Bô đề thi HSG toan

Một số kinh nghiệm nhỏ về tìm chử số tận cùng và ứng dụng vào các bài toán chứng minh chia hết của các lớp 6,7 I.. phần mở đầu : Tìm chử số tận cùng của một luỷ thừa đây là những bài toá

Phòng giáo dục - đào tạo lệ thuỷ

Trờng THCS thái thuỷ

Một số kinh nghiệm nhỏ về tìm chử số tận cùng và ứng dụng vào các bài toán chứng minh chia hết của các lớp 6,7

I phần mở đầu : Tìm chử số tận cùng của một luỷ thừa

đây là những bài toán tơng đối phức tạp của học sinh các lớp 6,7 nhng lại là những bài toán hết sức lí thú , nó tạo cho học sinh lòng say mê khám phá từ đó các em ngày càng yeu môn toán hơn có những bài có số mủ rất lớn t-ởng nh là mình không thể giãi đợc Nhng nhờ phát hiện và nắm bắt đợc qui luật , vận dungj qui luật đó các em tự giãi đợc và tự nhiên thấy mình làm đợc một việc vô cùng lớn lao từ đó gieo vào trí tuệ các em khả năng khám phá , khả năng tự nghiên cứu

Tuy là khó nhng chúng ta hớng dẩn các em một cách từ từ có hệ thống ,lô rích

và chặt chẻ thì các em vẩn tiếp fhu tốt đây là một kinh nghiệm nhỏ mà tôi muốn trình bày và trao đổi cùng các bạn

II Nội dung cụ thể :

1 Lí thuyết về tìm chử số tận cùng : phần này rất quan trọng , cần lí giải cho học sinh một cách kỉ lởng ,đầy đủ

( )X0 n =A0 một số có tận cùng là 0 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 0 ( )X1 n = B1 một số có tận cùng là 1 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 1 ( )X5 n = C5 một số có tận cùng là 5 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 5 ( )X6 n = D6 một số có tận cùng là 6 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 6

X5*a = F0 với a chẳn : một số có tận cùng là 5 khi nhân với mmột số chắn sẻ có chử số tận cùng là 0

x5 *a = N5 với a lẻ : một số có tận cùng là 5 khi nhân với một số lẻ sẻ có tận cùng là 5

Qua các công thức trên ta có quy tắc sau : Một số tn nhiên có chử số tận cùng

là : (0,1,5,6) khi nâng lên luỷ thừa với số mủ tự nhiên thì có chử số tự nhiên không thay đổi

Kết luận trên là chìa khoá để giả các bài toán về tìm chử số tận cùng của một luỷ thừa

Muốn giãi các bài toán này thì ta phai đa chúng về một trong 4 dạng cơ bản trên thực chất chỉ có đa về hai dạng cơ bản đó là : ( )X1 n = M1 , ( )X6 n = N6

giải bài toán 1

Nhận xét quan trọng : Thực chất chử số tận cùng của luỷ thừa bậc n của mộtsố

tự nhiên chỉ phụ thuộc vào chử số tận cùng của số tự nhiên đó mà thôi (cơ số)

Nh vậy bài toá 3 thực chất là bài toán 2

a) 12921997 = 12924 499 +1= (12924)499 1292 = A6 1292 =M2

b) 33331997 = 33334 499 +1 =(33334)499 +1 3333 = (B1 ) 499 3333 =D3

c) 12341997 = 12344 499 +1 = (12344)499 1234 = (C6)499 1234 =G4

Các bài toán cụ thể : Hảy chứng minh

Trong những năm học qua tôi đã trực tiếp hớng dẩn cho một số học sinh các em

tỏ ra rất thích thú và xem đó nh là những khám phá mới của chính các em với cách đặt vấn đề nh trên các em đã tự ra đề đợc và có nhiều bài rất hay

Cách đặt vấn đề cung nh trình bày nội chắc sẻ không tránh khỏi phần sai sót mong các đồng nghiệp góp ý chân thành

đề thi Ô-lim -pic huyện

Môn Toán Lớp 7 Năm học 2006-2007

(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 Tìm giá trị n nguyên dơng:

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi

Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng

hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng

Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên

tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E Chứng minh: AE = BC

Bài 2 Thực hiện phép tính: (4 điểm)

+ Nếu - 2 ≤ x < -

2

3 Thì x + 3 = x + 2 => - 2x - 3 = x + 2 => x = -

3

5(Thoả mãn)

+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay đổi

+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013

Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1

+ Nếu 2006 ≤ x ≤ 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1

+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013

Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 ≤ x ≤ 2007

Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng

hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng (4 điểm mỗi)

Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đờng thẳng, ta có:

x – y =

3

1 (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ)

và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)

3

1 11

y x 1

y 12

x 1

12 y

x = => = = − = =

=> x =

11

4 x ) vũng ( 33

Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên

tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi)

Đờng thẳng AB cắt EI tại F

∆ABM = ∆DCM vì:

AM = DM (gt), MB = MC (gt), ãAMB = DMC (đđ) => BAM = CDM

=>FB // ID => ID⊥AC

Và FAI = CIA (so le trong) (1)

D B

A

H

I

F E

M

IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le

trong) (2)

Tõ (1) vµ (2) => ∆CAI = ∆FIA (AI

chung) => IC = AC = AF

(3)

vµ E FA = 1v

(4) MÆt kh¸c EAF = BAH (®®), BAH = ACB ( cïng phô ABC) => EAF = ACB

(5)

Tõ (3), (4) vµ (5) => ∆AFE = ∆CAB

=>AE = BC

BÀI TẬP VỀ CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ

1 Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ 2 : 3 : 5 Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu tiền nếu tổng số tiền lãi là 350 000 000 đ và tiền lãi được chia theo tỉ lệ thuận với số vốn đóng góp

2 Hai nền nhà hình chữ nhật có chiều dài bằng nhau Nền nhà thứ nhất có chiều rộng là 4 mét, nền nhà thứ hai có chiều rộng là 3,5 mét Để lát hết nền nhà thứ nhấtngười ta dùng 600 viên gạch hoa hình vuông Hỏi phải dùng bao nhiêu viên gạch cùng loại để lát hết nền nhà thứ hai?

3 Khi tổng kết cuối năm học người ta thấy số học sinh giỏi của trường phân

bố ở các khối 6,7,8,9theo tỉ lệ 1,5 : 1,1 : 1,3 : 1,2 Hỏi số học sinh giỏi của mỗi khối lớp, biết rằng khối 8 nhiều hơn khối 9 là 3 học sinh giỏi

4 Ba đội máy san đất làm 3 khối lượng công việc như nhau Đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba hoàn thành công việc lần lượt trong 4 ngày, 6 ngày, 8 ngày Hỏi mỗi đội có mấy máy, biết rằng đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ hai

là 2 máy và năng suất các máy như nhau

5 Với thời gian để một người thợ lành nghề làm được 11 sản phẩm thì người thợ học nghề chỉ làm được 7 sản phẩm Hỏi người thợ học việc phải dùng bao nhiêu thời gian để hoàn thành một khối lượng công việc mà người thợ lành nghề làm trong 56 giờ?

6 Một vật chuyển động trên các cạnh của một hình vuông Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài của cạnh hình vuông biết rằng tổng số thời gian vật chuyển động trên 4 cạnh là 59s.

BÀI TẬP HÌNH HỌC

1 Cho 2 góc xOz và yOzkề bù Ot và Ot’ lần lượt là phân giác của hai góc

xOy và yOz từ điểm M bất kỳ trên Ot hạ MH ⊥Ox ( H∈Ox ) Trên tia Oz

lấy điểm N sao cho ON = MH Đường vuông góc kẻ từ N cắt tia Ot’ tại K Tính số đo góc KM^O ?

2 Cho tam giác ABC có B^ = 300 , C^ = 200.Đường trung trực cùa AC cắt BC tại E cắt BA tại F.Chứng minh rằng : FA = FE

3 Cho tam giác ABC tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại O Qua

O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D và AC ở E Chứng minh rằng : DE = BD + EC

4 Cho tam giác ABD có B=2D Kẻ AH vuông góc với BD (H∈ BD ) trên

tia đối của tia BA lấy BE = BH, đường thẳng EH cắt AD tại F Chứng minh rằng : FH = FA = FD

5 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) trên tia đối của tia CA lấy điểm D bất

3 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn :

8

3 1

8 − =

y x

QuËn t©n phó - tphcm Năm học 2003 – 2004

cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy

Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con thỏ trên hai đoạn đường ?

Bài 4 (2đ):

Cho ∆ABC nhọn Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE Gọi

M là giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng:

1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó.

2, Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E

Chứng minh: AE = AB

1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)

2, Tính giá trị của M(x) khi x = − 0, 25

3, Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ?

Tính góc ADB ?

Tp hcm Năm học 2004 – 2005

Chứng minh: ID = IE

2 9

4 3

3 5

2 3

1 ) 4 ( , 0

−

−

−

− +

) 2007 (

c b

b a

+ +

Bài 3 (4đ):

Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ?

8 0 7 8 , 0

=

A

B= (11,819+:118,19,25).0,02

Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ?

b) Sè A= 10 1998 − 4 cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ?

vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AB

a) Chøng minh r»ng: ∆ABF = ∆ACE

b) FB ⊥ EC

C©u 5: (1 ®iÓm)

T×m ch÷ sè tËn cïng cña

9 9 0

Đề số 6Câu 1: (2 điểm)

2005

1890 : 12

5 11

5 5 , 0 625 , 0

12

3 11

3 3 , 0 375 , 0 25 , 1 3

5 5 , 2

75 , 0 1 5 , 1

−

+ +

− +

− +

− +

1

3

1 3

1 3

1 3

1

+ +

+ + + +

a = thì

d c

d c b a

b a

3 5

3 5 3 5

3 5

3 2003

2 2004

Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên

b) Độ dài 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4 Ba đờng cao tơng ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ?

b) Đờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN

c) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC

Câu 5: (1 điểm)

Tìm số tự nhiên n để phân số

3 2

8 7

−

−

n n

có giá trị lớn nhất

11 : 13

3 7

3 6 , 0 75 , 0

5 : 3

25 , 0 22 7

21 , 1 10b) Tìm các giá trị của x để: x+ 3 + x+ 1 = 3x

Câu 2: (2 điểm)

a) Cho a, b, c > 0 Chứng tỏ rằng:

a c

c c b

b b a

a M

+

+ +

+ +

Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1 Trên các cạnh AB, AD lấy các

điểm P, Q sao cho chu vi ∆APQ bằng 2

1

25

1 15

1 5

1

<

+ + + +

Đề số 8

Bài 1: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dơng đều có:

A= 5n( 5n + 1 ) − 6n( 3n + 2 )  91b) Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho P2 + 14 là số nguyên tố

az cx a

cy

Chứng minh rằng: a x = b y = c z

Bài 3: (2 điểm)

An và Bách có một số bu ảnh, số bu ảnh của mỗi ngời cha đến 100 Số bu

ảnh hoa của An bằng số bu ảnh thú rừng của Bách

+ Bách nói với An Nếu tôi cho bạn các bu ảnh thú rừng của tôi thì số bu

ảnh của bạn gấp 7 lần số bu ảnh của tôi

+ An trả lời: còn nếu tôi cho bạn các bu ảnh hoa của tôi thì số bu ảnh của tôi gấp bốn lần số bu ảnh của bạn

Tính số bu ảnh của mỗi ngời

Bài 4: (3 điểm)

Cho ∆ABC có góc A bằng 1200 Các đờng phân giác AD, BE, CF

a) Chứng minh rằng DE là phân giác ngoài của ∆ADB

b) Tính số đo góc EDF và góc BED

Bài 5: (1 điểm)

Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:

2 2

5 1997

5 p+ = p +q

Đề số 8Bài 1: (2 điểm)

1 12 : 3

10 10

3 1

4

3 46 25

1 230 6

5 10 27

5 2 4

1 13

Bài 2: (3 điểm)

a) Chứng minh rằng: A= 36 38 + 41 33 chia hết cho 77

b) Tìm các số nguyên x để B = x− 1 + x− 2 đạt giá trị nhỏ nhất

c) Chứng minh rằng: P(x)=ax3 +bx2 +cx+d có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên

Bài 3: (2 điểm)

a) Cho tỉ lệ thức

d

c b

a = Chứng minh rằng:

22 22

d c

b a cd

b a d

c

b a

+

b) Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho: 2n− 1 chia hết cho 7

Bài 4: (2 điểm)

Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1 Trên các cạnh AB, AD lấy các

điểm P, Q sao cho chu vi ∆APQ bằng 2 Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450

Bài 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng: 3a+ 2b 17 ⇔ 10a+b 17 (a, b ∈ Z )

2002 2

2003 1

1

4

1 3

1 2 1

+ + +

+

+ + +

+ + +

+ + +

+

=

Bài 3: (2 điểm)

Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11 km để đi đến

C Vận tốc của ngời đi từ A là 20 km/h Vận tốc của ngời đi từ B là 24 km/h Tính quãng đờng mỗi ngời đã đi Biết họ đến C cùng một lúc và A, B, C thẳng hàng

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC) Vẽ AE ⊥ AB và AE =

AB (E và C khác phía đối với AC) Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đờng thẳng AH (M, N ∈ AH) EF cắt AH ở O

Chứng minh rằng O là trung điểm của EF

Bài 5: (1 điểm)

So sánh: 5 255 và 2 579

§Ò sè 11C©u 1: (2 ®iÓm)

TÝnh :

68

1 52

1 8

1 39

1 6 1 +

2

512 2

512 2

z z

x

y y

z

− +

= + +

= +

Cho tam gi¸c ABC, AK lµ trung tuyÕn Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B,

bê lµ AC, kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC; trªn tia Ax lÊy ®iÓm M sao cho AM =

AC Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C, bê lµ AB, kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB

vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay sao cho AN = AB LÊy ®iÓm P trªn tia AK sao cho AK

a2 + 2 ≤ 2 ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 0

1 2 17

14 2

4

1 5 19

16 3 4

1 5 9

3 8

1 180

1 108

1 54

1 8

1 3

Câu 3: (2 điểm)

a) Tìm x, y, z biết:

3 2

y x

= ;

5 4

z y

= và x2 −y2 = − 16b) Cho f(x) =ax2 +bx+c Biết f(0), f(1), f(2) đều là các số nguyên

Chứng minh f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên

Câu 4: (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH)

Đề số 13 Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh:

100 99

4 3 2 1

) 6 , 3 21 2 , 1 63 ( 9

1 7

1 3

1 2

1 ) 100 99

3 2 1

(

− + +

− +

+ + +

2 25

2 3 10 1

) 15

4 ( 35

2 3 7

2 14

3 8

3x = y = z và 2x2 + 2y2 −z2 = 1b) Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định Sau khi đi đợc nửa quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 15 phút Tính thời gian ô tô đi từ A đến B

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ

là đờng thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đờng thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF

1

102

1 101

1 200

1 99

1

4

1 3

1 2 1

Đề số 14Câu 1: (2 điểm)

a) Thực hiện phép tính:

7 , 0 875 , 0 6

1 1

5

1 25 , 0 3 1

11

7 9

7 4 , 1

11

2 9

2 4 , 0

1 28

1 3

1 15

1 10

2) Trên quãng đờng Kép - Bắc giang dài 16,9 km, ngời thứ nhất đi từ Kép

đến Bắc Giang, ngời thứ hai đi từ Bắc Giang đến Kép Vận tốc ngời thứ nhất so với ngời thứ hai bằng 3: 4 Đến lúc gặp nhau vận tốc ngời thứ nhất đi so với ngời thứ hai đi là 2: 5

Hỏi khi gặp nhau thì họ cách Bắc Giang bao nhiêu km ?

Câu 3: (2 điểm)

a) Cho đa thức f(x) =ax2 +bx+c (a, b, c nguyên)

CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3

b) CMR: nếu

d

c b

a

= thì

bd b

bd b

ac a

ac a

5 7

5 7 5 7

5 7

2

2 2

Câu 5: (1 điểm)

Đội văn nghệ khối 7 gồm 10 bạn trong đó có 4 bạn nam, 6 bạn nữ Để chào mừng ngày 30/4 cần 1 tiết mục văn nghệ có 2 bạn nam, 2 bạn nữ tham gia Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu cách lựa chọn để có 4 bạn nh trên tham gia

14 1 3

1 5 12 6

1 6

5 4

19

2 3

1 6 15 7

3 4 31

11 1

1

3

1 3

1 2

a = Chứng minh rằng: 22

) (

) (

d c

b a cd

b) Gọi I là giao điểm của BE và CD AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các

∆MAB; MAC là tam giác vuông cân

c) Từ A và D vẽ các đờng thẳng vuông góc với BE, các đờng thẳng này cắt

BC lần lợt ở K và H Chứng minh rằng KH = KC

Câu 5: (1 điểm)

Tìm số nguyên tố p sao cho:

3p2 + 1 ; 24p2 + 1 là các số nguyên tố