Chứng minh rằng tích các khoảng cách hạ từ một điểm M bất kỳ trên đường tròn xuống các cạnh của tam giác ABC bằng tích các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác DEF... Các đường phâ
Trang 1Bài 1: (4,0 điểm).
1
2 1
1 : 1
2 1
a a a a
a a
a a
a.Rút gọn biểu thức A
b.Tính giá trị biểu thức A khi a 2011 2 2010
Bài 2: (4,0 điểm).a) Giải hệ phương trình:
y x y x
xy y x
3
1
3 3
2 2
b) Giải phương trình: + = x2 - 10x + 27
Bài 3: (4,0 điểm).
a) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn xyz =1
Tìm GTNN của biểu thức: E = x3(y1z) y3(z1x) z3(x1 y)
b) Giải phương trình nghiệm nguyên:
3
y
xz x
yz z xy
Bài 4: (6,0 điểm).
Cho hình vuông ABCD Điểm M thuộc cạnh AB ( M khác A và B ) Tia CM cắt tia
DA tại N Vẽ tia Cx vuông góc với CM và cắt tia AB tại E Gọi H là trung điểm của đoạn NE
1/ Chứng minh tứ giác BCEH nội tiếp được trong đường tròn
2/ Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác NACE gấp ba diện tích hình vuông ABCD
3/ Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số bán kính cácđường tròn nội tiếp tam giác NAC và tam giác HBC không đổi
Bài 5: (2,0 điểm).
Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm tại D, E, F Chứng minh rằng tích các khoảng cách hạ từ một điểm M bất kỳ trên đường tròn xuống các cạnh của tam giác ABC bằng tích các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác DEF
Trang 2Bài 1: (3,0 điểm).Cho biểu thức:P =
6 5
2 3
2 2
3 :
1
1
x x
x x
x x
x x
x
a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị của a để P < 0
Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải hệ phương trình
128
4 2
2 y x
y x y
x
b) Giải phương trình: 2x 1 3x x 1
b a
c b c b
b a a
c c
b b a
b) Cho a, b, c dương và a + b = c = 1 Chứng minh a b b c c a 6
Bài 4: (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Gọi I là điểm trên cung nhỏ AB
(I không trùng với A và B) Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đường thẳng BC, CA và AB
1 Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng
2 Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất
Bài 5: (3,0 điểm) Trong đường tròn O cho 2 dây cung AB và CD cắt nhau tại M gọi N là
trung điểm của BD , đường thẳng MN cắt AC tại K Chứng minh : 22
CM
AM KC
AK
Đề 98
Trang 3Bài 1: (3,0 điểm).Cho biểu thức:P =
1 3
2 3 1 : 1 9
8 1 3
1 1 3
1
x
x x
x x
x x
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P =
5 6
Bài 2: (4,0 điểm).a) Cho x, y, z> 0 thoả mãn: 1 1 1 3
z y x
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
zx
x z yz
z y xy
y x
2 2 2
b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
x3y + xy3- 3x-3y = 17
Bài 3: (4,0 điểm).
a) Giải phương trình: (x+1)(x+2)(x+4)(x+8) = 28x2
b) Cho hệ phương trình:
ax + by = c
bx + cy = a
cx + ay = b
(a, b, c là tham số)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phương trình trên có nghiệm là: a3 + b3 + c3
= 3abc
Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) tâm O M là điểm
chính giữa cung BC không chứa điểm A Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua O Các đường phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AM’ lần lượt tại E và
F
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp được trong đường tròn
b) Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r
Chứng minh: IB.IC = 2r.IM
Bài 5: (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD, từ B kẻ đường thẳng cắt cạnh CD tại M; từ
D kẻ đường thẳng cắt cạnh BC tại N sao cho BM = DN Gọi giao điểm của DN và BM là I Chứng minh: Tia IA là tia phân giác của góc BID
Trang 4Bài 1: (5,0 điểm) Cho biểu thức:P =
1
2 1
1 : 1
1
a a a a
a a
a a
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P < 1
c) Tìm giá trị của P nếu a 19 8 3
Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: 2011x4 x4 x2 2011 x2 2010.2011
b) Giải hệ phương trình:
Bài 3: (2,0 điểm) Tìm a , b , c biết a , b ,c là các số dương và
1 1 2 1 8
1
2 2
2
c b
abc
32
Bài 4: (4,0 điểm)
a) Cho a, b, c [0 ; 1] Chứng minh rằng :
1 ) 1 )(
1 )(
1 ( 1 1
b a
c c
a
b c
b a
b) Cho 3 số x, y, z thoả mãn x + y + z + xy + yz + zx = 6 Chứng minh rằng : x2 + y2
+ z2 3
Bài 5: (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC có đường cao AH Gọi I, K là các điểm nằm ngoài tam giác ABC sao cho các tam giác ABI và ACK vuông tại Ivà K hơn nữa = ,M là trung điểm của
BC
Chứng minh rằng :
a) MI = MK
b) Bốn điểm I, H, M, K thuộc cùng đường tròn
Đề 100
Trang 5Bài 1: (5,0 điểm) Cho biểu thức:P =
1 2
2 1 2
1 1
: 1 1 2
2 1 2
1
x
x x x
x x
x x x
x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x .3 2 2
2
1
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình sau:
2 x
1 2 y
1
2 y
1 2 x
1
b) Giải phương trình: x = 2005-2006 (2005-2006 x2)2
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M =
2
x
x x b) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c khác 0 và a + b+ c 0
Tính P = (2008+
b
a
)(2008 +
c
b
) ( 2008 +
a
c
)
Bài 4: (5,0 điểm) Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đường tròn tâm O
qua B và C Qua A vẽ tiếp tuyến AE, AF với đường tròn (O); Gọi I là trung điểm BC, N là trung điểm EF
a.Chứng minh rằng các điểm E, F luôn nằm trên 1 đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi
b.Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại K Chứng minh rằng :EK song song với AB
c.Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy trên một đường thẳng
cố định khi đường tròn(O) thay đổi
Bài 5: (2,0 điểm) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của (O)
và các cạnh BC, CA, AB lần lượt là D, E, F Kẻ BB1 AO, AA1 BO
Chứng minh rằng 4 điểm D, E, A, B thẳng hàng
Đề 101
Trang 6Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức P =
a a
a a
a
a a
a a
1
1 1
1 : 1
) 1
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức M = a.(P -
2
1 )
Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải hệ phương trình
3
1
2
2
y
x y x
3
1
y
x y x
b) Giải Phương trình: 4x2 +3x(4 1 x -9) = 27
Bài 3: (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
x y y z z x với x > 0; y > 0; z > 0 và xy yz zx 1
Bài 4: (3,0 điểm).Cho hai dãy số cùng chiều : a1 ≤ a2 ≤ a3
b1 ≤ b2 ≤ b3
Chứng minh rằng : (a1+ a2 +a3)(b1 + b2 + b3 ) ≤ 3(a1b1 +a2b2+a3b3)
Áp dụng chứng minh rằng : với 0 abc thì
c b a c
b a
c b a
2006 2006 2006
2005 2005 2005
Bài 5: (6,0 điểm)
1 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) AD BE CF, , là ba đường cao
D BC E CA F , , AB Đường thẳng EF cắt BC tại G, đường thẳng AG cắt lại đường tròn ( )O tại điểm M
a) Chứng minh rằng bốn điểm A M E F, , , cùng nằm trên một đường tròn
b) Gọi N là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng
GH AN
2 Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB>CD) Hãy xác định điểm E thuộc cạnh bên
BC sao cho đoạn thẳng AE chia hình thang thành hai hình có diện tích bằng nhau
Đề 102
Trang 7Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức:P =
1 1
2
x
x x
x x x x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P0
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình : x + y = 1
x5 + y5 = 11 b) Giải phương trình: 3 x 3 3 6 x 1
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1 Chứng minh b+c ≥ 16abc
b) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M 1 1
x y
Bài 4: (6,0 điểm)
1 Cho hình vuông ABCD cạnh là a Trên đường chéo AC lấy điểm E và F sao cho
EBF = 450 Đường thẳng BE, BF cắt AD và CD lần lượt tại M và N MF và NE cắt nhau tại H, BH cắt MN tại I
a.Chứng minh AB = BI
b.Tìm vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất
2 Cho tứ giác ABCD Lấy điểm M tùy ý trên cạnh AB xác định điểm N trên cạnh
DC sao cho MN chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau
Bài 5: (2,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
7
1 1 1
y x
Đề 103
Trang 8Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức:P =
a a
a a
a
a a
a
1
1 1
1
3
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức P 1 a
Bài 2: (5,0 điểm)
a) Giải phương trình: x2 2x 1 2 4 4
x
2006
2005 2006
2005 2005
b) Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình
3
3
3 3
x
z y x
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn
x y z và 3z - 3x2 = z2 = 16 - 4y2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : zy + yz + zx
b) Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c và chu vi 2p =a+ b + c
Chứng minh rằng :
p 1 a + p 1b + p 1 c 2 (
a
1 +
b
1 +
c
1 )
Bài 4 (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Gọi I là điểm trên cung nhỏ AB (I không trùng với A và B) Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đường thẳng BC, CA và AB
a) Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng
b) Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất
c) Gọi E, F, G theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh
BC, CA và AB Kẻ EQ vuông góc với GF Chứng minh rằng QE là phân giác của góc BQC
Bài 5: (2,0 điểm)
Ở miền trong hình vuông ABCD lấy điểm M sao cho MBA MAB 15 0
Chứng minh rằng : Tam giác MCD đều
Đề 104
Trang 9Bài 1: (4,0 điểm)
x 1
1 x
2 x 2 x
1 x 2
x x
3) x 3(x P
a/ Rút gọn P
b/ Tìm các giá trị x nguyên để P nguyên ;
c/ Tìm các giá trị của x để P x
Bài 2: (5,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
78 ) (
215 6
) (
2 2
2 2 4
b a ab
b a b
a
b) Giải phương trình:
x x x x
x x
5 2 1
4
Bài 3: (4,0 điểm)
a Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn
3
5
y z
x Chứng minh rằng 1x 1y <1( 1 1 )
xy
z
b Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác biết
abbcca 8abc
Chứng minh rằng tam giác đã cho là tam giác đều
Bài 4: (2,0 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 7x2 + 13y2 = 1820
b) Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x)
Bài 5: (5,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là O Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn (O) đường kính AB Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O) Từ C kẻ CH vuông góc với AB H AB Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AC và CB
a) Chứng minh rằng: OC vuông góc với MN;
b) Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với AB Tiếp tuyến với (O) tại điểm C cắt đường thẳng d ở K Chứng minh rằng: BK; CH; MN đồng quy
Trang 10Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức : P =
x x
x x
x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P biết x =
3 2
2
c) Tìm giá trị của x thỏa mãn : P x 6 x 3 x 4
Bài 2: (5,0 điểm)
a) Giải hệ:
65
185
2 2 2 2
2 2 2 2
y x y xy x
y x y xy x
b) Giải phương trình:
6
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Cho a , b, c, d > 0 Chứng minh rằng :
1 <
c b a
a
d c b
b
a d c
c
b a d
d
< 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=
c b a
c b
c a
b a
c b
a
16 9
4
Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác
Bài 4: (5,0 điểm)
Cho ABC có 3 góc nhọn ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính là
AB và AC Một đường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đường tròn lần lượt tại M và N (khác A)
a) Chứng minh đường trung trực của MN đi qua một điểm cố định
b) Giả sử ABC cân tại A Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích tứ giác
BCNM lớn nhất
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng 12cm Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC
Trang 11Đề 106
4
x
a) Tìm giá trị của x để P xác định
b) Rút gọn P
c) Tìm x sao cho P>1
Bài 2: (5 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
4 0
y
b) Giải phương trình: .3 3 2
Bài 3: (3 điểm)
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức
x2 + xy + y2 = x2y2
Bài 4: (2 điểm)
Cho 4 số x, y, z, t Thoả mãn (x+y)(z+t)+xy+88 = 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + 9y2 + 6z2 + 24t2
Bài 5: (6 điểm) Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn Từ một điểm M
di động trên đường thẳng d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K
a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định
b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định
c) Cho biết OA = 2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Trang 12Đề 107
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:
3 3
3
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
Bài 2: (5 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
b) Giải phương trình 3 x 2 26 3 x x 3 8
Bài 3: (4 điểm)
a) Tìm mọi cặp số nguyên dương (x; y) sao cho
1
2
2 4
y x
x
là số nguyên dương
b) Cho x, y , z là các số dương thoả mãn xyz x + y + z + 2 tìm giá trị lớn nhất của x +
y + z
Bài 4: (2 điểm)Cho các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng:
1
Bài 5: (5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm)
a) Chứng minh rằng MN2 MP2 MA MB.
b) Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông
Trang 13Đề 108
1
1 1
1 : 1 1
1
1
xy
x xy
x xy xy
x xy xy
x
a Rút gọn biểu thức
b Cho 1 1 6
y
Bài 2: (5 điểm)a) Giải hệ phương trình
1 4
1 4
1 4
y z
x
x z
y
z y x
b) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x yz 2006 và 111 20061
z y x
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 2006
Áp dụng giải phương trình sau: 1 1 1 1
2x 1 x 1x 2 2 x 2
Bài 3: (2 điểm)Cho x, y, z > 0 thoả mãn: x + y + z = 2
Tìm GTNN của P =
Bài 4: (4 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên
x2y2-x2 -8y2 = 2xy (1)
Trang 14Bài 5: (5 điểm)
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định H là điểm thuộc đoạn OB sao cho
HB = 2HO Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H Gọi E là điểm di động trên cung nhỏ
CB sao cho E không trùng với C và B Nối A với E cắt CD tại I
a/ Chứng minh rằng AD2 = AI.AE
b/ Tính AI.AE – HA.HB theo R
c/ Xác định vị trí điểm E để khoảng cách từ H đến tâm đường tròn ngoại tiếp DIE ngắn nhất
Đề 109
2
với x 0,x 1 a) Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2
Bài 2: (5 điểm)a) Giải hệ phương trình:
b) Giải phương trình: x3 – 3x2 + 9x – 9 = 0
Bài 3: (2 điểm)Giả sử x, y là các số dương thoả mãn đẳng thức: xy 10
Tìm giá trị của x và y để biểu thức: P (x4 1 )(y4 1 ) đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất ấy
Bài 4: (4 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21
b) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
4 4 4 3 3 3
a b c a b c
Bài 5: (6 điểm)
1 Cho đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R Từ điểm P trên tia tiếp tuyến của đường tròn
tại B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đường tròn Gọi H là hình chiếu của A lên