Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 7

Chương 4: HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM I... Chú ý: - Nếu một hàm lồi ngặt lõm ngặt trên tập  R n thì hàm đó lồi lõm trên Γ, chiều ngược lại thì không.. Thật vậy, dễ dàng thấy tất cả những hàm t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

         

MÔN: QUY HOẠCH PHI TUYẾN

ĐỀ TÀI:

CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA HÀM LỒI – HÀM LÕM

HVTH: 1 Trịnh Cẩm Vân

2 Nguyễn Thị Bích Hồng

3 Ngô Thị Duy Bình

Lớp Toán -Văn bằng 2- khóa 2

Chương 4: HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM

I Định nghĩa

1) Định nghĩa hàm lồi

Một hàm số  xác định trên tập  R n được gọi là lồi tại x nếu

         

1

x









 được gọi là lồi trên  nếu nó lồi tại mọi x

Trường hợp đặc biệt: nếu  là tập lồi,  R n thì ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 1:

Một hàm số  xác định trên tập lồi  gọi là lồi trên  nếu và chỉ nếu

       

1 2

,

x x





  

Ví dụ:   2

  là hàm lồi trên R

Hàm lồi  trên R Hàm lồi  trên     1, 

Hình 4.1: Hàm lồi trên các tập con của R n R

2) Định nghĩa hàm lõm

Một hàm số  xác định trên tập n

R

  được gọi là lõm tại x nếu

         

1

x









 được gọi là lõm trên  nếu nó lõm tại mọi x

Trường hợp đặc biệt: nếu  là tập lồi,  R n thì ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2:

Một hàm số  xác định trên tập lồi  gọi là lõm trên  nếu và chỉ nếu

       

1 2

,

x x







  

Ví dụ:   2

   là hàm lõm trên R

Chú ý:

 lõm tại x (lõm trên Γ) khi và chỉ khi  lồi tại x (lồi trên Γ)

Hàm lõm  trên R Hàm lõm  trên   0,1 Hình 4.2: Hàm lõm trên các tập con của R n R

3) Bài toán 1: Chứng minh rằng:

 x cx ,x R n

    là hàm tuyến tính  x vừa lồi vừa lõm trên n

R

Chứng minh:

  Vì  x là hàm tuyến tính nên x x1, 2R n;  0,1 và   1 2

1 x x R nta có:

  1 2    1  2

f   x x   f x f x

       

       

      



 



Vậy  x vừa lồi vừa lõm trên n

R

  Vì  x là hàm lồi trên n

R nên

         

1 2

,

n







  

Vì  x là hàm lõm trên R nên n

         

1 2

,

n





  

Từ (1) và (2) suy ra   1 2    1  2

f   x x   f x f x

Vậy  x là hàm tuyến tính

4) Định nghĩa hàm lồi ngặt

Một hàm số  xác định trên tập  R n được gọi là lồi ngặt tại x(với x tùy ý trên ) nếu

 

1      1 

1

x



 





 được gọi là lồi ngặt trên  nếu nó lồi ngặt tại mọi x

Ví dụ: hàm trên hình 4.1b) là hàm lồi ngặt

5) Định nghĩa hàm lõm ngặt

Một hàm số  xác định trên tập  R n được gọi là lõm ngặt tại x(với x tùy ý trên ) nếu

 

1      1 

1

x







 được gọi là lõm ngặt trên  nếu nó lõm ngặt tại mọi x

Ví dụ: hàm  trên hình 4.2 a), 4.2 b) là hàm lõm ngặt

Chú ý:

- Nếu một hàm lồi ngặt (lõm ngặt) trên tập  R n thì hàm đó lồi (lõm) trên Γ, chiều ngược lại thì không

Ví dụ: một hàm hằng trên n

R đều lồi và lõm trên R , nhưng nó không lồi ngặt và lõm ngặt n

trên R Thật vậy, dễ dàng thấy tất cả những hàm tuyến tính n  x cxtrên R thì không n

lồi ngặt và lõm ngặt trên n

R

- Một hàm véctơ n chiều ƒ xác định trên tập Γ trong n

R gọi là lồi tại x, lồi trên Γ, nếu mỗi hàm thành phần f i i, 1, ,m lồi tại x, lồi trên Γ

II Các tính chất cơ bản

1) Định lý 1 (Các phép toán với các hàm lồi)

Cho U là một tập lồi trong không gian n

R Khi đó

1 Nếu f và g là các hàm lồi trên U thì f + g cũng là hàm lồi trên U Nếu f hoặc g là hàm lồi ngặt thì tổng f + g cũng là hàm lồi ngặt

2 Nếu f là hàm lồi (lồi ngặt) trên U và µ là một số thực dương thì µf là một hàm lồi (lồi ngặt) trên U

3 Nếu f là một hàm lồi (lồi ngặt) trên U và V là tập con lồi của U Khi đó hạn chế f |V của hàm f lên V cũng là một hàm lồi (lồi ngặt) trên V

2) Định lý 2

Cho f f1, ,f m là hàm véc tơ m chiều xác định trên  R n Nếu ƒ lồi tại x (lồi trên Γ) thì mỗi một tổ hợp tuyến tính không âm của các hàm thành phần f i

 x pf x ,p 0

   là hàm lồi tại x (lồi trên Γ)

Chứng minh:

Lấy x,01, và (1)xx Ta có :

  x x pf  x x

 (1 )   (1 ) 

 p(1)f(x)f(x) (do f lồi tại x và p0)

) ( ) ( ) 1 (

) ( )

( ) 1 (

x x

x pf x pf























Vậy  x là hàm lồi tại x (lồi trên Γ)

3) Bài toán 2

Cho  là một hàm số xác định trên tập lồi n

R

  Chứng minh rằng  lồi, lõm, lồi ngặt, hoặc lõm ngặt trên Γ nếu và chỉ nếu với mọi 1 2

,

x x , hàm số  xác định trên đoạn thẳng

 0,1 là     1 2

      lồi, lõm, lồi ngặt, hoặc lõm ngặt trên  0,1

4) Định lý 3

Cho một hàm số  xác định trên một tập lồi R n, điều kiện cần và đủ để  lồi trên  là tập trên đồ thị của  :     1

G  x  x  R x  R  là tập lồi trên n 1

R

Chứng minh:

(Điều kiện đủ)

Giả sử G lồi 

Lấy 1 2

, x

x

1 1

[ , ( )]x  x G

[x , ( x )]G

Vì G lồi nên  [(1)x1x2, (1 ) ( )x1 (x2)]G(01)

Hay [(1)x1x2] (1  ) ( )x1 (x2) (01)

Vậy  là hàm lồi trên 

(Điều kiện cần)

Giả sử  lồi trên 

Lấy 1 1

,

x  Gvà 2 2

,

x  G

Vì  lồi trên nên

[(1 )x x ] (1 ) ( )x (x )

       (01)

 (1  ) 12

(1 )x x , (1  )  G

     

Vậy Glà tập lồi trên n 1

R (đpcm)

5) Hệ quả 1

Cho một hàm số  xác định trên tập lồi R n, điều kiện cần và đủ để  lồi trên  là tập

H  x  x  R x  R  là tập lồi trên n 1

R

Hình 4.3: a) Tập trên đồ thị của hàm lồi  là tập lồi G

b) Tập dưới đồ thị của hàm lõm  là tập lồi H

6) Định lý 4

Cho  là hàm số xác định trên tập lồi R n Điều kiện cần để  lồi trên  là tập

x x/ , ( )x  R n

       lồi với mọi số thực 

Chứng minh:

Cho  lồi trên 

x x   ta có:

[(1 )x x ] (1 ) ( )x (x )

       (01)

(1   )



  



1 2

(1 )x x 

   

Vậy là tập lồi

Tiếp theo ta chứng minh  lồi với mọi số thực 

Xét hàm  trên R :   3

x x

 

 không lồi trên R

       là tập lồi với mọi  (hiển nhiên)

7) Hệ quả 2

Cho  là hàm số xác định trên tập lồi R n Điều kiện cần để  lõm trên  là tập

x x/ , ( )x  R n

       lồi với mọi số thực 

Hình 4.4: a) Hàm lồi  liên kết tập lồi  b) Hàm không lồi  liên kết tập lồi  c) Hàm lõm  liên kết tập lồi 

8) Bài toán 3

Cho  là hàm số xác định trên tập lồi R n Chứng minh rằng: điều kiện cần và đủ để 

lồi trên  là với mọi số nguyên m1,

1

1

, ,

1

m

m

x x









   

Chứng minh:

(Điều kiện cần) Chứng minh qui nạp theo k

+ k2ta có bất đẳng thức đúng sau:

2

1 2

1

,

1

x x

p p p x p x p x p x

p p









  

+ Giả sử bất đẳng thức (*) đúng với k  m 1 nghĩa là ta có bất thức đúng sau:

, , , , 0

1

m

m

x x













   

+Chứng minh bất đẳng thức (*) đúng với km Đặt

1

i i

m

p p

p





  1 ,

1

       (đpcm)

(Điều kiện đủ) Hiển nhiên

Bất đẳng thức (*) ở trên gọi là bất đẳng thức Jensen

9) Định lý 5

Nếu  i i I là một họ các hàm số (hữu hạn hoặc vô hạn) lồi và bị chặn trên trên tập lồi

n

R

  thì hàm số   sup ( )i

i I



 là một hàm lồi trên 

Chứng minh:

Vì mỗi ilà hàm lồi trên nên tập trên đồ thị của mỗi i

} ) ( , ,

/ ) ,

R  (định lý 2) {( , ) / , , ( ) , }

i I



{( , ) /x  x , R, ( ) x }cũng là một tập lồi trên n 1

R 

Mà giao của các tập lồi này là tập trên đồ thị của 

Vậy  là một hàm lồi trên (định lý 2) (đpcm)

10) Hệ quả 3

Nếu  i i I là một họ các hàm số (hữu hạn hoặc vô hạn) lõm và bị chặn dưới trên tập lồi

n

R

  thì hàm số   inf i( )

i I



 là một hàm lõm trên 

Chú ý:

- Hàm  là lồi trên tập lồi  R n thì không nhất thiết là hàm liên tục

Ví dụ: trên nữa đoạn thẳng {x/xR,x }, hàm số

2

2, 1 ( )

( ) , 1

x x

     



là một hàm lồi trên ( tập trên đồ thị của  là tập lồi trên ), nhưng không liên tục tại

1

x  (    

1

x

x



  ) (hình 4.1b)

- Tuy nhiên, nếu là một tập lồi mở, thì hàm lồi  trên liên tục

11) Định lý 6

Cho  là một tập lồi mở trên n

R Nếu  là một hàm lồi trên thì  liên tục trên 

Chứng minh :

+ Lấy 0

x và là khoảng cách (xem 1.3.9) từ 0

x đến điểm gần nhất trên n

R không trên

  nếu n

R

  Cho C là hình lập phương n chiều với tâm x0và chiều dài cạnh

2 , nghĩa là:

1

{ , , n: , 1, , }

C x x R    x x  i n

0 1 2

1

n

i



Cho  1/2

n     C

Cho V là tập các đỉnh 2ncủa Cvà max ( )

x V x





Theo định lý 3 ta có:   x x/ , ( ) x  là tập lồi

Vì C là bao lồi của V (điều này thì dễ dàng chứng minh bằng phép quy nạp trên n ) và







V nên C(định lý 3.1.13) (hình 4.5)

Cho xlà điểm bất kỳ thỏa   0 

0 x x , xác định x° + u, x° — u trên đường thẳng qua

0

x và xnhư hình 4.5

Khi đóxlà tổ hợp lồi của 0

x và x0 u; x0là tổ hợp lồi của xvà x0u Nếu  xx0 / thì

) ( 1 1

1

) (

) 1 ( ) (

0

0 0

0 0

u x x

x u x x u x

x

x u

x u x

x





















































Vậy  lồi trên 

   0     0   0

        

x



   

         

         

   0  x0 0





Vậy   0    0

   với mọi x thỏa  0 0

  và do đó  x

liên tục tại 0

x (đpcm)

Từ đó phần trong của mỗi tập n

R

  là tập mở, nếu  là một hàm lồi trên một tập lồi n

R

  thì

nó liên tục trên phần trong của tập lồi

12) Định nghĩa: Một hàm f : [a, b] → R được gọi là hàm lồi theo nghĩa Jensen hay J-lồi trên

[a, b] nếu bất đẳng thức

( ) ( )

f     

thỏa với mọi điểm x y,  a b,

13) Định lý 7 (J.L.W.V.Jensen): Cho I là một khoảng của tập số thực và f : I → R là một

hàm liên tục Khi đó f là hàm lồi nếu và chỉ nếu f thỏa mãn

( ) ( )

(**)

f     

  với mọi ,x yI

Chứng minh:

)

 Hiển nhiên

)

 Giả sử ta có (**) Nếu f không phải là hàm lồi trên I thì tồn tại một đoạn [a; b] ⊂ I để

đồ thị của hàm f |[a;b] không nằm dưới dây cung nối (a, f (a)) và (b, f (b)) Dây cung nối (a,

f (a)) và (b, f (b)) là

 

( ) ( )

b a



Khi đó hàm

    ( ) ( )    

f b f a

x f x x a f a x a b

b a



Với  sup x /x a b, 0

Ta có  cũng là hàm J-lồi Thật vậy, do f là hàm J-lồi nên ta có

 

( ) ( )

x y x y f b f a x y

b a

         



( ) ( ) ( )   ( ) ( ) ( )  

f x f b f a x a f y f b f a y a

( ) ( )

Do f (x) liên tục trên [a; b] nên ta có ( )x liên tục trên [a; b] và do đó tồn tại x ∈ [a; b]

để ( ) x 

Đặt c = inf{x ∈ [a; b] | (x) = γ } Ta suy ta ( )c  và c ∈ (a; b) vì ( )a ( )b 0 Khi đó với h > 0 sao cho c ± h ∈ (a; b) ta có

(c h) ( )c

   và (c h )( )c

( )

2

mâu thuẫn với  là J-lồi

Định lý được chứng minh

14) Hệ quả 4: Cho f : I → R là một hàm liên tục Khi đó f lồi nếu và chỉ nếu

f (x + h) + f (x − h) − 2f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ I và với mọi h > 0 để x + h và x − h nằm trong I

Ví dụ : Cho hàm x

e Xét biểu thức

2

x h x h x

e  e  e xR h

Theo bất đẳng thức Cauchy, suy ra 2

0

x h x h x

e  e  e 

Do đó, áp dụng hệ quả 4 ta có hàm x

e là hàm lồi