Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 5

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN – TIN BÀI TIỂU LUẬN MÔN: LÍ THUYẾT TỐI ƯU PHI TUYẾN ĐỀ TÀI: TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUY HOẠCH PHI TUYẾN VỚI GIẢ THIẾT KHẢ VI PHẦ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA TOÁN – TIN

BÀI TIỂU LUẬN MÔN: LÍ THUYẾT TỐI ƯU PHI TUYẾN

ĐỀ TÀI:

TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUY HOẠCH PHI TUYẾN

VỚI GIẢ THIẾT KHẢ VI (PHẦN II)

3 NHẮC LẠI MỘT SỐ BÀI TOÁN

a Bài toán cực tiểu MP

b Bài toán cực tiểu địa phương LMP

c Bài toán điểm yên ngựa Fritz John (FJP)

d Bài toán điểm yên ngựa Kuhn – Tucker (KTP)

d Ràng buộc định tính Kuhn – Tucker

e Ràng buộc định tính Arrow – Hurwicz –Uzawa

f Ràng buộc định tính lồi đảo ngược

7 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC RÀNG BUỘC ĐỊNH TÍNH

8 ĐỊNH LÍ TỐI ƯU CẦN CỦA BÀI TOÁN ĐIỂM DỪNG KUHN –

Hàm  được gọi là hàm lõm trên  nếu nó lõm với mọi x

3 Nhắc lại một số bài toán

a Bài toán cực tiểu MP

Cho hàm số :X0  n  Tìm u* sao cho:

n n

X  là một tập lồi và  là hàm lồi trên 0

X thì Bài toán cực tiểu MP được gọi là Bài toán quy hoạch lồi (BTQHL)

u u u u X  được gọi là phương án tối ưu địa phương.

c Bài toán điểm yên ngựa Fritz John (FJP)

*Bài tập điểm yên ngựa

Ví dụ: Chứng minh rẳng phương trình f x y , ax2 bxy cy 2 với

Vậy tại  0,0 chúng ta nhận được g y GTNN 0 và f x GTLN 0

Vậy  0,0 là điểm yên ngựa của f x y , , với a0

Nếu z thỏa ( )x z 0, g x z( )  0, g V( )x z0 thì xảy ra mâu thuẩn

Giả sử z thỏa các bất phương trình trên

xzX B x( ) với 0  

Do  và g khả vi tại xnên:

 

X  x xX g x 

Trong đó: V i g x| i 0,g i lõm tại x  và Wi g x| i 0,g i không lõm tại x 

f Ràng buộc định tính lồi đảo ngƣợc

nếu gkhả vi tại x và nếu với mỗi iI hoặc g i lõm hoặc g ituyến tính trên n, trong đó:

b Định lí tối ƣu cần cho bài toán điểm dừng Fritz John

X là một tập mở,  và g khả vi tại x Khi đó, tồn tại r0 m sao cho ( , , )x r r0 là nghiệm của FJP và ( ,r r0 W)0

Trong đó: W { | i g x i( )0,g i không lõm tại x}

Nhóm 11 Trang 12

Theo bổ đề ở trên, ta có:

W

( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

Do đó, theo định lí Motzkin 6.a thì tồn tại r r0, W,r V sao cho:

tương đương nhau

X là tập lồi, với mỗi , 0   1, ta có:

1 2 0 (1 )x x X

i) Nếu gthỏa ràng buộc 5.f tại x thì gthỏa ràng buộc 5.e tại x

ii) Nếu gthỏa ràng buộc 5.f tại x thì gthỏa ràng buộc 5.d tại x

X lồi, glồi trên X , gkhả vi tại x Nếu gthỏa ràng buộc Slater trên 0

X ,

ii) Giả sử gthỏa ràng buộc 5.f tại x Ta định nghĩa: I i g x| i 0 và

<0 (với  nào đó thỏa 0  )

Trong đó bất đẳng thức cuối cùng đúng vì g J x 0 và lim0 ix, y 0

  

Do đó g Ie   0 với 0  1

Vì g Ie   0 với 0  1nên ta có e  X với 0  1

Vậy điều kiện (b) của ràng buộc 5.d được thỏa mãn

iii) Do bổ đề 6.c nên ta có ràng buộc Slater và ràng buộc Karlin là tương đương nhau

và từ ràng buộc định tính nghiêm ngặt ta suy ra được cả hai ràng buộc Slater và Karlin

Do đó ta chỉ cần thiết lập bổ đề với ràng buộc Slater

xX sao cho g x 0

Do gkhả vi tại x nên ta có: 0g I   x g I x g I x  g I x  xx

Trong đó: I i g x| i 0

Do g  x x nên ta có g I x z0 và do đó ràng buộc 5.e được thỏa mãn

7 Mối quan hệ giữa các ràng buộc định tính

Karlin’s CQ 5.b Slater CQ 5.a Strict CQ

Nhóm 11 Trang 15

8 Định lý tối ƣu cần của bài toán điểm dừng Kuhn – Tucker

LMP 3.b ,  và g thỏa:

Chứng minh: Theo bổ đề 2, ta chỉ cần thiết lập định lý với điều kiện (i) hoặc (ii)

Xét bài toán quy hoạch phi tuyến tổng quát:

Lúc đó, hàm Lagrange tương ứng với bài toán trên có dạng:

1

( , ) ( )

m

i i i

tiêu f(x) và các ràng buộc g ( ), i=1,mi x  là các hàm khả vi

Xét tập các chỉ số I  {i:g (x )=0}i *

Giả sử các vectơ  g xi( ),*   i I là độc lập tuyến tính

Khi đó, tồn tại vectơ có m tọa độ  sao cho ( , ) x*  là điểm dừng Lagrange

Trong số các vectơ x* n, tồn tại vectơ có m tọa độ  sao cho ( , ) x*  là điểm dừng của hàm Lagrange có thể tìm được phương án tối ưu địa phương của bài toán quy hoạch phi tuyến (*) Theo định lí 1 ở trên, ta có thể tìm được phương án tối ưu toàn cục trong số các điểm dừng trên

d Thiết lập điều kiện Kuhn-Tucker

Xét hệ điều kiện bao gồm điều kiện điểm dừng của hàm Lagrange và điều kiện ràng buộc của bài toán quy hoạch phi tuyến:

Nhóm 11 Trang 19

1

( )

0, 1,( ) 0, 1,

( ) 0, 1,

0, 1,

m

i i

Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker: Cho bài toán quy hoạch  P , với mỗi điểm x*S P ,

điều kiện KKT (KKT conditions) tương ứng của là tồn tại sao cho

Định lý (điều kiện của nghiệm tối ƣu của bài toán quy hoạch lồi): Cho bài toán quy

hoạch lồi

Chứng minh (1): Xét hàm Lagrange Hàm này là hàm lồi trên và

Nhóm 11 Trang 20

Chứng minh (2):

“ “: Hiển nhiên theo (1)

Tức là phải thỏa mãn điều kiện KKT

Từ (1) và (3) ta suy ra x1 0 Theo (3) ta suy ra 1 0

Xét 2 điểm là (0,0) và (0,1) ta thấy phương án tối ưu toàn cục có thể là:

 (0;0) với  1  2 0,3 2,4  2 Đây không phải là điểm dừng của hàm Lagrange (4   2 0)

 (0;1) với  1  2 0, 3  4 2 Đây là điểm dừng của hàm Lagrange

Khi đó, Min f(x) = 1

Kết luận: Vậy Min f(x) = 1 tại (0,1).

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Olvi.Mangasarian - Nonlinear programming

2 Nguyễn Hải Thanh – Tối ưu hóa – NXB Bách Khoa Hà Nội – 2006

3 Một số tài liệu từ Internet