Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 1

Bài toán về điểm yên ngựa và sự cực tiểu hóa.. Định lý điều kiện cần tiêu chuẩn tối ưu điểm yên ngựa FritzJohn.. 18 5.4.8 Định lý tối ưu cần thiết cho điểm yên ngựa Kuhn-Tucker trong sự

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

         

Bài thu hoạch môn:

TỐI ƯU PHI TUYẾN

Chủ đề:

HÀM KHẢ VI VÀ TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUY

HOẠCH KHÔNG KHẢ VI

2.Võ Duy Phương 3.Lê Văn Sang

TPHCM, 01/2015

LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Trịnh Công Diệu – Người đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập ghiên cứu và thực hiện đền tài báo cáo môn học

Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô và các bạn khoa Toán đã đóng góp những ý kiến quý báu của mình cho việc nghiên cứu và hoàn thành báo cáo môn học

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè cùng với các đồng nghiệp và tất cả những người

đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành tốt báo cáo môn học

Tuy nhiên, trong báo cáo môn học sẽ không tránh được những khuyết điểm và thiếu sót nên tôi rất mong quý thầy cô và các bạn góp ý để hoàn thiện hơn báo cáo môn học và tích lũy kinh nghiệm cho công tác nghiên cứu sau này

Xin chân thành cảm ơn đặc biệt đến thầy Trịnh Công Diệu

MỤC LỤC

Lời cảm ơn 2

PHỤ LỤC D: HÀM KHẢ VI VÀ ĐỊNH LÝ HÀM ẨN 5

1 Hàm khả vi – khả vi cấp hai 5

1.1 Hàm số khả vi 5

1.2 Đạo hàm riêng và gradient của một hàm số 5

1.3 Định lý 5

1.4 Hàm vector khả vi 6

1.5 Đạo hàm riêng phần và định thức Jacôbi của hàm vector 6

1.6 Định lý quy tắc dây chuyền 7

1.7 Hàm số khả vi cấp hai và Hessian 7

1.8 Định lý 7

1.9.Chú ý 8

1.10.Chú ý 8

CHƯƠNG 5: TIÊU CHUẨN TỐI ƯU QUY HOẠCH KHÔNG KHẢVI 9

5.1 Bài toán về điểm yên ngựa và sự cực tiểu hóa 10

5.1.1 Bài toán về cực tiểu hóa (MP) 10

5.1.2 Bài toán về cực tiểu địa phương (LMP) 10

5.1.3 Bài toán về điểm yên ngựa Fritz John (FJSP) 10

5.1.4 Bài toán về điểm yên ngựa Kuhn-Tucker (KTSP) 11

5.1.5 Chú ý 11

5.1.6 Chú ý 11

5.1.7 Chú ý 11

5.2 Một vài cơ sở nghiên cứu cho bài toán cực tiểu hóa và cực tiểu địa phương 12 5.2.1 Địnhlý 12

5.2.3 Định lý đơn trị 12

5.2.4 Định lý 13

5.3 Điều kiện đủ của tiêu chuẩn tối ưu 13

5.3.1 Định lý điều kiện đủ của tính tối ưu 14

5.3.2 Bài toán 15

5.3.3.Hệ quả 15

5.4 Tính cần thiết của tiêu chuẩn tối ưu 16

5.4.1 Định lý điều kiện cần tiêu chuẩn tối ưu điểm yên ngựa FritzJohn 16

5.4.2 Bài toán 17

5.4.3 Tiêu chuẩn ràng buộc của Slater 17

5.4.4 Tiêu chuẩn ràng buộc của Karlin 17

5.4.5 Tiêu chuẩn ràng buộc tuyệt đối 17

5.4.6 Bổ đề 18

5.4.7 Định lý điều kiện tối ưu của Kuhn-Tucker 18

5.4.8 Định lý tối ưu cần thiết cho điểm yên ngựa Kuhn-Tucker trong sự hiện diện của các điều kiện ràng buộc tuyến tính ngang nhau 19

Tài liệu tham khảo 22

Ta nói  gọi là khả vi trên nếu nó khả vi tại mọi xtrong  [Rõ ràng nếu  khả

vi trên tập mở , nó cũng khả vi trên bất kỳ tập hợp con (mở hoặc đóng) của 

Do đó khi chúng ta nói  khả vi trên tập  (mở hoặc đóng), chúng ta sẽ có  khả

vi trên tập mở chứa ]

1.2.Đạo hàm riêng và gradient của một hàm số

Cho  là một hàm số học xác định trên một tập mở  trong n

tiến tới giới hạn hữu hạn khi 

tiến tới zero

Tại giới hạn đó gọi đạo hàm riêng của  đối với x i tại x và ký hiệu là ( ) /x x i Vector n-chiều của đạo hàm riêng của đối với x1 , ,x n tại xgọi là gradient của

 tại xvà được ký hiệu là ( )x đó là

ii) Nếu  liên tục đạo hàm riêng tại xđối với x1 , ,x n đĩ là, ( )x tồn tại

và r liên tục tại x, thì  khả vi tại x

Tĩm tắt các kết quả trên như sao:

liên tục tại x .

1.4.Hàm vector khả vi

Cho f là hàm vector m-chiều xác định trên tập mở  trong Rn, và cho x , f

khả vi tại x(tương ứng trên  ) nếu mỗi thành phần của nĩ f1, ,f m khả vi tại

x(tưng ứng trên  )

1.5.Đạo hàm riêng phần và định thức Jacơbi của hàm vector

Cho f là hàm vector m-chiều xác định trên tập mở  trong Rn, và cho x  , f

cĩ đạo hàm riêng tại xđối với x1 , ,x n nếu mỗi thành phần của nĩ f1, ,f m

cĩ đạo hàm riêng phần x đối với x1, ,x n Chúng ta được định thức như sau:

1.6.Định lý quy tắc dây chuyền

Cho f là hàm vector m-chiều xác định trên tập mở  trong Rn, và cho x  , và

ij

( )( ) , 1, ,

nghĩa là (x) = (x)

  được gọi là đạo hàm riêng phần thứ 2 của  tại x

Một cách tương tự ta có thể xác định đạo hàm riêng phần của tại x

1.10.Chú ý

Cho là hàm số xác định trên tập mở của n k

R R

   nó khả vi tai ( , )x y  Chúng được xác định như sau:

n k x

CHƯƠNG 5: TIÊU CHUẨN TỐI ƯU QUY HOẠCH KHÔNG KHẢ VI.

Mục đích của chương này trình bài bài toán về nội dung tiêu chuẩn tối ưu quy hoạch phi tuyến của điểm yên ngựa điểm vừa thỏa bé nhất vừa thỏa lớn nhất trên một hệ quy chiếu (ví dụ: là điểm lớn nhất đối với hàng bé nhất đối với cột trong một ma trận hai hàng hai cột) Tiêu chuẩn tối ưu phi tuyến này được minh họa bởi một ví dụ Xét bài toán cực tiểu trên hàm  trong tập X x x/    R, x 2 0 tại nơi   2

x x

  Hiển nhiên nghiệm là x 2, và cực tiểu min x  4 Điểm yên ngựa trong tiêu chuẩn tối ưu cho bài toán này là một điều kiện cần và điều kiện đủ vừa x là nghiệm cực tiểu của bài toán vừa tồn tại một số thực u 4usao cho

Chúng ta chỉ nghiên cứu tiêu chuẩn tối ưu của chương này với giả thuyết tính không khả vi trên hàm phức tạp Tiếp theo chương này chương 7 và 11 sẽ thiết lập tiêu chuẩn tối ưu của hàm khả vi

5.1 Bài toán về điểm yên ngựa và sự cực tiểu hóa

Tiêu chuẩn tối ưu của chương này là trình bày lại lời giải bài toán cực tiểu hóa, một bài toán về cực tiểu địa phương, hai bài toán về cực tiểu khác là hai điểm yên ngựa Chúng ta định nghĩa những dạng bài toán ở bên dưới

Giả xử 0

X là một tập con của R, giả xử cho , g lần lược là một hàm số và một không gian vector m chiều xác định trên 0

X

5.1.1 Bài toán về cực tiểu hóa (MP)

Tìm x , nếu nó tồn tại thì x thỏa :

5.1.2 Bài toán về cực tiểu địa phương (LMP)

Tìm x , nó tồn, nếu x thỏa : cho một vài quả cầu mở B  x xung quanh x, với bán kính  0, xB  x X  x  x

5.1.3 Bài toán về điểm yên ngựa Fritz John (FJSP)

5.1.4 Bài toán về điểm yên ngựa Kuhn-Tucker (KTSP)

5.1.6 Chú ý

Nếu trị số của các hàm số x r r, ,0  và  x u, bên trên xác định thì thường được gọi là những hàm Lagrange, và không gian vevtor m chiều r và u nhân tử Lagrange có thể thay đổi được Các nhân tử đó giữ vai trò quang trọng trong quy hoạch tuyến tính và phi tuyến Chúng là những đồng dạng trong phép tính cổ điển nhân tử Lagrange nơi mà một vài giá trị của cực tiểu hàm số bị ràng buộc với đẳng thức Bởi vì ở đây chúng ta có sự hạn chế của bất đẳng thức, nhân tử Lagrange thay đổi nhưng không âm nên khi đó chúng ta xem ràng buộc của đẳng trong 5.3.2, 5.4.2, 5.4.8, nhân tử liên kết với đẳng thức không bắt buộc để không

âm Tức là nó tạo ra những đồng dạng lagrange

  có thể giải thích là định luật cực tiểu hóa, giống định

luật cực đại của Pontryagin Trong định lý nguyên thủy Pontryagin cần có điều kiện tối ưu để có tính tối ưu

5.2 Một vài cơ sở nghiên cứu cho bài toán cực tiểu và cực tiểu địa phương

Bây giờ chúng ta sẽ thiết lập một vài là cơ sở nghiên cứu liên quan đến lời giải bài toán về cực tiểu và lặp lại lời giải về cực tiểu và cực tiểu địa phương

5.2.1 Địnhlý

Cho X là tập lồi, và  là một hàm lồi trên X.Tập hợp của những lời giải MP 5.1.1 là hàm lồi

Chú ý: Cần phải có một điều kiện đủ nhưng không cần thiết phải có điều kiện cần

để cho hàm lồi của X là 0

X là tập lồi và g lồi trên 0

X Từ 3.1.10, 4.1.9 ta có điều đó

Cho X là một tập lồi và x là nghiệm lồi của MP5.1.1 Nếu  là lồi hoàn toàn tại

x khi đó x là nghiệm đơn trị của MP5.1.1

Chứng minh: Nếu MP5.1.1 không có nghiệm như trong định lý có hiển nhiên đúng Cho x là một nghiệm của MP5.1.1 Khi đó  không chứa trên X, có tồn tại xX mà  x  x Nếu z là một điểm nằm phía trong X ,có tồn tại yX, cho 0  1, z 1 xy Nhìn 5.2.1 khi đó:

 z  1 x y 1   x   y 1   x    y x

             ,

và khi đó  x không thể tìm được cực tiểu tại z

Phần 5.2.2 chỉ ra rằng một ví dụ cơ bản của định lý đơn trị trên R

5.2.4 Định lý

Nếu x là ngiệm của MP5.1.1, khi đó nó cũng là nghiệm của LMP5.1.2 Khi đó

điều ngược lại là đúng nếu X là lồi và  là lồi hoàn toàn tại x

Chứng minh: Nếu x làm sáng tỏa MP5.1.1, khi đó x làm sáng tỏa LMP5.1.2 cho

bất cứ  0 Để chứng minh điều ngược lại, giả sử rằng x làm sáng tỏa

MP5.51.1  0và cho X là tập lồi, và  là một hàm lồi tại x và cho yX Khi

5.3 Điều kiện đủ của tiêu chuẩn tối ưu

Điều kiện đủ quang trọng của tiêu chuẩn tối ưu nghiên cứu ở đây (1 và 2 bên dưới)

cần tìm là giả xử không lồi trên cực tiểu hóa bài toán MP5.1.1 Tiêu chuẩn này là

hoàn toàn mục tiêu để hướng đến và không cần thiết phức tạp một cách máy móc

theo quy tắt Trước hết xem kết của kiểu bài toán này thu được trong [Uzawa58]

5.3.1 Định lý điều kiện đủ của tính tối ưu

Nếu  x u, là nghiệm KTSP5.1.4 , khi đó x là một nghiệm của MP5.1.1 nếu

x r, 0 ,r là ngiệm của FJSP5.1.3 và r 00, x là một nghiệm của MP5.1.1

Chứng minh: Mệnh đề thứ hai của định lý theo sau không quan trọng so với mệnh

u u u u  i j j m Khi đó g j x  0 Lặp lại cho tất cả j

chúng ta có được g x  0, từ đây x là một điểm thỏa, có xX

Từ đây u 0 g x  0 Chúng ta có ug x  0 Nhưng lặp lại bất đẳng thức đầu tiên bài toán điểm yên ngựa ta có, bằng cách đặt u0, mà ug x  0 Nên

Cho        

       

, , , , ,

5.4.Điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu

Điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu xét tại nơi càng phức tạp, điều kiện đủ xét tại nơi tiêu chuẩn tối ưu càng phức tạp

Chúng ta bắt đầu bằng việc chứng minh điều kiện cần tiêu chuẩn tối ưu với điều kiện tùy ý Điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu là tính đồng dạng dựa trên nền tảng điều kiện cần tiêu chuẩn tối ưu FritzJohn chương 7 Cái mà nhận được từ trường hợp hàm , glà khả vi nhưng không lồi

5.4.1.Định lý điều kiện cần tiêu chuẩn tối ưu điểm yên ngựa FritzJohn

x r R rR r r  sao cho

r  x  x rg x  xX Bằng việc đưa vào xx lên bên trên chúng

ta có được rg x  0 Nhưng khi r 0 và g x  0 chúng ta cũng córg x  0.Kể

từ đó rg x  0và         0

r  x rg x r  x rg x xX trong bất đẳng thức thứ hai FJSP5.1.3 Chúng ta cũng có bởi vì g x  0, mà   0 0, m

Hệ quả của định lý tách của tập lồi

Điều kiện chính quy càng quang trọng càng cần thiết cho tiêu chuần

Không cần thiết

Không cần thiết

Không cần thiết

R , , glà lồi trên 0

X , và tất cả những điểm ngược lại được xác định như MP5.1.1 Chỉ ra rằng nếu xlà nghiệm của bài toán bên trên khi đó x r, 0 R r, R m,sR k,  r r0 ,  0, r r s0 , ,  0 thỏa mãn

,

x x

mà g là tuyệt đối tại 1

x

5.4.6 Bổ đề

Tiêu chuẩn ràng buộc của Karlin và tiêu chuẩn ràng buộc của Slater là tương đương Tiêu chuẩn ràng buộc của Karlin và tiêu chuẩn ràng buộc của Slater là tương đương là kết quảtiêu chuẩn ràng buộc tuyệt đối

Chứng minh: 34 Bằng định lý suy rộng Gordan 4.2.3, 3 và 4 tương đương

53 Khi 0

X lồi, cho bấc kỳ 0  1,  1 2

1 x x X.Bởi vì glà lồi tuyệt đối tại 1

5.4.7 Định lý điều kiện tối ưu của Kuhn-Tucker

Chứng minh: Đầu tiên chúng ta nhận thấy rằng bằng các bổ đề 6 ở trên chúng ta chỉ cần thiết lập các ràng buộc theo định lý của Karlin Theo định lý 1, x và một

Để làm điều này, chúng ta phải cho tập hợp 0

X của MP 5.1.1 trên toàn bộ n

Hình 5.4.1: Mối liên hệ giữa các giải pháp tối ưu hóa trong vấn đề (LMP) 5.1.2,

và vấn đề tối ưu hóa (MP) 5.1.1, vấn đề điểm yên ngựa Fritz John (FJSP) 5.1.3,

và vấn đề điểm yên ngựa Kuhn-Tucker 5.1.4

ii) (Suy rộng Karlin 4) Ở đó không tồn tại p 0,pR m,qR k như sau:

pq x q Bxd  với tất cả n

xR

iii) X chứa ít nhất 2 điểm riêng biệt x và x như vậy g là mặt lồi ngặt tại

cho tất cả u 0, u R ,tất cả v R ,tất cả x R

Chứng minh:(iii)  (ii)  (i)

Và sao đĩ chứng minh định lý dưới (ii)





11

k

k i i i

0

k

i i k i

s d d và B x d k  k  0 với mọi x thỏa

hàng phụ thuộc tuyến tính B k (mà không thay đổi các vấn đề tối ưu hóa) và cho

 0

k

v trong vấn đề điểm yên ngựa

Bởi 2 ở trên, có tồn tại r R r R s R0 ,  m,  k, ( , ) 0, ( , , ) 0r r0  r r s0  , thỏa rg x( ) 0 

và giải quyết các vấn đề điểm yên ngựa của 2 Nếu r 0 thì  

Tài liệu tham khảo:

1 Giáo trình lý thuyết tối ưu hóa – PGS.TS Trịnh Công Diệu

2 Giáo trình nonlinear programming – Olvi L Mangasarian

4 http://nlv.gov.vn/