KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.. Tập hợp số phức được kí hiệu là C.. Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R⊂C.. Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo... Tìm phần thực và phần ảo của z..
Trang 1SỐ PHỨC
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Khái niệm số phức
Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i2 = -1 được gọi là số phức
a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo
Tập hợp số phức được kí hiệu là C
Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R⊂C
Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo
2 Biểu diễn hình học
Số phức z = a + bi (a b R, ∈ ) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi ur=( )a b, trong mp(Oxy) (mặt phẳng phức)
3 Hai số phức bằng nhau
'
'
a a
b b
=
4 Cộng và trừ hai số phức
a bi+ +(a b i'+ ' ) (= +a a') (+ +b b i')
a bi+ −(a b i'+ ' ) (= −a a') (+ −b b i')
Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi
5 Nhân hai số phức
(a bi+ ) (× a b i'+ ' ) (= aa bb'− ') (+ ab ba i'+ ')
k a bi( + ) =ka kbi k R+ ( ∈ )
6 Số phức liên hợp
• Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi= −
• z z=
• z z± = ±' z z'
• ' ' ;
z z z z
• z z a = 2+b2
• z là số thực ⇔ =z z
• z là số ảo ⇔ = −z z
7 Modul của số phức
Cho số phức z = a + bi
• z = a2+b2 = z z = OMuuuur
y b
a
M (a,b) Trục thực
Trục ảo
Trang 2• z z ' = z z '
• z z' = z z'
• z − z' ≤ ± ≤ +z z' z z'
8 Chia hai số phức
2
1
0
z
− = ≠
' 1
2
z z
−
9 Căn bậc hai của số phức
z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi
w
2
z
xy b
w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0
w 0≠ có đúng hai căn bậc hai đối nhau
Hai căn bậc hai của a > 0 là ± a
Hai căn bậc hai của a < 0 là ± −a i
10 Phương trình bậc hai
( )
2
0 *
Az +Bz C+ = (A, B, C là các số phức cho trước, A≠0)
• Công thức nghiệm giống phương trình bậc 2 trên tập số thực
• Nếu z0∈C là một nghiệm của (*) thì z0 cũng là nghiệm của (*)
11 Dạng lượng giác của số phức
z r cos= ( ϕ+isinϕ) (r>0) là dạng lượng giác của số phức z = a + bi
0
sin
a
r b r
ϕ ϕ
ϕ là một acgumen của z, ϕ =(Ox OM, )
z = ⇔ =1 z cosϕ+isinϕ
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
• Dạng tìm phần thực, phần ảo của một số phức
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức i + (2 – 4i) – (3 – 2i)
Giải:
Ta có: i + (2 – 4i) – (3 – 2i) = ( 0 + 2) + (1- 4)i + (-3 + 2i) = (2 – 3) + (-3 + 2)i = -1 – i
Vậy số phức đã cho có phần thực là – 1, phần ảo là – 1
Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo của số phức ( ) ( )3 3
1 i 2i
Giải:
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 i 2i 2 10i
Trang 3Vậy số phức đã cho có phần thực là 2, phần ảo là 10.
Bài 3: (A10) Tìm phần ảo của số phức z, biết ( ) (2 )
Giải:
Ta có: z= +(1 2 2 1i)( − 2i) = +5 2i⇒ = −z 5 2i
Phần ảo của số phức z bằng: − 2
Bài 4: (CD10) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( )2
2 3− i z+ +4 i z= − +1 3i Tìm phần thực và phần ảo của z
Giải:
Gọi z = a + bi (a R b R∈ , ∈ ) Đẳng thức đã cho trở thành 6a + 4b -2(a + b)i = 8 -6i
Vậy số phức z đã cho có phần thực là -2, phần ảo là 5
Bài 5: (CDA09) Cho số phức z thỏa mãn ( ) (2 ) ( )
1+i 2−i z= + + +8 i 1 2i z Tìm phần thực và phần ảo của z
Ta có: ( ) (2 ) ( )
1+i 2−i z= + + +8 i 1 2i z
(8 ) (1 2 )
8
2 3
i
i
+
+
Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là -3
• Dạng tìm môđun của số phức
Bài 1: (A10) Cho số phức z thỏa mãn ( )3
1
i z
i
−
=
− Tìm môđun của số phức z iz+
Giải:
Ta có: ( )3
1− 3i = −8
1
i
−
−
Vậy z iz+ =8 2
• Dạng tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 1: (D10) Tìm số phức z thỏa mãn: z = 2 và z2 là số thuần ảo
Giải:
Gọi z = a + bi (a R b R∈ , ∈ ), ta có: z= a2+b2 và 2 2 2
2
z =a − +b abi
Trang 4Yêu cầu bài toán tỏa mãn khi và chỉ khi:
1
b
Vậy các số phức cần tìm là: 1 + i; 1 – i; -1 + i; -1 – i
Bài 2: (B09) Tìm số phức z thỏa mãn: z− + =(2 i) 10 và z z. =25.
Giải:
Gọi z = a + bi (a R b R∈ , ∈ ),
Ta có: z− + = − + −(2 i) (a 2) (b 1 ;)i
Từ giả thiết ta có: z− + =(2 i) 10 ( ) (2 )2 ( )
và z z =25 ⇔a2+b2 =25 ( )2
Giải hệ (1) và (2) ta được 3 5
Vậy các số phức cần tìm là: z= + 3 4i hoặc z= 5
Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: z2+ =z 0
Giải:
Gọi z = x + yi (x R y R∈ , ∈ ), khi đó
⇔(x2−y2+ x2+y2)+2xyi=0
xy
⇔
=
2
2
0
0 0 0
x
y
=
0
0
x
y
=
0 0 1 0
x y y y
=
⇔
=
0, 0
0, 1
0, 0
Vậy các số phức cần tìm là: z=0;z i z= ; = −i
• Giải phương trình trên tập hợp các số phức
Bài 1: (CD10) Giải phương trình z2− +(1 i z) + + =6 3i 0 trên tập hợp các số phức.
Giải:
Phương trình có biệt thức ( )2 ( )
1 i 4 6 3i 24 10i
1 5i
= −
Phương trình có hai nghiệm là: z= − 1 2i và z= 3 i
Bài 2: (A09) Gọi z1 và z2là hai nghiệm phức của phương trình z2+2z+ =10 0 Tính giá trị của biểu thức A= z12+ z22
Trang 5Ta có: ∆ =22−4.10= − =36 36i2
Phương trình có hai nghiệm là: z1= − +1 3i và z2 = − −1 3 i
Vậy A= z12+ z2 2 =20
Bài 3: (CDA09) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: 4z 3 7i z 2i
z i
− + = −
−
Giải:
Điều kiện: z≠ −1
Phương trình đã cho tương đương với 2 ( )
Phương trình có biệt thức ( )2 ( )
4 3i 4 1 7i 3 4i
2 i
= −
Phương trình có hai nghiệm là: z= +1 2i và z= +3 i
• Dạng tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức (Quỹ tích)
Bài 1: (D09) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả
mãn điều kiện z− −(3 4i) =2.
Giải:
Gọi z = x + yi (x R y R∈ , ∈ ), ta có: z− + = − + +3 4i (x 3) ( y 4)i
Từ giả thiết ta có: ( ) (2 )2 ( ) (2 )2
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3, -4), bán kính R = 2
Bài 2: (B10) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa
mãn: z i− = +(1 i z)
Giải:
Gọi z = x + yi (x R y R∈ , ∈ ), ta có:
(1 )
z i− = +i z ⇔ + −x (y 1)i = (x y− + +) (x y i)
2 ( ) (2 ) (2 )2
1
⇔ x2+y2 +2y− =1 0
2 ( )2
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0, -1), bán kính R = 2