Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 14

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN TIN LỚP TOÁN VB2 K2 TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT TỐI ƯU ĐỀ TÀI: TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUY HOẠCH VỚI GIẢ THIẾT KHẢ VI GVHD: TS TRỊNH CÔNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA TOÁN TIN LỚP TOÁN VB2 K2

TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT TỐI ƯU

ĐỀ TÀI:

TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUY HOẠCH VỚI GIẢ THIẾT KHẢ VI

GVHD: TS TRỊNH CÔNG DIỆU

SVTH: NGUYỄN THỊ KIM NGÂN

HUỲNH THỊ THÚY HẰNG

1 Các baì toán (MP), (LMP), (FJP), (KTP)

Cho tập mở

0

+ Bài toán cực tiểu toàn cục của mặt phẳng:

Tim x (nếu có) thỏa mãn ( ) min ( )

x X



{ : ( ) 0}

X   x X g x  Khi đó x

được gọi là nghiệm của (MP)

+ Bài toán cực tiểu địa phương (LMP)

Tìm x và   0 (nếu có) sao cho  ( ) x   ( ), x    x X B x ( , )  Khi đó, x được gọi là nghiệm của (LMP)

+ Bài toán điểm dừng của Fritz John (FJP)

Tìm x  X r0, 0 m (nếu có) thỏa mãn:

0

0

( ) 0

( ) 0

( , ) 0

r x r g x

g x

rg x

r r











+ Bài toán điểm dừng của Kuhn - Tucker (KTP)

Tìm x  X u0,  m (nếu có) thỏa mãn:

( ) 0

( ) 0

0

x u g x

g x

ug x

u









 



2 Điều kiện đủ của sự tồn tại nghiệm

2.1 Định lý

Giả sử  , g khả vi, lồi tại x  X0 Khi đó ta có:

i Nếu ( , ) x u là nghiệm của (KTP) thì x là nghiệm của (MP)

ii Nếu ( , , ) x r r0 là nghiệm của (FJP) thì x là nghiệm của (MP)

CHỨNG MINH

i Lấy x  X bất kì Vì ( , ) x u là nghiệm của (KTP) nên:

( ) x ( ) x ( )( x x x )

       (do  lồi và khả vi tại x )

=   u g x x ( )(  x ) (do   ( ) x   u g x ( )  0)

 u g x [ ( )  g x ( )] (do g lồi và khả vi tại x)

=  ug x ( )  0 (do ug x ( )  0, u  0, ( ) g x  0)

Suy ra  ( ) x   ( ), x x   X, hơn nữa Vì g x ( )  0 nên x  X Do đó ( ) min ( )

x X



ii Do ( , , ) x r r0 là nghiệm của (FJP) và r0  0 nên

0

1 ,

x r r

  là nghiệm của bài toán (KTP) Theo (i), ta có x là nghiệm của bài toán (MP)

Nhận xét:

Từ định lý trên, vì tính lồi của hàm g tại x nên ta không thể đưa ràng buộc dạng có các ràng buộc dạng h x ( )  0 với h : n  không là phiếm hàm tuyến tính vào hệ các ràng buộc ( ) 0

g x  bằng cách biể diễn: h x ( )  0 và  h x ( )  0 Tuy nhiên, ta có thể đưa ràng buộc dạng ( ) 0

h x  nói trên vào trong hệ các ràng buộc g x ( )  0 thông qua các mệnh đề sau:

2.2 Mệnh đề

Giả sử  , glồi và khả vi tại x  X0 Cho B là vecto hàm k-chiều và d  k là vecto hằng Khi

đó, nếu( , , ) x u v là nghiệm của hệ:

( ) 0

( ) 0

x u g x

g x

KTP Bx d

ug x



 







Thì  ( ) x  min{ ( ) :  x x  X Bx ,  d }

Chứng minh

Lấy x  X tùy ý sao cho Bx  d Vì ( , , ) x u v là nghiệm của bài toán (KTP * ) nên

( ) x ( ) x ( )( x x x )

       (do  lồi và khả vi tại x)

   u g x x ( )(  x )  vB x (  x ) (do   ( ) x   u g x ( )  vB  0)

 u g x ( )  g x ( ) (do g lồi và khả vi tại x và Bx  Bx  d)

=  ug x ( )  0 (do ug x u ( ),  0, ( ) g x  0)

Suy ra  ( ) x   ( ), x   x X Hơn nữa, vì g x ( )  0 nên x  X (đpcm)

Định lý tiếp theo sẽ cho ta một điều kiện khác để nhận biết nghiệm của bài toán (MP) thông qu nghiệm bài toán (FJP) mà không cần điều kiện r0  0

2.3 Định lý

Cho x  X Giả sử  lồi, khả vi tại x và g khả vi lồi chặt tại x Khi đó, nếu ( , , ) x r r0 là

nghiệm của bài toán (FJP) thì x là nghiệm của bài toán (MP)

Chứng minh

Giả sử ( , , ) x r r0 là nghiệm của bài toán (FJP) g  ( , , g1 gm), r  ( , , r1 rm), ta đặt

I  i g x  J  g x 

Do r  0, ( ) g x  0, rg x ( )  0 nên r g xi i( )    0, i 1, m Suy ra ri    0, i J Khi đó với

kí hiệu rI I là vecto các thành phần là r ii(  I ) được lấy từ r , ta có:

0 1

( , ) 0

i i

i I

r r













Theo định lý Gordan, với gI : n  I là hàm vecto có các thành phần là g ii(  I ) được lấy

từ g, hệ sau vô nghiệm:

1

( ) 0

( ) 0 (1)

n

x z

g x z

z





 



Hơn nữa, do  khả vi, lồi tại x và g khả vi, lồi chặt tại xnên với   x X0 \ { } x ta luôn có:

(2)

g x g x g x x x



Từ (1),(2) suy ra hệ sau cũng vô nghiệm

0

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0





 



Mà g xI( )  0 nên ya cũng có hệ sau vô nghiệm

0

( ) ( )

( ) 0

g x

x X





 



Mặt khác vì g x ( )  0 nên x  X Vậy ( ) min ( )

x X



3 Điều kiện cần của sự tồn tại nghiệm

Trong các điều kiện tối ưu cần ở đây, tính lồi không đóng vai trò quyết định Sự khả vi của các hàm được sử dụng để tuyến tính hóa bài toán quy hoạch phi tuyến, và do đó các định lý thay thế được dùng để tìm ra các điều kiện tối ưu cần Để thu được các điều kiện cần quan trong hơn phải cần thêm các ràng buộc định tính

Với X0 là tập mở trong n, ,  g khả vi tại x    X { x X0| ( ) g x  0}, ta đặt:

+ V  { | i g xi( )  0 và g i lõm tại x } và W  { | i g xi( )  0và g i không lõm tại x }

+ I   V W  { | i g xi( )  0}, J  { | i g xi( )  0} Khi đó I   J {1,2, , } m

3.1 Bổ đề tuyến tính hóa

Cho x là nghiệm của bài toán (LMP), X0 là tập mở,  , g khả vi tại x Khi đó, hệ sau không có nghiệmz  n

( ) z 0

( ) z 0

( ) z 0

W

V

x

g x









Chứng minh:

Do x là nghiệm của bài toán (LMP) nên tồn tại quả cầu mở B x( , ) sao cho

( )x ( ),x x B x( , ) X

      Giả sử tồn tại z nlà nghiệm của hệ (*)

Vì X0 là tập mở nên   0 :xzX0, 0   Do , gkhả vi tại x nên 0  , ta có:

0

(x z) ( )x ( )x z ( ,x z z)

g xz g x   g x z xz z

Trong đó

0

lim i( ,x z) 0,i 0,1, ,m

Mà ( )x z0nên 00để ( )x z0( ,x z z)   0,  (0,0)

Do đó (xz)( )x 0với 0  0

Mặt khác, vì g W( )x z0nên với mọi i W , tồn tại 0i, sao cho

Do đó (g x i z)g x i( )0 với 0  i

Hơn nữa, g V( )x 0và g lõm tại i x (i V )nên tồn tại  0sao cho với mọi (0,), ta có:

g xz g x   g x z

Với iJ, do g x i( )0nên tồn tại 0i, để với 0  i, ta có

g x   g x z x z z 

Do đó, (g x i z)0

Đặt  min   , , 0, , ,1 m Khi đó, với 0   ta có:

0

xzX

( , )

xzB x 

(x z) ( )x

g xz g x  iI

i

g xz  iJ

Suy ra 0   thì xzB x( , ) X và (xz)( )x mâu thuẫn với giả thiết x là nghiệm

của bài toán LMP với lân cận B x( , ) Vậy ta có đpcm

3.2 Định lý:

Gọi x là nghiệm của bài toán (LMP) hoặc (MP) X 0 là tập mở,  , g khả vi tại x Khi đó, tồn tại một r0 ,r msao cho ( ,x r r là nghiệm của bài toán (FJP) và 0, ) ( ,r r0 w)0

Chứng minh

Nếu xlà nghiệm của bài toán (MP) thì nó cũng là nghiệm của bài toán (LMP) nên ta chỉ cần xét

xlà nghiệm của bài toán (LMP)

Theo bổ đề tuyến tính ta có hệ (*)

( ) z 0 ( ) z 0 ( ) z 0

W

V

x

g x









không có nghiệm z n

Do định lý Motzkin thì tồn tại r r0, W,r Vsao cho

0 ( ) W W( ) V V( ) 0

0

( ,r r W)0,r V 0

Bởi vì g W( )x g V( )x 0nên nếu ta đặt r J 0và r(r W,r V,r J)thì ta có

( ) W W( ) V V( ) J J( ) 0

0 ( ) ( ) 0 ( ) W W( ) V V( ) J J( ) 0

r  x  r g x  r  x  r g x  r g x  r g x 

0

( ,r r )0

Vì xX nên g x( )0 Suy ra ( ,x r r0, )thỏa bài toán FJP và ( ,r r0 W)0

Nhận xét: Nếu X0 lồi và gV lõm trên X0 thì định lý trên đúng Tuy nhiên, tính lõm của gV không

, V( ) 0

x xX g x  lồi (trừ trường hợp gV tuyến tính)

3.3 Định lý

Cho X0 là tập mở trong n và , g được xác định trên X0

Giả sử x thỏa (LMP) hoặc (MP)

Nếu , g khả vi tại x và g thỏa mãn một trong các điều kiện sau

(i) Ràng buộc Kuhn-Tucker tại x

(ii) Ràng buộc Arrow-Hurwicz-Uzawa tại x

(iii) Ràng buộc lồi đảo ngược tại x

(iv) Ràng buộc Slater trên X0

(v) Ràng buộc Karlin trên X0

(vi) Ràng buộc nghiêm ngặt trên X0

Thì tồn tại u msao cho ( , )x u là nghiệm của (KTP)

Chứng minh

Nếu x thỏa mãn bài toán (MP) thì cũng thỏa mãn bài toán (LMP) nên ta chỉ xét trường hợp

x thỏa mãn bài toán (LMP)

Theo bổ đề ta chỉ cần chứng minh định lý khi g thỏa mãn (i) hoặc (ii)

(i) Cho x thỏa (LMP) với   Đặt I i g x i( )0, J i g x i( )0

 Trường hợp 1 (I  ): Lấy y là vecto7 bất kì trong nthỏa mãn yy=1

g xy g x g x y x y (i=1, ,m)

Vì g x i( )0 và

0

lim i( ,x y) 0

  nên tồn tại   ' 0sao cho với (0,), ( , ) 0

i

g xy  và xyX0

Mặt khác, vì x thỏa (LMP) nên với 0  , ta có

0(xy)( )x   [ ( )x y ( ,x y)]

Do đó ( )x y ( ,x y)0

Vì

0

lim i( ,x y) 0

  nên qua giới hạn khi  0, ta suy ra ( )x y0

Do y là vecto7 tùy ý trong n

thỏa mãn yy=1 nên lần lượt thay y=ei và y=-ei trong

đó i n

e  là một vecto7 có thành phần thứ i bằng 1 và các thành phần khác bằng

0, ta được ( )x 0 Do đó ( , 0)x thỏa (KTP)

 Trướng hợp 2 (I  ): lấy g thỏa mãn ràng buộc Kuhn-Tucker tại x và

n

y thỏa mãn g x y r( ) 0

Theo định nghĩa của ràng buộc Kuhn-Tucker, tồn tại một vecto7 hàm n-chiều e xác định trên [0,1] thỏa mãn:

+ e(0)x

+ e( ) X với 0  1

+ e khả vi tại  0và de(0) y

Do đó với 0  1, ta có: ( ) (0) [ i(0) (0, )]

de

d



0

lim (0, )i 0

Suy ra tồn tại 0  1 để với  đủ nhỏ thỏa mãn 0    1, ta có ( ) ( )

e B x Vì ( )e X (0  1)và x thỏa mãn (LMP) nên ta có

[ ( )]e [ (0)]e

   với (0, )

Do sự khả vi của tại x và của e tại 0, với 0  ta có:

(0)

0 [ ( )]e [ (0)]e [ (0)]e de (0, )

d



với

0

lim (0, ) 0

  Do đó [ (0)]e de(0) (0, ) 0

d



   với 0  

Qua giới hạn khi  0 ta được: [ (0)]e de(0) 0

d





Vì e(0)x và de(0) y

  với 0nên ( )x y0

Do đó ta có điều sau g x y1( )   0 ( )x y0hay hệ sau

r

x y

g x y







n

y

Theo định lý Motzkin, tồn tại r r0, 1thỏa mãn

0 1 1

0 1









Do r0 và r0 0nên r0 0 Với

0

I I

r u r

 , u J 0,u (u u I, J), ta có:

( )x u g x( ) 0



ug x 

0

u

Mà xX , ta có g x( )0 Do đó ( , )x u thỏa mãn (KTP)

Theo định lý 3.2 tồn tại một r0 ,r msao cho ( ,x r r thỏa mãn (FJP) và 0, )

0

( ,r r w)0trong đó W {i g x i( )0, gikhông lõm tại x }

{ i( ) 0, gi

{ i( ) 0}

Để chứng minh x là nghiệm của (KTP), ta chỉ cần chỉ ra rằng ( ,x r r0, )là nghiệm của (FJP) với r0 0 Vì ( ,r r0 w)0nên nếu W  thì r0 0 Vì vậy ta giả sử W  

Ta chứng minh bằng phản chứng: Giả sử r0 0do r J 0ta có:







Vì g thỏa mãn ràng buộc Arrow-Hurwiez-Uzawa tại x , tồn tại z nthỏa

( ) 0

W

V







Từ đó suy ra

r g x z r g x z mâu thuẫn với r Wg W( )x  r V g V( )x 0

Do đó r0 0

4 Thuật toán và ví dụ giải bài toán (MP)

4.1 Giải bài toán (MP) bằng cách giải bài toán (FJP) tương ứng

Giải bài toán (MP) ( ) min

( ) 0

x

g x





Bước 1: Kiểm tra tính khả vi của , g

Bước 2: Tính  , grồi viết bài toán (FJP): xX0,r0 ,r m

0

0

g x

rg x

r r

















Bước 3: Giải bài toán (FJP) vừa viết được nghiệm ( ,x r r0, )

Bước 4: Kiểm tra tính lồi của , gtại x

Bước 5:

- Nếu r0 0thì x là nghiệm của bài toán (MP)

- Nếu r0 0và lồi chặt tại x thì x là nghiệm của bài toán (MP)

Ví dụ:

Giải bài toán (MP)

2 2







    



Bước 1: , gkhả vi

Bước 2: Tính ( , , ) [2 2 4 2 2], ( , , ) 2 2 0

0 0 -1

x y

 rồi viết bài toán (FJP):

Tìm( , , )x y z  3,r0 ,r( , )a b  2thỏa mãn

0

2 2

0

2 2 0

0 0 -1 ( ) 0

( , , ) 0

g x

r a b









   





Bước 3: Giải bài toán (FJP) vừa viết được nghiệm ( , , )x y z (0, 1, 0); r( , 2 )r0 r0 0 tùy ý Bước 4: , glồi tại (0,-1,0)

Bước 5: (0,-1,0) là nghiệm của bài toán (MP)

4.2 Giải bài toán (MP) bằng cách giải bài toán (KTP) tương ứng

Giải bài toán (MP) ( ) min

( ) 0

x

g x





Bước 1: Kiểm tra tính khả vi của , g

Bước 2: Tính  , grồi viết bài toán (KTP): xX u0,  m

0

x u g x

g x

ug x

u















 



Bước 3: Giải bài toán (KTP) vừa viết được nghiệm ( , )x u

Bước 4: Kiểm tra tính lồi của , gtại x

Bước 5: Kết luận x là nghiệm của bài toán (MP)

Ví dụ:

Giải bài toán (MP)

2 2







    



Bước 1: , g khả vi

Bước 2: Tính ( , , ) [2 2 4 2 2], ( , , ) 2 2 0

0 0 -1

x y

 rồi viết bài toán (KTP):

Tìm( , , )x y z  3,r( , )a b  2thỏa mãn

2 2

2 2 0

0 0 -1 ( ) 0

( , ) 0

g x

a b











Bước 3: Giải bài toán (KTP) vừa viết được nghiệm ( , , )x y z (0, 1, 0); r(1, 2)

Bước 4: , g lồi tại (0,-1,0)

Bước 5: (0,-1,0) là nghiệm của bài toán (MP)