Biết rằng vòi thứ nhất chảy 8 giờ thì đầy bể, vòi thứ hai chảy 6 giờ thì đầy bể, vòi thứ ba tháo 4 giờ thì bể cạn.. Bể dang cạn, nếu mở cả 3 vòi cùng một lúc thì sau bao lâu sẽ đầy bể..
Trang 1bộ đề thi
chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
****************
Ngời soạn : Nguyễn Xuân Việt
Địa chỉ : Trờng THCS Trí Yên
Trực thuộc : Phòng GD-ĐT Yên Dũng - Bắc Giang
Trang 2đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Môn : toán 6
(Thời gian làm bài : 150 phút
-Bài 1: (2 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì trong hai số 2n+2 - 1 và 2n+1 có một và chỉ một số chia hết cho 3
Bài 2: (2 điểm)
a- Tính :
2004
1
3
2002 2
2003 1
1
4
1 3
1 2 1
+ + +
+
+ + + +
b- Tìm tất cả các số nguyên n để :
2
3
2 2 3
−
+
−
n
n n
là số nguyên
Bài 3: (2 điểm)
Một bể có 3 vòi nớc, hai vòi nớc chảy vào và một vòi tháo nớc ra Biết rằng vòi thứ nhất chảy 8 giờ thì đầy bể, vòi thứ hai chảy 6 giờ thì đầy bể, vòi thứ
ba tháo 4 giờ thì bể cạn Bể dang cạn, nếu mở cả 3 vòi cùng một lúc thì sau bao lâu sẽ đầy bể
Bài 4 : (3 điểm)
Tìm một số tự nhiên biết rằng số đó giảm đúng một số nguyên lần khi xoá
đi chữ số hàng đơn vị của nó
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng nếu p ≥ 5 và p là số nguyên tố thì p2 - 1 chia hết cho 24
Trang 3
-đáp án môn toán 6
Bài 1 :
Xét (2n+2-1) + (2n + 1) = 2n+2 + 2n = 2n (4 + 1)
Do 2n.5 3 nên cả 2 số 2n+2 - 1 và 2n + 1 không thể cùng chia hết cho 3 (1/2đ) Mặt khác (2n+2-1) (2n + 1) = 4n+1 + 3.2n - 1 (1/2đ) Nếu trong 2 số 2n+1 - 1 và 2n + 1 phải có 1 số chia hết cho 3 (1/2đ)
Bài 2 :
a- (1 điểm) : Viết biểu thức chia thành :
2005
2005 1
2004
1
1 3
2002 1
2
2003
+
+ +
+
+ +
+ + + +
2005
1
4
1 3
1 2
1
(1/4đ)
b- (1 điểm) :
Viết đợc :
2
3 2
3
3
− +
=
−
+
−
n
n n
n
Lập luận do n nguyên → n2 nguyên nên muốn n−32 là số nguyên thì n-2 phải là ớc nguyên của 3 do đó n - 2 = ± 1 hoặc n - 2 = ± 3 (1/4đ)
Từ đó suy ra n = - 1; n = 1 ; n = 3 ; n = 5 (1/4đ) Thay n =-1 ta đợc số + 0 ∈ Z (thoả mãn)
n = 1 ta đợc số - 2 ∈ Z (thoả mãn)
n = 3 ta đợc số 10 ∈ Z (thoả mãn)
n = 5 ta đợc số 26 ∈ Z (thoả mãn)
Bài 3 :
Lập luận : Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy đợc
8
1
Vòi thứ hai chảy đợc
6
1
Vòi thứ ba tháo đợc
4
1
- Trong 1 giờ vòi thứ nhất, vòi thứ hai chảy vào đợc :
24
7 6 8
Trang 4- Trong 1 giờ nếu mở cả 3 vòi cùng 1 lúc thì lợng nớc chảy vào bể là :
24
1 4
1 24
Vậy nếu mở cả 3 vòi cùng 1 lúc thì thời gian cần chảy đầy bể là :
1 : 24
1
Bài 4 :
Khi xoá đi chữ số hàng đơn vị thì mọi số tự nhiên có từ 2 chữ số trở lên sẽ giảm
ít nhất 10 lần và số ấy sẽ giảm đúng 10 lần nếu chữ số hàng đơn vị bằng 0 (1/4đ)
- Vậy tất cả các số có tận cùng là 0 đều thoả mãn (1/4đ)
- Xét số tự nhiên m Giả sử số m giảm 10 + a (a ≥ 0) lần
- Gọi Z là chữ số hàng đơn vị của m và n là số còn lại sau khi xoá đi chữ
số Z của số m
Theo giả thiết m = (10 + a) n ⇒ 10 n + Z = 10 n + a n (1/4đ)
⇒ Z = a.n
Vì Z < 10 ⇒ a < 10 và n < 10 (1/4đ) Vậy m chỉ có thể là số có hai chữ số và không thể giảm quá 19 lần khi xoá
- Xét các trờng hợp :
+ Nếu 10 + a = 11 ⇒ a = 1 Khi đó n = Z và n = 1, 2, 3, 9
+ Nếu 10 + a = 12 ⇒ a = 2 thì Z = 2n với n = 1, 2, 3, 4
⇒ Z = 2, 4, 6, 8 do đó m = 12, 24, 36, 48 (1/4đ) + Tơng tự nếu 10 + a = 13 thì m = 13, 26, 39 (1/4đ)
+ Nếu 10 + a = 15, 16, 17, 18, 19 thì m tơng ứng là :
Bài 5
Viết đợc p2 - 1 = (p - 1) (p + 1)
+ Do p là nguyên tố, p ≥ 5 nên p - 1 và p + 1 là 2 số chẵn liên tiếp dạng 2k
⇒ p2 - 1 = 2k.(2k + 2) = 4k (k + 1) 8 (1/4đ) + Do p là nguyên tố nên p 3 nên số d chỉ có thể là 1 hoặc 2
+ Nếu số d là 1 thì p - 1 3 ⇒ p2 - 1 3
+ Nếu số d là 2 thì p + 1 3 ⇒ p2 - 1 3 (1/4đ)
Trang 5đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Môn : toán 7
(Thời gian làm bài : 150 phút
-Bài 1: (2 điểm)
−
−
−
−
100
1 1 81
1
1 16
1 1 9
1 1 4 1
So sánh A với
21
11
−
b- Chứng minh rằng nếu :
d
c b
a
= thì 44 44
4
d c
b a d c
b a
+
+
=
−
−
Bài 2 : (2 điểm)
Có thể viết đợc không một dãy 8 số sao cho hai điều kiện sau đây đợc thoả mãn :
a- Tổng của bất kỳ 6 số kế tiếp nhau nào cũng là số dơng
b- Tổng của bất kỳ 4 số kế tiếp nào cũng là số âm
Bài 3 : (2 điểm)
Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau nh thế nào Biết rằng nếu cộng lần lợt độ dài từng hai đờng cao của tam giác đó thì tỉ lệ kết quả là 3 : 4 : 5
Bài 4 : (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên các cạnh BC và CD lấy các điểm M
và N sao cho MC = 2MB; NC = NB
Chứng minh : AMB = AMN
Bài 5 : (1 điểm)
Cho 3 số tự nhiên A =
số chũ 2n
4
44 ; B =
số chũ 1
n +
2
22 ; C =
số chũ
8
88 Chứng minh rằng : A + B + C + 7 là số chính phơng
Trang 6
-đáp án môn toán 7
Bài 1 :
a- (1 điểm)
Viết A = 2 22 2 22 2 2 2 2
10 9
4 3 2
) 10 1 )(
9 1 ) (
4 1 )(
3 1 )(
2 1
10 9
4 3 2
) 99 ).(
80 ) (
15 )(
8 )(
3
(1/4đ)
=
20
11 10
10 9 9
4 4 3 3 2 2
11 9 10 8
5 3 4 2 3
⇒ A <
21
11
b- Từ
d c
b a d
b c
a d
c b
a
−
−
=
=
⇒
4 4 4
4 4
4 4
d c
b a d
b c
a d c
b a
+
+
=
=
=
−
Bài 2 :
Giả sử ta viết đợc dãy 8 số : a, b, c, d, e, f, g, h thoả mãn các điều kiện đầu
Tơng tự ta có : c + d + e + f + g + h > 0
Từ (1) và (2) ⇒ e + f + g + h > 0 (Trái với điều kiện đầu bài) (1/4đ) Vậy ta không thể viết đợc dãy 8 số thoả mãn hai điều kiện của bài toán (1/4đ)
Bài 3 :
Gọi độ dài 3 cạnh tam giác là a, b, c
Các đờng cao tơng ứng là ha; hb; hc (1/4đ)
Từ đề bài ta có : (ha + hb) : (hb + hc) : (hc + ha) = 3 : 4 : 5 (1/4đ)
⇒ ha + hb = 3k; hb + hc = 4k ; hc + ha = 5k (1/4đ) Cộng từng vế 3 đẳng thức trên ta đợc : ha + hb + hc = 6k (1/4đ)
Từ đó ⇒ ha = 2k; hb = k ; hc = 3k (1/4đ) Gọi S là diện tích của tam giác đó
Trang 7⇒ S =
2
1
ha a =
2
1
hb b =
2
1
Chia các tích của (*) cho 6k ta đợc :
2 6 3
c b
Bài 4 :
Trên tia CB lấy điểm E sao cho
BE =
2
a
(1/4đ) Trong CMN có MC =
3
2 a
CN =
2
a
Theo định lý pitago
Ta có : MN2 = MC2 + CN2 (1/4đ)
=
2 2
2
1 3
2
+
a a
=
2
6
5
⇒ MN = a
6
5
(1/4đ)
Ta lại có : ME = EB + BM = a a a
6
5 3
1
Bài 5
Xét A + B + C + 7 =
số chư
2n
4
44 ; B =
số chư
1
n +
2
22 ; C =
số chư
n
8
88 + 7
= 4 x
số chư
2n
1
số chư
1
n +
1
11 +8 x
số chư
n
1
11 + 7 (1/4đ)
9
1 10 8 9
1 10 2 9
1
+
− +
− +
− n+ n
n
x
=
2
3
7 10 2
n +
(1/4đ)
2
) (
số chư
1 n
66 69
−
N
C M
B E
Trang 8đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Môn : toán 8
(Thời gian làm bài : 150 phút
-Bài 1: (2 điểm)
a- Phân tích thành nhân tử : x3 + 4x2 - 29x + 24
b- Giải phơng trình : x3 + 4x2 - 29x + 24 = 0
Bài 2: (2 điểm)
Cho biểu thức A =
1 1
2 1
2
c x b x a
c bx ax
+ +
+ +
Chứng minh rằng nếu
1 1
c b
b a
a = = thì giá trị củA A không phụ thuộc vào x
Bài 3 : (2 điểm)
Cho một số tự nhiên có 5 chữ số Nếu viết thêm chữ số 1 vào sau số đó ta
đợc số A có 6 chữ số, còn nếu viết thêm chữ số 1 vào trớc số đó ta đợc số B có 6 chữ số, biết A = 3 Tìm số đã cho
Bài 4 : (3 điểm)
Cho ∆ABC có Bˆ = 2Cˆ
a- Chứng minh rằng Cˆ không thể vợt quá 600 Phải chọnCˆ nh thế nào để
∆ABC không có góc tù
b- Trên tia đối của tia BA lấy BK = BC Chứng minh ∆ABC ∆AKC Từ
đó suy ra hệ thức AC2 = AB (AB+BC) Hệ thức trên có suy ra đợc trong ∆ABC
hệ thức Bˆ = 2Cˆ
Bài 5 : (1 điểm)
Cho x + y = 1 ; x3 + y3 = a ; x5 + y5 = b
Chứng minh rằng : 5a (a + 1) = 9b + 1
Trang 9
-đáp án môn toán 8
Bài 1 :
a- (1 điểm) : x3 + 4x2 - 29x + 24
= x3 - x2 + 5x2 - 5x - 24x + 24 (1/4đ)
= x2(x - 1) + 5x (x - 1) - 24 (x - 1) (1/4đ)
b- Sử dụng kết quả phần a ta có :
x3 + 4x2 - 29x + 24 = 0
⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1
x + 8 = 0 ⇔ x = -8 Vậy phơng trình trên có 3 nghiệm x1 = 1; x2 = 3; x3 = -8 (1/4đ)
Bài 2 :
Từ
1 1
c b
b a
a
=
= ⇒
=
=
=
c b bc
c a ac
b a ab
1 1
1 1
1 1
Thực hiện chia tử cho mẫu ta đợc :
ax2 + bx + c =
1
a
a
(a1x2 + b1x + c1) + − + − 1
1 1
1
a
ac c x a
ab
1 1
1 1 1
1 = − = =
b b
ab ba b
ab
1 1
1 1 1
1 = − = =
a a
ac ca a
ac
Từ đó : A =
1 1
2 1
2
a
a c x b x a
c bx
+ +
+ +
(1/2đ)
Bài 3 :
(1 ≤ a ≤ 9) (1 ≤ b, c, d, e ≤ 9) (1/4đ)
Theo bài ra ta có :
Trang 10Bài 4 : (3 điểm)
a- Xét ∆ABC
Có Aˆ+Bˆ+Cˆ = 1800
Mà Bˆ = 2Cˆ ⇒ Â + 3Cˆ = 1800 (1/4đ)
→ Cˆ = 600 -
3
ˆA
Nh vậy trong ∆ABC có các góc : 2
 = 1800 - (Bˆ+Cˆ) 1800 - 3Cˆ
Bˆ = 2Cˆ ; Cˆ (1/4đ)
để trong ∆ABC không có góc tù,
ta phải có : Cˆ ≤ 900 ; 2Cˆ ≤ 900
và 1800 - 3Cˆ ≤ 900
Vậy điều kiện cho Cˆ là 300≤Cˆ≤450
và Bˆ = Kˆ + Cˆ2 = 2 Cˆ2 (T/c góc ngoài của tam giác)
⇒ 2Cˆ 2 =2Cˆ 1 ⇒ Cˆ 2 =Cˆ 1 do đó Kˆ =Cˆ 1 (1/4đ)
∆ABC ∆ACK (Â chung ; Kˆ =Cˆ 1) (1/4đ)
⇒
AC
AB AK
AC = hay :
AC
AK AB
C Α
mà AK = AB + BK ; BK = BC ⇒ AC2 = AB (AB + BC) (1/4đ)
Từ hệ thức AC2 = AB (AB + BC) ⇒∆ABC ∆ACK (1/4đ)
Bài 5 :
Ta có (x+y)3 = x3 + y3 + 3xy (x + y)
→ 1 - a = 3xy ⇒ xy =
3
1 a−
(1/4đ) Mặt khác : x5 + y5 = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 - x2y3 - x3y2
= x2 (x3 + y3) + y2 (x3 + y3) - x2y2 (x + y)
= (x3 + y3) (x2 + y2) - x2y2 (x + y) (1/4đ) Thay các dữ kiện đầu bài ta có :
b = a [(x + y)2 - 2xy] -
2
3
1
−a
= a
2
3
1 3
1 2
−
−
A
B
C
K
Trang 11đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
Môn : toán 9
(Thời gian làm bài : 150 phút
-Bài 1: (2 điểm)
Cho x, y, z là các số dơng, hãy thu gọn biểu thức sau :
A =
) )(
( )(
( ) )(
xy z z
y x y
xz y z
x y x
yz x
+ +
− +
+ +
− +
+ +
−
Bài 2 : (2 điểm)
Cho phơng trình : x2 - 2 (a +b + c) x + 3 (ab + bc + ca) = 0 (1)
a- Chứng minh phơng trình (1) luôn có nghiệm
b- Trong trờng hợp phơng trình (1) có nghiệm kép Xác định a, b, c biết a2
+ b2 + c2 = 14
Bài 3 : (2 điểm)
Một ngời đi từ nhà đến tỉnh, dự định đến 12 giờ sẽ đến tỉnh Trong giờ đầu ngời đó đi đợc 4km và nhận thấy nếu giữ nguyên tốc độ thì sẽ đến tỉnh chậm hơn
dự định là 15 phút Do đó ngời ấy quyết định tăng thêm vận tốc là 0,5km/h nên
đến tỉnh sớm hơn dự định là 1/9 h Tính quãng đờng từ nhà đến tỉnh và ngời đó xuất phát lúc mấy giờ ?
Bài 4:
Cho ∆ABC M là trung điểm của BC D là 1 điểm trên cạnh BC (D khác M, qua D kẻ đờng thẳng song song với AM cắt AC tại F; cát AB tại E
a- Chứng minh :
AC
AF AB
AE
= b- Chứng minh DE + DF = 2AM
c- Tìm quy trình trung điểm I của EF Khi D di chuyển trên cạnh BC
Bài 5 : (1 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :
(x + 2y) (3x + 7y) = 216
Trang 12
-đáp án môn toán 9
Bài 1 : Ta có :
) )(
( ) )(
yz xz xz x z x y x
yz x
+ +
−
− +
= + +
−
(1/2đ)
=
) )(
(
) (
) (
z x y x
y x z z x x
+ +
+
− +
(1/4đ)
=
z x
z y
x
x
+
−
Suy luận tơng tự :
z y
z y
x
y z
y x y
xz y
+
− +
= + +
−
) (
) )(
x y
y z
x
z y
z x z
xy z
+
− +
= + +
−
) (
) )(
Bài 2
a- Tính đợc ∆’ = (a +b +c)2 - 3 (ab + bc + ca) (1/4đ)
=
2
1 [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2] (1/4đ)
⇒∆’ ≥ 0 ∀ a, b, c nên phơng trình (1) luôn có nghiệm (1/4đ) b- Do phơng trình (1) có nghiệm kếp ⇔∆’ = 0
mà a2 + b2 + c2 = 14 ⇒ a = b = c = ±
3
Bài 3 : Đổi 15 phút =
4
1 (giờ) Gọi quãng đờng từ nhà đến tỉnh là x (km) : x > 4 (1/4đ) Thời gian dự định đi của ngời đó là :
4
x
Quãng đờng còn lại sau khi đi 1 giờ đầu là : x - 4 (km) (1/4đ) Thời gian đi quãng đờng còn lại sau khi tăng vận tốc :
9
8 2 5 , 4
4= −
− x x
Trang 13Theo bài ra ta có phơng trình :
9
1 9
8 2 1 4
1 = + − +
− x x
(1/4đ)
Giá trị x = 17 (thoả mãn)
Ngời đó đi với thời gian dự định : 4
4
1 4
17 − = (h)
Do đó ngời đó xuất phát lúc : 12 - 4 = 8 (h) (1/4đ)
Bài 4 :
a- Do AM // DE ⇒ AB AE =MD MB (1)
Từ DF // AM ⇒ AC AF =MC MD (2) (1/4đ)
Do MC = MB (gt) nên từ (1) và (2)
⇒ AB AE = AC AF (1/4đ)
b- Qua C kẻ đờng thẳng
song song với AM cắt AB tại N
⇒ AM là đờng trung bình của ∆BCN
do đó : AM =
2
1 CN hay CN = 2 AM (3)
- Mặt khác : AM // DE ⇒ EF // CN
do đó :
CN
EF AC
do DF // AM ⇒ CF AC = AM DF (5) Cộng vế với vế (4) và (5) ta đợc :
AM
DF CN
EF AC
CF
AF + = +
AM
DF EF
AM
DF AM
EF AC
AC
2
2 2
+
= +
=
1 =
AM
DF DF EF
2
+ +
F’
N
E P
B
Q I
F A
Trang 141 =
AM
DF DE
2 + ⇒ DE + DF = 2AM
c- Xét
DF EF
EF DF
IF
EF ID
EF ID
EF ID
EI
2 )
( 2 2
2
+
= +
=
=
=
CN
EF DF DE
EF
= +
= (6) Kết hợp (5) và (6)
⇒ ID EI = AC AF do đó :
AB
AE ID
EI = ⇒ AI // BC Vậy khi D di chuyển trên BC thì I chạy trên đờng thẳng qua A song song với BC
- Dựng BF’ // AM cắt AC tại F’
- Gọi giao điểm của AI với BF’ là P, với CN là Q
dễ thấy BCQP là hình bình hành
Khi D ≡ B → I ≡ P :
D ≡ C → I ≡ Q Vậy quy trình của I là đoạn P, Q (lấy cả 2 đầu mút P, Q)
Bài 5 : Đặt x + 2y = A ; 3x + 7y = B.
- do x > 0 ; y > 0 ⇒ B <
2
7A
và B > 3A
A.B = 216 ⇒ A2 > 61
7
5
Mặt khác 3A < B ⇒ 3A2 < AB ⇒ A2 < 72 ⇒ A = 8
Từ đó suy ra : x = 2, y = 3 là nghiệm của phơng trình (1/4đ)