Chuyên đề: Tổ hợp

Trong ch-ơng trình toán ở tr-ờng THPT, đại số tổ hợp là một nội dung khó đối với học sinh.. Các bài toán dễ sai khi xét thiếu tình huống, xét tình huống bị trùng lặp hau không thấy được

Mục lục

Trang

Vấn đề 1: Nhận diện bản chất của vấn đề là chỉnh hợp khi yếu tố thứ tự là cốt lõi 7

Vấn đề 3: Chứng minh một tính chất liên quan đến A r n và Pn 10

Vấn đề 1: Nhận diện bản chất vấn đề là tổ hợp khi yếu tố thứ tự không quan hệ 17

Các sai lầm th-ờng gặp khi giải toán đại số tổ hợp 25 Vấn đề 3: Chứng minh một hệ thức bằng cách nêu ý nghĩa tổ hợp của vấn đề 26

Vấn đề 5: Chứng minh một hệ thức bậc hai của C n k 30 Vấn đề 6: Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình chứa C n k 32

Vấn đề 8: Tìm hệ số của một luỹ thừa trong một biểu thức khai triển 36

Vấn đề 10: Tính các tổng C bằng ph-ơng pháp đạo hàm và tích phân n k 41

Lời nói đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học có nhiều lợi thế để phát triển trí tuệ cho học sinh Trong quá trình giảng dạy môn toán, việc đ-a ra những ph-ơng pháp giải cho từng dạng toán giúp cho việc giải các bài toán đó trở nên dễ dàng và ngắn gọn hơn Từ đó tạo sự hứng thú và say mê cho học sinh khi học tập môn toán Trong ch-ơng trình toán ở tr-ờng THPT, đại số tổ hợp là một nội dung khó

đối với học sinh Các bài toán dễ sai khi xét thiếu tình huống, xét tình huống bị trùng lặp hau không thấy được đây là bài toán chỉnh hợp hay tổ hợp … Tuy nhiên, các bài toán dạng này th-ờng gắn liền với thực tiễn và rất thực tế, nên th-ờng gây đ-ợc sự hứng thú trong học tập cho học sinh Chính vì vậy, việc h-ớng dẫn và đ-a ra ph-ơng pháp giải cho các bài toán đại số tổ hợp

là hết sức cần thiết Nó đòi hỏi ng-ời giáo viên phải không ngừng nâng cao trình độ và khả năng s- phạm của mình

Vì những lí do này tôi đã chọn đề tài về các ph-ơng pháp giải các bài toán đại số tổ hợp cho sáng kiến kinh nghiệm của mình Tôi mong rằng với sáng kiến này sẽ là một tài liệu thiết thực cho giáo viên và học sinh khi học về đại số tổ hợp, góp phần giúp các em đạt kết quả cao trong các kì thi Tú tài và tuyển sinh vào các tr-ờng Cao đẳng hay Đại học

2 Mục đích, nhiệm vụ và đối t-ợng nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu:

Phát hiện và hệ thống hóa những ph-ơng pháp để giải các bài toán đại số tổ hợp ở tr-ờng THPT

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Tìm hiểu và đ-a ra các ph-ơng pháp giải các nội dung chính của phần đại số tổ hợp

2.3 Đối t-ợng nghiên cứu:

Học sinh lớp 11 và 12 khi học về phần đại số tổ hợp, cách tính đạo hàm và tích phân của hàm

số (tùy mức độ nhận thức của học sinh)

Ch-ơng I Khái niệm mở đầu

Để tính số cách xảy ra của một hành động phức tạp ta phân tích hành động đó thành các giai

đoạn đơn giản và áp dụng qui tắc nhân của phép đếm

Ví dụ 1 Trong vòng đấu loại của một cuộc thi cờ vua có 2n ng-ời tham dự Mỗi ng-ời chơi

đúng một bàn với người khác Chứng minh rằng có 1.3.5…(2n -1) cách sắp đặt

Giải

Xét n đấu thủ (cầm quân trắng chẳng hạn)

• Với ng-ời chơi thứ nhất, có 2n – 1 cách chọn đấu thủ của anh Còn lại 2n – 2 ng-ời ch-a

đấu, nên

• Với ng-ời chơi thứ hai, có 2n – 3 cách chọn đấu thủ của anh Còn lại 2n – 4 ng-ời ch-a đấu

• Với ng-ời chơi thứ ba, có 2n – 5 cách chọn đấu thủ của anh

………

• Với người thứ n chỉ có 1 cách chọn đối thủ duy nhất còn lại

Vậy có 1.3.5… (2n – 1 ) cách sắp đặt cuộc thi

Vấn đề 2: Dùng Qui tắc cộng

Nếu công việc thứ nhất có thể thực hiện theo m cách , công việc thứ hai có thể thực hiẹn theo

n cách và hai công việc này không thể đồng thời thực hiện thỉ có m + n cách để thực hiện một

trong hai công việc

Ví dụ 1 Nếu th- viện có 85 quyển sách Toán và 63 quyển sách Lí thì một học sinh có

85 + 63 = 148 cách để m-ợn một quyển Toán hoặc Lí từ th- viện

VÝ dô 2 Trong 2006 n¨m qua cã bao nhiªu n¨m kh«ng ph¶i lµ n¨m TuÊt ?

Gi¶i LÊy n¨m TuÊt 2006 lµm mèc thêi gian (t = 0) råi ng-îc dßng thêi gian trë vÒ qu¸ khø th× khi

sè n¨m lµ béi cña 12 lµ n¨m TuÊt Ta cã tÊt c¶

12

2006 = 167 n¨m TuÊt Cßn l¹i 2006 – 167 = 1839 n¨m kh«ng ph¶i lµ n¨m TuÊt

1.4 Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 2 ch÷ sè kh¸c nhau ®-îc thµnh lËp tõ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

H-íng dÉn: Gäi sè cÇn t×m cã d¹ng ab XÐt c¸c tr-êng hîp cña b ta cã 13 sè

1 5 Cã tÊt c¶ bao nhiªu sè cã thÓ thµnh lËp tõ c¸c ch÷ sè 2,4,6,8 nÕu

2 TÝnh chÊt

Hai chØnh hîp n chËp r cña n phÇn tö lµ kh¸c nhau nÕu

- HoÆc chóng cã Ýt nhÊt mét phÇn tö kh¸c nhau

- HoÆc chóng gåm r phÇn tö nh- nhau nh-ng s¾p xÕp theo thø tù kh¸c nhau

b ph-ơng pháp giải toán

Vấn đề 1: Nhận diện bản chất của vấn đề là chỉnh hợp khi yếu tố thứ tự là cốt lõi

Ví dụ 1 Cho một đa giác lồi có 15 cạnh Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 với điểm

đầu và điểm cuối là các đỉnh của đa giác?

- Nh-ng ta phải loại các số bắt đầu bằng 0, số nh- vậy đ-ợc lập bằng cách chọn một trong hai

số chẵn 2, 4 làm đơn vị rồi ghép thêm một chỉnh hợp chập 3 của 4 số khác 0 ch-a dùng đến, và cuối cùng đặt số 0 tr-ớc 4 số đó có 2.A34 số nh- vậy

- Vậy có 3.A54 – 2.A34 = 5.4.32

.2 – 4.3.22

= 312 số

Ví dụ 5 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đ-ợc bao nhiêu số, mỗi số gồm 5 chữ số

khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5,

Giải

- Ta sẽ đ-ợc một số nh- vậy bằng cách lấy một chỉnh hợp chập 4 của 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 6 rồi thêm chữ số 5 vào một vị trí bất kì Có 5A46 số nh- vậy

- Nh-ng ta phải loại các số bắt đầu bằng 0, một số nh- vậy đ-ợc thành lập bằng cách lấy một chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số 1, 2, 3, 4,6 rổi xen chữ số 5 vào một vị trí bất kì và cuối cùng đặt chữ số 0 tr-ớc 4 chữ số đó Có 4A35 số nh- vậy

- Vậy ta có 5A46 – 4A35 = 6.52

.4.3 – 5.42

.3 = 1560 số

Bài tập 2.1 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập đ-ợc bao nhiêu số có 4 chữ số trong đó

a) Có bao nhiêu gồm 3 chữ số khác nhau có thể tạo ra ?

b) Trong đó có bao nhiêu số nhỏ hơn 400 ?

Vấn đề 2: Xếp dặt n phần tử của một hoán vị

Ví dụ 1 Từ 3 chữ số 1, 2, 3 có thể tạo d-ợc bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau ?

Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

2.3!.5.10! = 60.10! cách

Vậy số cách sắp theo yêu cầu là :

120.10! – 60.10! = 60.10! = 217 728 000 cách

Ví dụ 3 Có 5 bi đỏ và 5 bi trắng có kính th-ớc khác nhau đôi một Có bao nhiêu cách sắp

các bi này thành một hàng sao cho hai bi cùng mầu không đ-ợc nằm kề nhau

Giải

Xét một hộp đựng bi có 10 ô trống thẳng hàng, mỗi ô đ-ợc đánh số từ 1 đến 10

- Lấy 5 bi đỏ vào vị trí ô mang số chẵn 2, 4, 6, 8, 10 ta có5! cách Sau đó lấy 5 bi trắng bỏ vào 5

vị trí còn lại ta cũng có 5! cách Vậy tr-ờng hợp này có 5!.5! cách

- Lập luận t-ơng tự lấy 5 bi đỏ bỏ vào các ô mang số lẻ, lấy 5 bi trắng bỏ vào ô số chẵn ta cũng

có 5!.5! cách

Vậy số cách thoả mãn yêu cầu bài toán là :

2.5!.5! = 28 800 cách

Ví dụ 4 a) Có bao nhiêu cách xếp n đại biểu ngồi quanh một bàn tròn

b) Một thiếu nữ có n vỏ sò khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách xâu chúng thành một chuỗi

c) Có bao nhiêu đa giác nhận n điểm phân biệt làm đỉnh

Giải

a) Vị trí t-ơng đối giữa các đại biểu hoàn toàn không đổi nếu ta hoán vị vòng họ theo một chiều nhất định (nghĩa là trong hoán vị vòng không có phần tử nào là phần tử cuối cùng, hoặc phần tử đầu tiên) Vậy số cách sắp xếp là

n

cách xâu c) Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo cả hai chiều theo cả 2n cách khác nhau mà đa giác vẫn không thay đổi số đa giác là

2

!1

n

Bài tập

2.9 Có bao nhiếu số gồm đủ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5

HD : Có 6! số trong đó 5! số bắt đầu bằng số 0 Vậy có 6! – 5! = 720 số

2.10 Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh đứng thành hàng ngang để chụp ảnh l-u niệm, biết rằng trong đó có 3 em không đứng xa nhau

HD : Coi 3 bạn không đứng xa nhau lập thành một nhóm thì có 5! cách xếp đặt Với mỗi cách trên thì có 3! cách xếp nữa nếu hoán vị 3 bạn đó Vậy có 5!.3! = 720

2.11 Trong phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Ng-ời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu

a) Các học sinh ngồi tuỳ ý

b) Các học sinh nam ngồi một bàn, học sinh nữ ngồi một bàn

!6 = 720 số

XÐt c¸c ch÷ sè hµng d¬n vÞ, mçi ch÷ sè 1, 3, 4, 5, 7, 8 xuÊt hiÖn

6

720 = 120 lÇn

tæng c¸c ch÷ sè hµng v¹n lµ: 3360.104

!

x

x 21x x(x -1)(x – 2) + 5x(x – 1) 21x

(x -1)(x – 2) + 5(x – 1) 21 (do x 3 )

x2+ 2x – 24 0

–6 x 4

Do x N vµ x 3 nªn x = 3, x = 4 lµ nghiÖm

VÝ dô 5 Chøng minh r»ng víi n N vµ n 2 th×

2 3

2 4

2

1 12

1 1! 1 1 12! 3.2 2 3

1 2! 1 1 14! 4.3 3 4

VÝ dô 7 Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh : 1

15

2 2

!

x x

06

!

012

2

x

x x

334

1434

Cộng lại ta đ-ợc :

2 n m n m 1 n 1 n 22.18 Chứng minh rằng : A n k A n k1 kA n k11

b) Tính P1 và suy ra biểu thức của Pn

c) Chứng minh định lí : "Số song ánh giữa hai tập X, Y cùng có n phần tử là Pn = n!"

n n n n k n C

1 3 3 1

1 4 + 6 4 1

1 5 10 10 5 1

VÝ dô 1 §Ò thi tr¾c nghiÖm cã 10 c©u hái, häc sinh cÇn chän tr¶ lêi 8 c©u

a) Hái cã mÊy c¸ch chän tïy ý ?

b) Hái cã mÊy c¸ch chän nÕu 3 c©u ®Çu lµ b¾t buéc?

c) Hái cã mÊy c¸ch chän 4 trong 5 c©u ®Çu vµ 4 trong 5 c©u sau?

Gi¶i

a) Chän tïy ý 8 trong 10 c©u ®Çu lµ tæ hîp chËp 8 cña 10 phÇn tö, cã :

8 10

10! 10.9

458! 10 8 ! 2

b) V× cã 3 c©u b¾t buéc nªn ph¶i chän thªm 5 c©u trong 7 c©u cßn l¹i ®©y lµ tæ hîp chËp 5 cña 7 phÇn tö, cã :

5 7

7! 7.6

215! 7 5 ! 2

b) Có C C cách chọn 2 nữ 4 nam, Có 42 74 C C cách chọn 3 nữ 3 nam Có 43 73 C C cách chọn 4 44 72nữ 2 nam C C42 74 C C43 73 C C44 72 6.35 4.35 1.21 371 cách lập một ban cán sự có it nhất

Còn lạiC116 C94 462 126 336cách lập ban cán sự không đồng thời chứa X và Y

Ví dụ 3 Một đoàn tầu có 3 toa chở khách : toa I, II, III Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn

bị đi tầu Biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống Hỏi :

a) Có bao nhiêu cách sắp 4 hành khách lên 3 toa

b) Có bao nhiêu cách sắp 4 hành khách lên tầu để có 1 toa trong đó có 3 trong 4 vị khách

Giải

a) Mỗi khách có 3 cách lên toa I hoặc II hoặc III Vậy số cách sắp 4 khách lên 3 toa là:

3.3.3.3 = 81 cách b) Số cách sắp 3 khách lên toa I là : 43 4! 4

3!

Số cách sắp 1 khách còn lại lên toa II hoặc III là : 2 cách

Vậy nếu 3 khách ở toa I thì có : 4.2 = 8 cách

Lập luận t-ơng tự nếu 3 khách ở toa II hoặc III cũng là 8 cách

Vậy số cách thoả mãn yêu cầu bài toán là : 8 + 8 + 8 = 24 cách

Ví dụ 4 Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó 10 câu trung bình và 15 câu dễ Từ 30 câu đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau, sao cho mỗi đề phải có 3 loại (khó, trung bình, dễ) và số câu dễ không ít hơn 2?

a) Thành 2 nhóm có số ng-ời bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau

b) Có bao nhiêu cách chọn 5 ng-ời trong đó không quá 1 nam

Giải

a) Do mỗi nhóm có số ng-ời bằng nhau nên mỗi nhóm phai có 5 ng-ời

Do số nữ bằng nhau nên mỗi nhóm phải có 2 nữ

Vậy mỗi nhóm phải có 3 nữ 2 nam

Vậy số cách chọn 5 ng-ời trong đó không quá 1 nam là : 6 + 60 = 66

Ví dụ 6 Có 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 ng-ời, đều có 2 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá

Giải

Vì mỗi tổ đều có học sinh giỏi nên số học sinh giỏi mỗi tổ là 1 hoặc 2

Vì mỗi tổ đều có ít nhất 2 học sinh khá nên số học sinh khá mỗi tổ là 2 hoặc 3

Do đó nếu xem số học sinh giỏi, khá, trung bình mỗi tổ là toạ độ một véctơ 3 chiều ta có 4 tr-ờng hợp đối với tổ 1 là (1, 2, 5), (1, 3, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 3)

T-ơng ứng 4 tr-ờng hợp đó đối với tổ 2 là (2, 3, 3), (2, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 2, 5)

Ta tháy 2 tr-ờng hợp bị trùng.Vậy chỉ có 2 tr-ờng hợp là :

Tr-ờng hợp 1 :

Số cách chọn một tổ nào đó có 1 giỏi, 2 khá, 5 trung bình là : 3.C C 52 85

Vậy tổ còn lại có 2 giỏi, 3 khá, 3 trung bình thoả mãn yêu cầu bài toán

Tr-ờng hợp 2 :

Số cách chọn một tổ nào đó có 1 giỏi, 3 khá, 4 trung bình là : 3.C C 53 84

Vậy tổ còn lại có 2 giỏi, 2 khá, 4 trung bình thoả mãn yêu cầu bài toán

Do đó số cách chia học sinh thành 2 tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là :

a) 6 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi đỏ

b) 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ

Ví dụ 8 Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng Ng-ời ta chọn 4 bi từ hộp Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 mầu

3.1 Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau Cần chọn 4 học sinh cho môi

đề kiểm tra Hỏi có mấy cách chọn?

ĐS : Có C C124 84 34 650 cách

3.2 Một học sinh phải trả lời 10 trong 13 câu hỏi kiểm tra :

a) Có bao nhiêu cách chọn?

b) Có bao nhiêu cách nếu 2 câu đầu là bắt buộc?

c) Có bao nhiêu cách nếu phải trả lời 1 trong hai câu đầu?

d) Có bao nhiêu cách nếu phải trả lời đúng 3 trong 5 câu đầu?

e) Có bao nhiêu cách nếu phải trả lời ít nhất 3 trong 5 câu đầu?

ĐS : a)C1310 286 b)C118 165 c)2.C119 110 d)C C53 87 80 e)C C53 87 C C54 86 C C55 85 276

3.3 Có 12 học sinh -u tú Cần chọn ra 4 học sinh để đi dự đại hội học sinh -u tú toàn quốc Có mấy cách chọn :

a) Tùy ý?

b) Sao cho 2 học sinh A và B không cùng đi?

c) Sao cho 2 học sinh A và B cùng đi hoặc cùng không đi?

3.6 Một bộ bài 52 lá ; có 4 loại : cơ, rô, chuồn, bích mỗi loại 13 lá Muốn lấy ra 8 lá trong đó phải có đúng 1 lá cơ, đúng 3 lá rô và không quá 2 lá bích Hỏi có bao cách?

4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4

a) Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng mầu 3 quả cầu cùng số

b) Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu khác mầu, 3 quả cầu khác mầu và khác số

ĐS : a) Có 34 cách lấy 3 quả cầu cùng mầu ; Có 4 cách lấy 3 quả cầu cùng số

b) Có 120 cách lấy 3 quả cầu khác mầu ; Có 64 cách lấy 3 quả cầu khác mầu và khác số 3.9 Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào một hộc có 7 ô trống

a) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau

b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp cạnh nhau

ĐS :a) 840 cách b) 48 cách

3.10 Một tập thể có 14 ng-ời gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình Ng-ời ta muốn chọn ra một tổ công tác gồm 6 người Tìm số cách chọn trong mõi trường hợp sau :’

a) Trong tổ phải có mặt cả nam lẫn nữ

b) Trong tổ phải có một tổ tr-ởng ,5 tổ viên , hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ

a) Có bao nhiêu cách tặng giải?

b) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 trúng giải độc đắc

c) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 là một trong các giải trúng

d) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 không trúng giải

e) Có bao nhiêu cách tặng giải nếu vé số 47 và 19 đều trúng giải

f) Nếu các vé số 19, 47 và 73 đều trúng giải

g) Nếu các vé số 19, 47,73 và 97 đều trúng giải

h) Nếu các vé số 19, 47,73 và 97 đều không trúng giải

i) Nếu giải độc đắc rơi vao một trong các vé số 19, 47,73 và 97

j) Nếu các vé số 19, 47 trúng giải còn các vé số 73 và 97 không trúng giải

ĐS : a) 94 109 400 b) 941 094 c) 3 764 376 d) 90 345 024 e) 114 072 f) 2384 g) 24 h) 79 727 040 i) 3 764 376 j0 109 440 3.13 Bảng chữ cái có 26 kí tự trong đó có 5 nguyên âm

a) Có bao nhiêu chữ gồm 5 kí tự trong đó có 3 phụ âm khác nhau và 2 nguyên âm khác nhau? ĐS : 1 596 000

b) Trong đó có bao nhiêu chữ ch-á b? ĐS: 228 000 c) Trong đó có bao nhiêu chữ ch-á b và c? ĐS: 22 800

d) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu bằng b và chứa c? ĐS: 4560

e) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu bằng b và kết thúc bằng c? ĐS: 1140

f) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu bằng b và chứa a? ĐS: 18 240

g) Trong đó có bao nhiêu chữ ch-á a, b, c? ĐS: 9120

3.14 Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

a) Có bao nhiêu tập con của A chứa 1 mà không chứa 2

b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 123 lập từ A

ĐS : a) 64 b) 3348 số

3.15 Có 4 ng-ời Việt, 4 ng-ời Thái, 4 ng-ời Trung Quốc và 4 ng-ời Triều Tiên Cần chọn 6 ng-ời

đi dự hội nghị Hỏi có mấy cách chọn sao cho :

a) Mỗi n-ớc đều có đại biểu?

b) Không có n-ớc nào có hơn 2 đại biểu?

ĐS : a) 4480 cách b) 4320 cách

3.16 a) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 ch- số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số

Vấn đề 2: Sử đụng quy tắc t-ơng ứng

Ví dụ 1 Cho n điểm trong mặt phẳng A1, A2, …, An sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và nối tất cả tất cả các điểm đó lại với nhau từng cặp

Giao điểm khác với n điểm Ai

Cách 2: N = C đ-ờng thẳng cho n2 C giao điẻm Nh-ng mỗi điểm AN2 i có n – 1 đ-ờng thẳng

đi qua nên có C n21 giao điểm trùng với Ai Có nC n21 giao điểm trùng với A1, A2, …, An Vậy

số giao điểm khác với n điểm là

c) Cứ 3 đ-ờng thẳng xác định một tam giác Có C tam giác Nh-ng vì qua mỗi đỉnh AN3 i có

n – 1 đ-ờng thẳng nên có C n31 tam giác suy biến thành điểm Ai Có nC n31 tam giác suy biến

thành n điểm A1, A2, …, An

Vậy có N3 31 1 1 2 3 13 20

48

n

C nC n n n n n tam giác xác định bởi n đ-ờng thẳng đó

Ví dụ 2 Cho đa giác đều H có 20 cạnh Xét các tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 đỉnh của H a) Có bao nhiêu tam giác nh- vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là 2 cạnh của H b) Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H

1 2 38

n

n n n n

C nC

C A4 A3

Cứ mỗi đỉnh của H cùng với 2 đỉnh kề bên tạo

thành một tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của H Các A1 A2

tam giác này không trùng nhau và không có cách

nào khác để tạo tam giác có 2 cạnh là cạnh của H

Mà H có 20 đỉnh nên có đúng 20 tam giác tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của H

b) Xét các tam giác mà một đỉnh là A1 Để có đúng một cạnh là cạnh của H ta bỏ đi 4 cạnh A1A2,

A2A3, A1A20, A20A19 Vậy có đúng 16 tam giác mà đỉnh là A1 và có đúng 1 cạnh là cạnh của H

Mà H có 20 đỉnh, vậy số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H là : 20.16 = 320

Do đó số tam giác không có cạnh nào là cạnh của H là : 1140 – (20 + 320) = 800

Ví dụ 3 Cho 5 điểm đồng phẳng sao cho các đ-ờng thẳng nối các cặp điểm trong 5 điểm đó

không có 2 đ-ờng thẳng nào song song, vuông góc, hay trùng nhau Qua mỗi điểm ta vẽ các

đ-ờng thẳng vuông góc với tất cả các đ-ờng thẳng không đi qua nó Không kể 5 điểm đã cho, số

giao điểm của các đ-ờng thẳng vuông góc đó là bao nhiêu

Giải

Gọi 5 điểm đó là A, B, C, D, E Có C42 6 đ-ờng thẳng không đi qua A nên từ A vẽ đ-ợc 6

đ-ờng thẳng vuông góc với các đ-ờng thẳng không đi qua A ; t-ơng tự từ B cũng vẽ đ-ợc 6

đ-ờng thẳng vuông góc với các đ-ờng thẳng không đi qua B Đáng nhẽ 2 nhóm đ-ờng thẳng này

cắt nhau tại

6.6 = 36 điểm (không kể A và B), nh-ng vì có C32 3 đ-ờng thẳng không đi qua 2 điểm A, B nên

3 đ-ờng thẳng vuông góc với chúng vẽ từ A và 3 đ-ờng thẳng vuông góc với chúng vẽ từ B đôi

một song song số giao điểm của 2 nhóm đ-ờng thẳng trên chỉ còn 36 – 3 = 33 điểm Có

2

5 10

C cách chọn các cặp điểm nh- A, B Có 33.10 = 330 giao điểm của các đ-ờng thẳng

vuông góc Thế nh-ng cứ mỗi 3 điểm nh- A, B, C thì 3 đ-ờng cao của tam giác ABC đồng qui tại

một điểm thay vì cắt nhau tại 3 điểm nên số giao điểm giảm đi 2 Vì có C53 10 tam giác nh-

ABC nên số giao điểm giảm đi 10.2 = 20

Vậy số giao điểm của các đ-ờng vuông góc đó là : 330 – 20 = 310

Bài tập

A4 A3 3.18 Trong một n giác lồi có

a) Bao nhiêu đ-ờng chéo

b) Bao nhiêu giao điểm của các đ-ờng chéo A1

ĐS : a) 3

2

n n

b) C A n4 2 3.19 Trong mặt phẳng cho 1 thập giác lồi Xét các tam giác mà 3 đỉnh của nó là 3 đỉnh của thập

giác Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó dều không phải là 3

cạnh của thập giác

ĐS : 50

3.20 Có p điểm trong mặt phẳng trong đó có q điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm nào

thẳng hàng Nối p điển đó lại với nhau Hỏi :

a) Có bao nhiêu đ-ờng thẳng?