỗng là tập lồi, và tất cả các tập gồm có một phần tử là tập lồi

Các tập con của n

được định nghĩa dưới đây trong 4, 5 và 6 đều là các tập lồi trong n

Điều này có thể dễ dàng được chứng minh trực tiếp bởi định nghĩa 3 của một tập lồi

 Rõ ràng là định nghĩa của một tập lồi sẽ không thay đổi nếu có các đoạn thẳng

khác tại 2 được sử dụng ở đây thay cho đoạn thẳng đóng

Hình 3.1.1 Đường thẳng và đoạn thẳng qua x và 1 x 2

Hình 3.1.2 Tập lồi

4 Nửa không gian

Cho c n,c0 và  Khi đó tập x x n, cx là một nửa không gian mở trong n, và tập x x n, cx là một nửa không gian đóng trong n (Cả hai nửa không gian đều là tập lồi)

5 Mặt phẳng

Cho c n, c0 và  Khi đó tập  n, 

x x cx được gọi là một mặt phẳng trong n (Mỗi mặt phẳng trong nlà một tập lồi)

6 Không gian con

1 tập   n là 1 không gian con nếu

, ,

p x p x





Mỗi không gian con của n

chứa gốc và là một tập lồi Các không gian con của 3 bao

,

 , gốc, và tất cả các đường thẳng và mặt phẳng đi qua gốc

7 Bài toán

(i) Chứng tỏ mỗi một quả cầu mở hoặc đóng

,

n

B   x x x x x 

n

B   x x x x x 

Hình 3.1.3: Tập không lồi

x



 là một tập lồi (Gợi ý: Sử dụng các bất đẳng thức tam giác

xy  x  y trong 1.3.10 )

(ii) Chứng tỏ phần trong của một tập lồi là tập lồi

8 Đỉnh

Cho  là 1 tập lồi trong n Mỗi một x mà không tồn tại 2 điểm x1, x2 phân

biệt khác x sao cho 1 2

,

x x x , được gọi là đỉnh của (hoặc là 1 điểm cực trị của ) Một tập lồi   n có thể không có đỉnh (ví dụ như không gian x x n, cx và hình cầu mở B x



 

 

  không có đỉnh), có hữu hạn đỉnh (ví dụ: tập

x x n, x0, ex1, trong đó e là một n -vector của tập có n đỉnh , e i i 1, ,n, trong đó i

e là một n -vector với e i i 1 và e i j 0,i j), hoặc có vô số đỉnh (ví dụ hình cầu đóng có vô số đỉnh do x x n, x x 

9 Định lý

Nếu  i i I là một họ (hữu hạn hoặc vô hạn) các tập lồi trong n, khi đó phần giao

i

i I

  là một tập lồi

Chứng minh: Cho 1, 2 i

i I

x x



  và lấy 0  1 Khi đó với mỗi iI, x x1, 2i và vì

i

 là tập lồi nên   1 2

1 x x i

10 Đa diện và khối đa diện

Một tập hợp trong n

là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng trong n

gọi

là một đa diện Nếu một đa diện bị chặn (nghĩa là, với mỗi x thuộc đa diện, x với

 cố định), nó được gọi là một khối đa diện

Suy ra từ tính lồi của nửa không gian 4 và theo định lý 9, ta có đa diện và khối đa diện là

các tập lồi

11 Tổ hợp lồi

b gọi là một tổ hợp lồi của các vectơ a1, ,a m n nếu tồn tại m số

thực p1, ,p m sao cho:

1

b p a  p a p p  p  p 

Tương tự, nếu chúng ta định nghĩa một ma trận A m n có hàng thứ i là i

i

A a và nếu chúng ta lấy pp1, ,p m m và e là một m -vector của đơn vị, khi đó ta có b là một tổ hợp lồi của các hàng ma trận A nếu '

b A p p ep có nghiệm m

p Lưu ý rằng nếu b là một tổ hợp lồi của hai điểm a a1, 2 n , thì tương đương với nói

,

b a a  (xem 2)

12 Đơn hình

Cho x x0, 1, ,x m là m1 điểm phân biệt trong n, với mn Nếu các vector

, , m

x x x x là độc lập tuyến tính, thì tập tất cả tổ hợp lồi của x x0, 1, ,x m

i

được gọi là một m -đơn hình trong n

với đỉnh x x0, 1, ,x (0-đơn hình là một điểm, m

1-đơn hình là một đoạn thẳng đóng, 2-đơn hình là một tam giác, và 3-đơn hình là một tứ

diện)

13 Định lý

Tập   n là tập lồi nếu và chỉ nếu với mỗi số nguyên m1, mỗi tổ hợp lồi của bất kỳ

m điểm của  thì nằm trong  Nghĩa là điều kiện cần và đủ để tập  lồi là với mỗi số nguyên m1, ta có:

1

1

, ,

m m m





   1

Chứng minh: Chiều nghịch của 14 là hiển nhiên; lấy m2, khi đó  là tập lồi bởi 3

Ta chứng minh chiều nghịch của 14 bằng quy nạp Với m1, 14 hiển nhiên đúng Với

2

m , 14 xem như là kết quả của 3 Giả sử 14 đúng với mọi m , chúng ta sẽ thấy rằng

nó cũng đúng cho m1

Cho

, , ,

, , p 0

m

m

m

p











Nếu p m1 0 thì p x1 1 . p x m m Từ đó 14 đúng với mọi m Nếu p m11 thì

p x  p  x  x   Nếu 0 p m11 thì chúng ta có thể viết

1

1

1

p p







 

Một điểm trong ,

bởi vì 14 đúng với m

Một điểm trong , bởi vì 14 đúng với m2

14 Định lý Carathéodory (Carathéodory 07)

Cho   n Nếu là tổ hợp lồi của những điểm trong , khi đó x là 1 tổ hợp lồi của

1

n hoặc ít hơn n1 điểm của 

1

m

i i

i



ta chứng minh nếu m n 1 thì x có thể được viết dưới dạng tổ hợp lồi của m1 điểm trong  (Điều này sẽ hình thành quy luật mà từ đó chúng ta có thể áp dụng kết quả liên

tục cho đến khi x là một tổ hợp lồi của n1 điểm của .) Nếu bất kỳ p nào trong biểu i

thức trên bằng 0, khi đó x là một tổ hợp lồi của m1 hoặc 1 vài điểm của  Vì vậy, ta giả sử p i 0 Vì m n 1, tồn tại r1, ,r m1 , không đồng thời bằng 0 để:

r x x  r  x  x  (do A.1.3)

Đặt r m r1 .r m1 Khi đó

i

Đặt q i  p ir i với i1, ,m

trong đó  là một số dương nào đó sao cho q i 0 với mọi i , và ít nhất một q , ta gọi là i

k

q , bằng 0 Trong trường hợp đặc biệt chúng ta chọn  sao cho 1 max i k

i



 

  

 

Hình 3.1.4 Một tập  và bao lồi của nó   Khi đó

1

i k

    



Và

i k

   



    

Do đó x là một tổ hợp lồi của m1 điểm trong 

15 Bao lồi

Cho   n Bao lồi của , ký hiệu là   , là giao của các tập lồi trong n chứa  (Theo

định lý 9, bao lồi của bất kỳ tập   n là tập lồi Hình 3.1.4 cho thấy 1 tập không lồi trong 2

và nó được chứa trong một bao lồi)

16 Định lý

Bao lồi   của 1 tập   n bằng tập tất cả các tổ hợp lồi của các điểm của 

Chứng minh: Giả sử  là tập xác định bởi:

Nếu 1 2

,

x x  thì

1

i

1

i

Do đó 0  1

 

Và

 

Vậy 1   2

1

   , và  là tập lồi Rõ ràng    Vì  là tập lồi, nên    

Theo đinh lý 13, ta có tập lồi   chứa nên cũng chứa tất cả các tổ hợp lồi của các điểm của 

Do đó     và    

17 Tổng của 2 tập

Lấy   , n Tổng của    được định nghĩa bởi

z z x y x, , y 

       

18 Tích của một tập hợp với một số thực

Lấy   n và  Tích  được định nghĩa bởi  z zx x, 

Chú ý nếu  1 và  , n, thì        Lưu ý rằng đây không phải là phần bù của  tương ứng với  theo định nghĩa tại 1.2 và viết là  

19 Định lý

Tổng    của hai tập lồi  và  trong nlà một tập lồi

Chứng minh: Lấy 1 2

,

z z   , thì z1  x1 y1 và z2 x2y2, trong đó 1 2

,

x x  và

,

y y  Cho 0  1

  1 2   1 2   1 2

1 z z  1 x x  1 y y   

(Một điểm trong , (Một điểm trong , bởi tính lồi của ) bởi tính lồi của )

Khi đó   là tập lồi

20 Định lý

Tích  của một tập lồi  trong n và số thực  là một tập lồi

Chứng minh: Lấy 1 2

,

z z   thì z1x1, z2 x2 trong đó x x1, 2 Cho 0  1

(1 điểm trong , bởi tính lồi của )

21 Hệ quả

Nếu  và  là 2 tập lồi trong n, thì    là 1 tập lồi

II Định lý tách tập lồi

Bằng trực giác thấy rằng nếu có hai tập lồi rời nhau trong n

, thì ta có thể dựng một mặt phẳng sao cho một tập sẽ nằm ở một phía mặt phẳng và một tập khác nằm ở phía khác Mặc dù nó đơn giản nhưng đây là một kết quả khá sâu và không dễ dàng để chứng minh Một phiên bản của kết

quả này, định lý Hahn-Banach, có thể được thiết lập bằng cách chỉ sử dụng các tính chất 1.3.3 của

không gian vector và không phải là tính chất topo cảm sinh bởi chuẩn x (Berge 63, valentine 64) Tuy nhiên, chúng ta sẽ sử dụng những tính chất topo của n (tất cả các tóm tắt trong Phụ lục B) trong việc suy luận ra các định lý tách tập lồi Đặc biệt là phương pháp chứng

minh sẽ sử dụng định lý Gordan của giả thiết 2.4.5 và các định lý giao hữu hạn của tập compact

B.3.2 (iii) (Từ đây, kiến thức về các nội dung của Phụ lục B được giả định)

1 Mặt phẳng tách

Mặt phẳng x x n, cx, c0 được gọi là tách (tách ngặt) hai tập  và  khác rỗng trong n nếu

 

 

     Nếu một mặt phẳng như vậy tồn tại, các tập  và  được gọi là tách được (tách ngặt được)

Hình 3.2.1 minh họa đơn giản trong 2 của hai tập trong nđược tách, nhưng mà không phải rời nhau, cũng không lồi lưu ý rằng trong trường hợp tổng quát, tách được không có nghĩa là các

tập sẽ rời nhau (Hình 3.2.1), cũng không phải là trong trường hợp tổng quát, Hai tập rời nhau thì tách được (Hình 3.2.2) Tuy nhiên, nếu các tập khác rỗng, lồi, và rời nhau, thì chúng tách được,

và thực tế đây là một định lý tách được chúng ta cần chứng minh

Hình 3.2.1: Tách nhưng các tập không rời nhau

2 Bổ đề

Cho  là một tập lồi khác rỗng trong n, không chứa gốc 0 Khi đó, nó tồn tại một mặt phẳng

x x n, cx0 , c0 , tách  và 0, đó là

0

x cx

Chứng minh: Với mỗi x chúng ta kết hợp các tập đóng khác rỗng

Lấy 1

, , m

x x là tập hữu hạn các điểm trong  Từ tính lồi của  , Định lý 3.1.13, và 0  , ta suy ra

i

  không có nghiệm p m

Hình 3.2.2 Rời nhau nhưng không là tập tách.

Hoặc tương đương

1

m

i

i

i



 không có nghiệm p m

Do đó bởi định lý 2.4.5 của Gordan

0, 1, ,

i

x y i m có nghiệm y m

Rõ ràng y0, và ta có thể lấy y sao cho yy1 Khi đó

x

Và do đó

m x

i

  

Các tập  x x là tập đóng liên quan đến tập compact y y n, yy1(xem B.1.8 và

B.3.2(i)), do đó theo định lý giao hữu hạn B.3.2(iii) ta có x

x    Lấy điểm c bất kỳ

trong giao điểm này Khi đó cc1 và cx0 cho tất cả x Do đó

x x n, cx0 là mặt phẳng tách được cần tìm

Nó được nhận xét rằng trong bổ đề trên ta đã không đặt bất kỳ điều kiện về  khác hơn lồi Các ví dụ sau đây cho thấy bổ đề trên không thể được tăng cường để x cx0 không có một số bổ sung giả thiết Tập

không tồn tại mặt phẳng  n, 0

x x cx sao cho x cx0 (hình 3.2.3)

Mặt khác, nếu ta giả thiết  là đóng (hoặc thậm chí nếu ta giả thiết ít hơn, cụ thể là gốc không phải là một điểm của bao đóng ), khi đó ta có thể thiết lập một kết quả mạnh hơn, đó là, có tồn tại một mặt phẳng tách ngặt gốc từ  (xem hệ quả 4 và Bổ đề 5 dưới

đây)

Hình 3.2.3

3 Định lý tách

Cho  và  là hai tập lồi khác rỗng rời nhau trong n Khi đó tồn tại một mặt phẳng

x x n, cx, c0, ngăn cách hai tập trên, đó là,





  

   Chứng minh: Tập

x x y z y, , z 

        là lồi bởi hệ quả 3.1.22 và nó không chứa gốc 0 bởi

vì     Bởi bổ đề ở trên tồn tại 1 mặt phẳng x x n, cx0 , c0 như vậy

0

x  cx hoặc y  , z c y  z 0

Do đó inf cy sup

 

Xác định

2

 





  

   Thực tế ta suy ra được từ các định lý tách cơ bản trên một hệ quả, và hệ quả từ một bổ đề,

(Bổ đề 5) Bổ đề 5 được sử dụng trong việc thiết lập một định lý tách ngặt, Định lý 6,

dưới đây

4 Hệ quả

Cho  là một tập lồi không rỗng trong n Nếu gốc 0 không là một điểm của bao đóng

 ( hoặc tương đương nếu gốc không nằm trong bao đóng  của ), khi đó tồn tại một mặt phẳng x x n,cx,c0,0, tách ngặt  và 0, và lồi Nói cách khác





 

  

Chứng minh   Giả thiết, tồn tại c0, 0 như vậy cx với mỗi x Nếu

0 , thì (xem B.1.3 và B.1.6) tồn tại một x như vậy x  2 c , và do đó

2 c 2 c c x cx

Là một mâu thuẫn Do đó 0

  Từ 0 không là một điểm trong bao đóng của , tồn tại một hình cầu

mở B 0 x x n, x  quanh 0 như vậy B 0    (xem B.1.3) Từ hình

cầu B 0 là lồi (xem 3.1.7), theo định lý 3 cho rằng tồn tại một mặt phẳng

x x n, cx, c0 như vậy

 0



Từ B 0 là một hình cầu mở, nó cần chứa vector c khác không cho một vài số dương

 Do đó   cc0 Cho 1 0

2 cc

    thì x cx    0

5 Bổ đề

Cho  là một tập lồi đóng, khác rỗng trong n Nếu  không chứa gốc, thì tồn tại một mặt phẳng x x n, cx, c0,  0 tách ngặt  và 0, và ngược lại Nói cách





 

  

Chứng minh: Bổ đề này có được từ hệ quả 4 ở trên bằng cách quan sát các yêu cầu đó,  đóng được và không chứa gốc 0 nghĩa rằng 0 không phải là một điểm của bao đóng của ,

, nghĩa là, 0 (xem B.1.3, B.1.5 và B.1.6)

6 Định lý tách ngặt

Cho  và  là hai tập lồi khác rỗng trong n, với  compact và  đóng Nếu  và 

rời nhau, thì tồn tại một mặt phẳng x x n, cx, c0, tách ngặt chúng và ngược lại Nói cách khác

0, :

c







 

        

  

Chứng minh:   nếu x , thì cx  cx, mâu thuẫn

  tập    x x y z y, , z là lồi bởi hệ quả 3.1.22 và đóng bởi hệ quả B.3.3 Do đó bởi bổ đề 5 ở trên, tồn tại một mặt phẳng

x x n, cx, c, 0 như vậy

0

x   cx  Hoặc

 

y z c yz  

Do đó

inf cy sup sup

  

Xác định

2

 





  

   Các định lý tách ở trên được sử dụng để lấy được một số định lý cơ bản cho các hàm lồi trong các chương tiếp theo, do đó được sử dụng trong việc nhận biết tiêu chuẩn điểm yên

ngựa tối ưu cơ bản Kuhn-Tucker của chương trình phi tuyến lồi trong chương 5 và cũng

là định luật tối thiểu điều kiện tối ưu cần thiết của chương 11

Ta nhận thấy rằng đây là một định lý thay thế Định lý Gordan 2.4.5, đã cơ bản trong việc

suy luận ra các định lý tách trên Ta có thể đảo ngược phương pháp và sử dụng các định

lý tách ở trên để suy ra các định lý thay thế, vậy để suy ra định lý Gordan 2.4.5, cụ thể là

một trong hai '

   có nghiệm y m hay Ax0 có nghiệm x n, ta nhận thấy rằng nếu e m là một vector của ones, thì A y' 0, y0 không có nghiệm

       (bởi 5)

'

0

Ac



Hàm ý cuối cùng theo sau bằng cách lấyy e i m, i1, ,m , trong đó i

e có số không cho tất cả các phần tử ngoại trừ 1 cho phần tử thứ i

Sử dụng hệ dàn của Bổ đề 5, ta có thể dùng để tái diễn hình học của định lý Gordan như

sau: Hoặc là gốc 0 n

Hình 3.2.5 giải thích hình học của Bổ đề 5

Nằm trong bao lồi của các hàng vector A1, ,A của ma trận A ( n A y' 0, y0 có

nghiệm, hình 3.2.4a), hoặc nó không thuộc (trong trường hợp, bởi bổ đề 5, Ax > 0 có

một nghiệm x c , hình 3.2.4b) Tổng quát hơn, nếu  là tập lồi khác rỗng đóng bất kỳ trong n , hoặc là nó có chứa nguồn gốc, hình 3.2.5a, hoặc nó không chứa (trong trường hợp, bởi bổ đề 5, tồn tại một vector n

c làm cho một góc nhọn ngặt với mỗi x,

hình 3.2.5b)

7 Bài toán