LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2011- HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Bài 1 : Giải hệ phương trình :
x y
69
HD :
a) 2 7 (1)
x y
Từ (1) y=2x-7 thay vào (2) ta được : (3x-7)(-x+5)=4 -3x2+22x-39=0
Khi đó : x=3 , y=-1 hoặc x=13
3 , y=
5 3
b) Biến đổi hệ : 2 2 10 2
69
(là hệ đối xứng loại (I)) Đặt ẩn phụ : S=x+y, P=xy và S2-4P 0
Ta có hệ đơn giản hơn :
2
69 (2)
Từ (2) P=69-S thay vào (1) ta được : S2-2(69-S)=S+102 S2+S-240 =0 S=15, S=-16
i) S=15, P=54 => hệ có nghiệm : (x=9, y=6) hoặc (x=6, y=9)
ii) S=-16,P=85 ( không thõa mãn)
Bài 2 : Giải hệ phương trình
a)
2
10
xy y
HD
a)
y x y hệ đối xứng loại (II)
Trừ theo vế của hai phương trình ta được : 3(x2-y2)=7(x-y) (x-y)(3x+3y-7)=0
x-y=0 3x+3y-7=0
i) x=y , hệ có nghiệm : x=y=0 , x=y=-7
ii) 3x+3y-7=0 => 7 3
3
y Khi đó : x2 2
9x 21x980 ( vô nghiệm )
b)
2
10
xy y ( hệ đẳng cấp )
i) x=0 , hoặc y=0 không thõa mãn
ii) x, y khác 0 , đặt y=tx , hệ phương trình trở thành :
2 2 2
10
tx t x
2
t t
t t x
Ta có : 3t2+t-2=0 t=-1, t=2/3
t=-1 không thõa mãn
t=2/3 ta có (x=3, y=2) , (x=-3, y=-2)
Bài 3 : Giải hệ phương trình :
a)
2
2
3
HD :
Trang 2a)
2
Từ phương trình (2) x2 (4y3)x4y2 6y 2 0 , (4y3)24(4y26y2) 1
(2) x 2y 1,x 2y2
i) x 2y1, ( 2 y 1)y y2 3y1 0
(x 3 2 2 ,y 1 2 ), (x 3 2 2 , y 1 2 )
ii) x 2y 2, ( 2 y 2)y y2 3y1 0
b)
2
3
Cọng theo vế ta được : 2x2+ y2+3xy+9=3+7x+5y
y2 + (3x-5)y +2x2-7x+6=0
(3 5) 4(2 7 6) ( 1)
x x x x
Khi đó : y= -x+2 , y=-2x+3
i) y=- x+2 , x2 +(2-x)2 +x(2-x)=3 x=y=1
ii) y=-2x+3 , x2 +(3-2x)2+x(3-2x)=3 (x=y=1),( x=3, y=-1 )
Vậy nghiệm của hệ (1,1) ,(3,-1)
Bài 3 : Giải hệ phương trình
a)
2
2
1
4 1
4
HD :
a)
2
2
2
3 (1 2 ) 0 (1) (2 1) (2)
Thay (2) vào (1) ta được : x(2y 1)2 3x2(12 )y 0 2
3x (12 )(2y y 4) 0
x=0, y=2, y=1
2 i) x=0=> y=0
ii) y=2=> x2-3x+2=0=> x=1,x=2
iii) y=1
2 => x
2 +1
2 =0 vô nghiệm
b)
1
4 1
4
Cộng theo vế ta được : 4 3 1 4 3 1
2
2
1 0 2 1 0 2
x y
Trang 3Ta có : x,y là nghiệm của phương trình : 2 1
0 2
1
4 1
4
x y 3
=> Nghiệm của hệ : 1 3 1 3
,
Bài 4 : Giải hệ phương trình
a)
5 4 5 (2 1)
4
1 13
HD :
a)
5 4 5 (2 1)
4
5
4 5
4
Đặt : u=u x2 y v, xy
Hệ phương trình trở thành :
2
5 4 5 4
Trừ theo vế ta được : u2 uvu 0 u 0,u v1
i) u x2 y 0 , 5
4
v xy => hệ có nghiệm ( 3 5 3 25
,
ii) u v 1
,
u x y v xy => hệ có nghiệm (x=1,y= 3
2
1 13
Ta có y=0 không thõa mãn , biến đổi hệ phương trình :
2
2
1 7 1 13
x x
x x
,
hệ phương trình trở thành : 2 7
13
Cọng theo vế của hệ ta được : u2+u-20=0 u=-5, u=4
x
1
3
Trang 4Bài 3 : Giải hệ phương trình
a)
3
3
(A.10) )
HD:
a)
3
(1)
( x,y khác 0)
0
x y (x y)(1 1 ) 0
xy y x y, 1
x
i) x=y
Ta có x3-2x+1=0 (x-1)(x2+x-1)=0 x=1 , x= 1 5
2
Nghiệm của hệ : (x=1,y=1) , (x= 1 5
2
,y= 1 5
2
) , (x= 1 5
2
, y= 1 5
2
)
ii) 1
y
x Ta có :
1
x
x
4
2 0
Đặt f(x)=x4+x+2 , f’(x)=4x3+1 , f’(x)=0 x=
3
1 4
3
1
4
Trong trường hợp này vô nghiệm
b)
3
,
Từ (1) ((2 )x 2 1)2x ( 52y2 1) 52y g(2 )x g( 52 ),y g t( ) t t( 2 1) Hàm số g(t) xác định trên R , g’(t) =3t2+1>0 => g(t) đồng biến trên R
Khi đó : 52y 2x x 0, 52y 4x 2
2
5 4 0,
2
Thay vào : (2) ta được :
2 2
2
x
Xét hàm số
2 2
2
x
( ) 0
2
h , x thuộc (0,3/4)
2
x
x
Khi đó hệ có nghiệm duy nhất (x=1/2 , y=2)
b)
Bài tập tương tự
Giải hệ phương trình :
1)
1 7
1 5
2
Trang 53)
2
2
1
xy
4)
x x y x y
x y x xy
7)
9)
y y
y
x
y y
x
x
3
2
2
3
2
9)
2
Trang 6Hướng dẫn bài tập
1)
1 7
1 5
2
2
1 7 1 5
x x
x x
2) ĐK : y 0
hệ
2
2
1
y x
đưa hệ về dạng
2
2
2
2
1 1
0 2
xy
2
4) Đặt u=x+y, v=xy-1
Hệ phương trình trở thành : u2+v2+10z2=2010 , uv+140z=1985
Ta có (u-v)2= .=-10(z-14)2 => z=14
5) 2x2 x2 y2 4y x2 y2 2y x 2 2 0
6) Biến đổi hệ tương đương với
x y x xy
*Đặt ẩn phụ
2
3
x xy u
x y v
, ta được hệ
2
1 1
v u
*Giải hệ trên được nghiệm (u;v) là (1;0) và (-2;-3)
*Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0)
7) Dễ thấy y 0, ta có:
2
2
1
4
x
y
y
Đặt
2
1
,
x
y
8)
2 0
Trang 79) Nhận xét (0 ; 0) là một nghiệm của hệ phương trình
Xét y0, cho hai vế hệ phương trình cho y3 ta được hê:
(2)
(1)
2 2
2
2 3
1 1
1 2
y y
x
y y
x y
x
thay (2) vào (1) ta được 2 0
2 3
y
x y
x
Đặt t = t3t2 20(t1)(t2 2t2)0t1
y
x
Với t = - 1 => y = - x ta được : x3 – x3 = - 2x => x = 0 và y = 0 (loại)
Vậy hệ phương chỉ có một nghiêm (0;0)