Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 6

Những định lý này Xẽ được Xử dụng để đưa ra điều kiện cần tối ưu điểm yên ngựa của chương 5 và nguyên tắc cực tiểu điều kiện tối ưu cần của chương 11.. Với bài toán đơn giản trên, điểm y

MÔN: TỐI ƯU PHI TUYẾN

PHẦN 1 CHƯƠNG 4: HÀM LỒI – HÀM LÕM PHẦN 2: TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUI HOẠCH KHÔNG KHẢ VI

Thành viên nhóm:

BỒ TÙNG LINH BÙI THỊ THƠM NGUYỄN THỊ MỸ THUẬN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM

Khoa Toán – Tin

Ta cung cấp trong chương này một Xố tính chất cơ bản của hàm lồi và hàm lõm và đưa ra một Xố định lý chủ yếu liên quan đến các hàm này

Các định lý này, xuất phát bằng cách Xử dụng các định lý tách cho các tập lồi của chương 3, gần giống với các định lý thay thế ở chương 2, cho các hệ thống tuyến tính Trong ý nghĩa này hàm lồi và lõm có một Xố tính chất quan trọng của hàm tuyến tính

Những định lý này Xẽ được Xử dụng để đưa ra điều kiện cần tối ưu điểm yên ngựa của chương 5 và nguyên tắc cực tiểu điều kiện tối ưu cần của chương 11 Cuối cùng, đề cập đến hàm không khả vi hoặc hàm liên tục được giới thiệu trong chương này Một chương tiếp theo chương 6, Xẽ được dành cho hàm lồi và lõm khả vi

f được gọi là lồi ngặt trên X nếu nó lồi ngặt tại mọi xX

1.1.3 Miền hữu hiệu (effective domain)

Miền hữu hiệu của f ký hiệu là dom được định nghĩa như sau

dom x X  x

1.1.4 Trên đồ thị (epigragh) của hàm

ký hiệu là epi , được định nghĩa như sau

0   ( , )  ,  , ( ) 

G epi x y x X y R X x y

Hàm lồi : X    có thể được mở rộng thành một hàm lồi trên toàn

không gian nbằng cách đặt f x( ) nếu xdom Vì vậy, để đơn giản, ta

thường xét  là hàm lồi trên n

c Cho I J, R là các tập lồi nếu f là một hàm lồi( lồi thực sự) trên I và g là

một hàm lồi không giảm( hàm lồi tăng ) trên tập lồi J, f I J thì g f

 được gọi là hàm lõm trên X nếu nó lõm tại mọi điểmxX

Hàm  lõm tại xX(lõm trên X) nếu và chỉ nếu hàm – lồi tại xX (lồi trên X) Kết quả thu được cho các hàm lồi có thể được thay đổi thành các kết quả cho các hàm lõm khi nhân với - 1, và ngược lại

(a) Một hàm lõm  trên R (b) Một hàm lõm  trên X  0,1

Hình 4.1.2 mô tả hàm lõm trên tập con lồi của n

các hàm được mô tả trong hình 4.1.1a là không không lồi ngặt trên R Nhưng trong hình 4.1.1b hàm lồi ngặt trên  1,  Cả hai hàm trong hình

4.1.2 là lõm ngặt trên tập xác định của chúng

Một hàm véc tơ f n-chiều xác định trên  n

X R là lồi tại xX , lồi trên X, … nếu mỗi f i, i 1,m là lồi tại xX , trên X, …

f Cho I J, R là các tập lõm nếu f là một hàm lõm ( lõm thực sự) trên I và

g là một hàm lõm không giảm( hàm lõm tăng ) trên tập lõm J, f I J thì

g f là hàm lõm ( lõm thực sự)

1.2.3) Định lý 1:

Cho hàm số  xác định trên một tập lồi  n

X R là lồi trên X thì điều kiện cần và

Giả sử  lồi trên X Lấy x z1, 1G o và x z2, 2G o

vì tính lồi của  trên X ta có 0  1

Cho hàm số  xác định trên một tập lồi  n

X R là lõm trên X thì điều kiện cần

và đủ là

0 ( , ) , , ( ) n

H  x y xS yR x y R 

Hình 4.1.3a mô tả hàm lồi trên X và Epigraph G o

Hình 4.1.3b mô tả hàm lõm trên X và Hypograph H0 Hình 4.1.3 Epigraph G ocủa hàm lồi và Hypograph H0 của hàm lõm

1.2.4) Định lý 2

Cho hàm số  xác định trên một tập lồi  n

X R là lõm trên X Điều kiện cần nhưng không đủ để  lồi trên X là   , ( )    n

Cho hàm số  xác định trên một tập lồi  n

X R Điều kiện cần nhưng không đủ để  lõm trên X là tập   , ( )    n

A x x X  x  X R là lồi với mỗi số thực 

Hình 4.1.4a mô tả hàm lồi  trên tập lồi  n

X R R và tập lồi liên quan trên

A

Hình 4.1.4b mô tả hàm không lồi  và tập lồi liên quan trên A

Hình 4.1.4c mô tả hàm lõm  trên tập lồi n

S R Rvà tập lồi liên quan trên

Ví dụ: trên nữa đường thẳng Rx xR x,   1

Hàm số ( ) 22 1

1

x x

 



là một hàm lồi trên X, nhưng rõ ràng không liên tục tại x = -1

Hình 4.1.1b Tuy nhiên, nếu X là một tập lồi mở, thì hàm lồi trên X thì lại là liên tục Điều này được mô tả trong định lý theo sau

1.2.8) Định lý 6:

Lấy X làm một tập lồi mở trong n

R , Nếu  là một hàm số lồi trên X thì

nó liên tục trên X

Chứng minh:

Lấy x0 X , gọi  là khoảng cách (xem 1.3.9) từ 0

x đến điểm gần nhất trong n

R , không thuộc X (  nếu X=Rn) C là khối n-mặt với tâm x0

và

độ dài cạnh 2 , Cx xR n,    x i x i o ,i 1, ,n vì lấy

1 2 ( )n   ta có

C  Lấy V biểu thị tập 2n của C, đặt ax ( )

Từ đó phần trong của mỗi tập  n

X R là tập mở, Suy ra nếu  là hàm lồi trên tập lồi X=Rn thì nó liên tục trên phần trong của nó

1.3 Hàm thuần nhất dương lồi

Phần 2:

Tiêu chuẩn tối ưu của quy hoạch phi tuyến không khả vi

Mục đích của chương này là đưa ra tiêu chuẩn tối ưu của cho bài toán quy hoạch phi tuyến tính

Xét bài toán: Tìm cực tiểu của hàm   2

  x u x 2   x u x 2 ( )x u x 2

Ta kiểm tra bất đẳng thức trên có thỏa mãn với x 2,u4

Trên ¡ 2ta xét hàm     x u,  x   u x 2 có một điểm cực tiểu tại x u, 

suy ra Có một điểm yên ngựa tạix 2,u 4 Với bài toán đơn giản trên, điểm yên ngựa xảy ra ở cả điều kiện cần và đủ làm cho x trở thành phương án tối ưu của bài toán cực tiểu Điều này không phải luôn xảy ra trong mọi trường hợp Trong chương này, điểm yên ngựa ở trên là điều kiện tối ưu đủ mà không có bất kỳ yêu cầu nào về tính lồi Tuy nhiên, để đưa ra điều kiện cần của điểm yên ngựa, không những ta cần điều kiện lồi mà còn cần một số điều kiện ràng buộc khác nữa

Trong chương này ta tìm phương án tối ưu của các hàm số thoả điều kiện

ràng buộc mà không xét tính khảvi của chúng

5.1 Bài toán cực tiểu và điểm yên ngựa

Tiêu chuẩn tối ưu của chương này có liên quan đến phương án của bài toán cực tiểu, bài toán cực tiểu địa phương và hai bài toán điểm yên ngựa với nhau

Cho 0

X là tập con của n

R , cho  và g là các hàm số và một hàm vectơ chiều trên 0

m-X Ta xem xét các bài toán sau

5.1.1Bài toán cực tiểu (MP)

Tìm phương án tối ưu xthoả  0

Ví dụ 1: Tìm phương án tối ưu của bài toán :

5.1.2 Bài toán cực tiểu địa phương (LMP)

Tìm x thuộc Xsao cho có một vài quả cầu mở B  x quanh x với bán kính 0

Ta có thể phát biểu lại bài toán trên theo cách sau:

Điểm x được gọi là cực tiểu địa phương của hàm ftrên X nếu tồn tại một lân

cận Xcủa x sao cho

0 ( ) ( ),

f x  f x   x X X

5.1.3 Bài toán cực tiểu toàn cục (FLP)

Điểm x được gọi là cực tiểu toàn cục của hàm f trên X nếu tồn tại

Chú ý

- Nếu x r r, ,0  là phương án của bài toán (FJSP) và r0 0thì x r r, / 0 là phương án của bài toán (KTSP) Ngược lại, nếu x u,  là phương án của bài toán (KTSP) thì x,1,ulà phương án của bài toán (FJSP)

- Hai hàm số x r r, ,0  và k x u , định nghĩa ở trên được gọi là hàm Lagrangian

và vecto r và u m- chiều là các nhân tử Lagrangian Các nhân tử này có một vai trò trong quy hoạch tuyến tính và phi tuyến tính

- Bất đẳng thức đúng cho cả hai bài toán (FJSP) và (KTSP ) là

( , , )x r r ( , , )x r r

  cho mọi xX0và ( , ) x u ( , )x u cho mọi xX0 được giải thích như là nguyên lý cực tiểu

5.2 Một số kết quả của bài toán cực tiểu và cực tiểu địa phương

Ta thiết lập một số kết quả cơ bản trên tập lồi có liên quan với phương án của bài toán cực tiểu và cực tiểu địa phương

Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng  x là cực tiểu, và do đó *

Nếu ( MP) không có phương án thì định lý luôn đúng

Nếu x là phương án của (MP) thì tồn tại một điểm xX sao cho   x  x Nếu z là điểm trong của X, tồi tại điểm yX thoả z 1 xyvới 0  1 thì

1( )

5.2.4 Định lý

a) Nếu xlà phương án của (MP) thì sau nó cũng là phương án của (LMP)

b) Cho X là tập lồi và  lồi tại x Nếu x là phương án của (LMP) thì nó cũng

5.3 Điều kiện đủ của tiêu chuẩn tối ƣu

Điều kiện đủ của tiêu chuẩn tối được đưa ra trong phần này không yêu cầu tính lồi trên bài toán

Trong đó h là hàm vecto k-chiều trên 0

X và các điều kiện khác giống trong bài (MP) mục 5.1.1

5.3.3 Hệ quả

Nếu ( ,x r r0 , )là một phương án tối ưu của (FJSP) thì hoặc xlà phương án tối

ưu của (MP) hoặc X không có điểm trong liên quan đến g x( )0 đó là

5.4 Điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ƣu

Các vấn đề liên quan đến điều kiện cần của tiêu chuẩn là phức tạp điều kiện đủ của tiểu tối ưu Hai trường hợp này được so sánh trong bảng sau:

(a) Lồi cần thiết

b) Hệ quả của định lý tách tập

lồi cần thiết

(c) Điều kiện chính quy (điều

kiện ràng buộc) cần thiết và

quan trọng

Không cần tập lồi Không cần hệ quả của định

lý tách tập lồi Không cần điều kiện chính qui

Cách thiết lập một tiêu chuẩn tối ưu không cần điều kiện chính quy Tiêu chí tối ưu cần này tương tự với các tiêu chuẩn tối ưu cần của Fritz John là hàm  và

g là khả vi nhưng không lồi Ta không dùng tính khả vi ở đây, nhưng thay vào ta dùng tính lồi Các tiêu chuẩn hiện tại là điểm tiêu chuẩn điểm yên ngựa, trong khi tiêu chuẩn của FritzJohn là một tiêu chuẩn hình học Điểm chung của hai tiêu chuẩn là xuất hiện nhân tử r0

5.4.1 Định lý điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ƣu của của FritzJohn

Cho tập lồi X0 trong Rn , hàm và g lồi trên X0 Nếu xlà một phương án của (MP) thì x và rR m, ( , )r r0  0là phương án của (FJSP) mục 5.1.3 và rg x( )0

5.4.3 Điều kiện ràng buộc của Slater

Lấy Xº là một tập lồi trong n

R Hàm vector lồi m-chiều g trên Xº xác định trên miền lồi khả thiX x xX o, ( )g x  0thỏa điều kiện ràng buộc của Slater (trên X°)

nếu tồn tại số xX osao cho ( )g x 0

5.4.4 Điều kiện ràng buộc của Karlin

Lấy Xº là một tập lồi trong n

R Hàm vector lồi m-chiều g trên Xº xác định trên miền lồi X x xX o, ( )g x  0thỏa điều kiện ràng buộc của Karlin (trên X°) nếu

tồn tại sốpR m,p 0 thoả pg x( )0với mọixX0

5.4.5 Điều kiện ràng buộc ngặt

X là tập lồi trên n

R Hàm vectơ g m-chiều là hàm lồi trên 0

X được xác định trên miền lồiX x xX o, ( )g x  0được cho là thoả mãn điều kiên ràng buộc ngặt (trên 0

X ) nếu X chứa ít nhất hai điểm 1

x và x2khác nhau sao cho g là lồi chặt ở 1

x

5.4.6 Quan hệ giữa các ràng buộc

Điều kiện ràng buộc của Slater (3) và điều kiện ràng buộc của Karlin (4) là tương

đương Điều kiện ràng buộc ngặt bao hàm điều kiện ràng buộc của Slater và Karlin

FJSP

5.4.7 Định lý điều kiện cần của điểm yên ngựa Kuhn-Tucker

Cho X° là một tập lồi trong n

R ,lấyvà g là các hàm lồi trên Xº và g thoả điều kiện của Slater và Karlin hoặc điều kiện ràng buộc ngặt trên Xº Nếu x là phương án của (MP)thì x cũng là phương án (KTSP) và ug x( )0, với uR u m, 0

Điều này mâu thuẫn với điều kiện ràng buộc củaKarlin Do đó r0  0

Hình 5.4.1 thể hiện mối quan hệ giữa phương án của bài toán trong chương này

Suy ra điều kiện tối ưu điểm yên ngựa cần Kuhn-Tucker với ràng buộc buộc đẳng thức tuyến tính Ta phải có tập X0của (MP) bằng n

R

5.4.8 Định lý điều kiện cần của điểm yên ngựa Kuhn-Tucker với ràng buộc đẳng thức tuyến tính

Cholà hàm số lồi , g hàm vectơ m - chiều lồi trên n

R , h là hàm vectơ tuyến tính k-chiều trên n

R thoả h ( x ) = Bx - d, trong đó B là ma trận cấp k n , và d là vectơ k chiều xlà phương án tối ưu của bài toán cực tiểu

(ii) Tồn tại sốp 0,pR m,qR kSao cho pg x( )q B( xd)0  x R n

(iii) X chứa ít nhất hai điểm 1

x và x2 khác nhausao cho g lồi ngặt ở x1

lý cho các hàng độc lập tuyến tính của B, đưa vào hàng độc lập tuyến tính B k (với

sự thay đổi của bài toán cực tiểu) và tập v k  0 trong bài toán điểm yên ngựa

Giả sử r0  0thì vì rg x  0vàBx  d 0 ta có bất đẳng thức thứ hai của bài

 

 

 

2 2 1

i i i i

0,0,

01