LUYỆN THI ĐẠI SỐ 2010-2011

MỤC LỤC Phần một: ĐẠI SỐ Bài 1: Phương trình và bất phương trình... Có nghiệm duy nhất b.. Có hainghiệm phân biệt HD: a Nhận thấy x0 là nghiệm thì x0 cũnglà nghiệm... Có hai nghiệm ph

MỤC LỤC Phần một: ĐẠI SỐ

Bài 1: Phương trình và bất phương trình 3

Bài 2 :Tam thức bậc hai 6

Bài 3 : Phương trình – bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 10

Bài 4: Phương trình vô tỉ 11

Bài 5: Bất phương trình vô tỉ 15

Bài 6 : Phương trình trình mũ .17

Bài 7: Bất phương trình mũ 20

Bài 8 Phương trình logarit 21

Bài 9 : Bất phương trình logarit 23

Bài 10 : Hệ phương trình 25

Bài 11: Hệ phương trình mũ và logarit 33

Bài 12 : Bất đẳng thức 37

Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số 41

Phần hai : LƯỢNG GIÁC Bài 1 Các công thức lượng giác 42

Bài 2 :Phương trình lượng giác 46

Bài 3:.Phương trình bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác 49

Bài 4 Phương trình bậc nhất đối vớis inx và cosx 51

Bài 5: Phương trình đẳng cấp, thuần nhất

bậc hai ,bậc ba đối với sinx và cosx 53

Bài 6 : Phương trình đối xứng 54

Phần ba : TÍCH PHÂN

Bài 1 : Đạo hàm 56

Bài 2 :Nguyên hàm 57

Bài 3 Nguyên hàm của hàm hữu tỉ 60

Bài 4 Nguyên hàm của hàm lượng giác 62

Bài 5 :Tích phân xác định 64

Bài 6: Tích phân bằng phương pháp 67

đổi biến số

Bài 7: Tích phân bằng phương pháp 74

từng phần

Bài 7: Chứng minh đẳng thức tích phân 76

Bài 8 Diện tích hình phẳng 77

Bài 9 : Thể tích vật thể tròn xoay 80

Phần bốn: SỐ PHỨC 81

Phần năm: BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC VÀ ĐẠI SỐ Bài tập lượng giác 87

Bài tập đại số 90

Bài tập tích phân 92

I/ Giải phương trình bậc ba: ax 3 +bx 2 +cx+d = 0

Ví dụ:

1/ x3–3x2+5x = 0 2/ x3-5x2+2x+2 = 0 3/ 2x3-7x2 +9 = 0 4/ Cho đa thức:P(x)=x3−2mx2 +(2m2 −1)x+m(1−m2)a) Tính P(m)

b) Tìm m để pt P(x)= 0 có 3 nghiệm dương phân biệtII/ Phương trình bậc bốn:

1/ Phương trình trùng phương:ax4 +bx2 +c=0

Cách giải: đặt t = x2 , điều kiện: t ≥0

2/ Phương trình phản thương loại 1:

ax4+bx3 +cx2 +bx+a=0 (a≠0)

Cách giải :phương pháp nhẩm nghiệm

+Bước 1 : nhẩm nghiệm x

0 (thường là ước của d) + Bước2: chia ax3+bx2+cx+d cho x- x

0 , đưa về phương trình dạng tích (x- x

0 )( ax2+ Bx+ C) = 0

Chia đa thức theo sơ đồ hocner

abcdx0aBC0 Với B = a x0 + b

C = B x0 +c

Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG

TRÌNH

+ x≠0: chia hai vế cho x2 , ta được

2 + + + 1+ 12 =0 (a≠0)

x

a x b c bx ax

( 2 + 12)+ ( +1)+c=0

x x b x x

Đặt t =

x

x+1, ĐK t ≥2 Ta được at2 +bt+c−2a=0 3/ Phương trình phản thương loại 2:

Cách giải: tương tự như phương trình bậc ba:

tìm nghiệm x0 rồi chia vế trái cho (x – x0)

Cách giải:

+ x = 0 : không là nghiệm

+ : chia hai vế cho x2 , ta được

Đặt t = , Điều kiện

Ta được

b) Tìm m để pt P(x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt

II/ Giải bất phương trình

Lưu ý: Dấu của đa thưc bậc bất kỳ được xét như sau : khoảng

ngoài cùng bên phải luôn cùng dấu với a, qua nghiệm đơn đổi dấu qua

nghiệm kép không đổi dấu

Ví dụ : giải bất phương trình

3(

32

2

≥++

−

x x x x

7/ x3-5x2+8x-4 ≥0

Cách giải bất phương trình dạng f(x) 0

- Giải phương trình f(x) = 0

Xét dấu biểu thức f(x)

Chọn khoảng nghiệm thích hợp

I/ Tóm tắt giáo khoa

1/Định lý Viet:

a.Định lý thuận: cho phươnh trình :ax2 + bx + c = 0 có

hai nghiệm x1, x2 Ta có

=

a

c x x P

a

b x

x S

2 1

2 1

b Định lý viet đảo :Nếu biết

=

a

c y x P

a

b y x S

thì x, y là nghiệm phương trình X2– SX+ P = 0 Hệ quả: Dấu các nghiệm số của phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai có hai nghiệm

Trái dấu ⇔ P<0 Cùng dấu

2/Tam thức bâc hai f(x) = ax2 +bx+c (a≠0)

a Định lý Thuận về dấu của tam thức bậc hai:

∆< 0 thì af(x) > 0 với mọi x

∆= 0 thì af(x) > 0 với mọi x

∆> khi đó f(x) có hai nghiệm và

af(x) > 0 với mọi x ngoài [x1; x2]

af(x) < 0 với x1 <x< x2

b Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai: Nếu tồn tại

αsố sao cho a.f(α) < 0 thì phương trình có hai

nghiêm phân biệt và số α nằm trong khoảng hai nghiệm đó và x1 <x<x2

c Điều kiện tam thức không đổi dấu

2

0)(

02

1

S

af x

2

0)(

02

1

S

af x

x

+ ( ) ( ) 0

2 1

e Điều kiện f(x) có nghiệm thoả x > α

TH 1: f(x) có nghiệm thoả x1 <α <x2⇔ f(α)<0

TH2: f(x) có nghiệm thoả

2

0)(

02

1

S

af x

2

0)(2

af x

x

(làm tương tự cho trường hợp α< x và khi xảy ra dấu bằng)

IICÁC DẠNG BÀI TẬP Tìm m để các phương trình sau

có nghiệm thỏa điều kiêïn:

1/(m+2)x2-2(m+8)x+5(m-2) = 0 , x1 <−1 x< 2

HD: Đặt f(x) = (m+2)x2-2(m+8)x+5(m-2)

x1 <−1 x< 2 ⇔ (m + 2) f(-1) < 0

12

0)88

0)1(

0)1(.1

f a x

x

3/ (m+1)x2-2(m-1)x+m2+4m-5 = 0 , 2≤x1 <x2

022

0)2(

0'2

x

4/ 3x2-2(m+5)x+m2-4m+15 = 0 , x1< x<3

032

0)3(

0

'3

x

5/ x2-2mx+3m-2 = 0 , 1<x1 <2<x2

0)2(

0)1(.2

f a x

m m

S

f a

f

a x

01

221

0)2(

0)1(

0'2

4)2

1

(

02

0

2 2

11

4521

11

02

2

1

012

m

m m

m m

m m

m

m

p

8/ x2–(m+5)x–m+6 = 0 có hai nghiệm thoả 2x1 + 3x 2 = 13

HD: Pt có hai nghiệm phân biệt khi: ∆>0

Theo vi-et:  1.+ =2 =− ++65

m x

x

m x x

Giải hệ 3 hương trình 3 ẩn tìm được m và so với điều kiện pt có 2 nghiệm phân biệt

9/ mx2 + (2m-1)x + m-3 = 0, có 2 nghiệm thoả 1 1 7

2 1

=+

x x

+ Tính chất 6: dấu băng

xảy ra khi và chỉ khi A , B cùng dấu

Bài 3 : PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

x x−2 =m (dùng phương pháp đồ thị) ĐS:m< 0, m > 1

II BÀI TẬP

I TÓM TẮT GIÁO KHOA:

Khi giải phương trình vô tỉ ta thường gặp một số cách sau:

- Bình phương hai vế

- Đặt ẩn phụ

- Đưa về phương trình bậc hai ẩn t, x là tham số

- Đưa vệ phương trình ẩn x, t

- Đư avề hệ phương trình ẩn U, V

II.CÁC DẠNG BÀI TẬP:

- Bình phương hai vế

1/ x - 2x+7 =4 2/ 2x+1=2+ x−3

Bài 4 : phương trình vô tỉ

+ +

7/ 2x−x2 + 6x2 −12x+7 =0 ĐS : x=1±2 2 8/ 3 x2 +3x =(x+5)(2−x) ĐS: x = 1, x= –4 9/(x+3)(1-x)+5 x2 +2x−7 =0ĐS:x=–4, x=2

2

31

21

- Đưa về phương trình bậc hai ẩn t, x là tham số

Lưu ý : cũng có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ t=

23/ /23 3x−2+3 6−5x−8=0(x∈R) (KA- 2009) (HD: Đặt hai ẩn phụ hoặc đặt t = 6−5x, ĐS : x = – 2) 24/ 2 x+2+2 x+1− x+1=4 (KD-2005) (HD: Đặt t = x+1, ĐS : x = 3 )

x

y x y

1

;23

Tìm m để các pt sau có nghiệm thỏa điều kiện1/ x2 −2x−m2 = x−1−3 có nghiệm

( Đặtt = x−1+ 3−x, ĐK: 2≤t ≤2,ĐS:

2

1≤m≤ ) 6/ x4 +4x+m +4 x4 +4x+m =6có nghiệm

7/ 1−x2 +23 1−x2 =m Tìm m để phương trình

a Có nghiệm duy nhất

b Có hainghiệm phân biệt

HD: a) Nhận thấy x0 là nghiệm thì x0 cũnglà nghiệm Suy ra

4 2

10/ 2x2 −2x−3=mx+m có nghiệm x≠−1

11/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt

122

Bài tập làm thêm:

1/ x+3−3 x =1 (HD:Đặt 2 ẩn phụ; hoặc đặt t =3 x) 2/ Cho pt 1+x + 8−x + (1+x)(8−x) =a

+

−+

−

+

x

x x

9/

12

13

2

2

−+

=

+

x x

4

9≤ ≤

−

I Bất phương trình vô tỉ cơ bản

Bài 5: BẤT phương trình vô

Tỉ

+ + + + +

Giải các bất phương trình sau :

3

53

−

−

x

x x

x ĐS: x > 5 5/

3

733

−

−

x

x x

x

x

(KA-04), ĐSx>10− 346/ 3+x + 6−x− (3+x)(6−x) ≤3 ĐS: −3≤ x≤67/ (x+1)(x+4) 5 x2 +5x+28 ĐS: –9 < x <4

2

2)

2(3)2)(

−

x

x x

x

55

−

x

ĐS:

4

51

I.TÓM TẮT GIÁO KHOA:

1/ Công thức luỹ thừa

Bài 6 : PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH MŨ

(n số a)

,

2/ Phương trình mũ cơ bản

+ Chú ý: Khi giải phương trình mũ ta cũng thường gặp các dạng sau:

- Đưa về cùng một cơ số

- Phương pháp đặt ẩn phụ

- Phương pháp hàm số

- phương pháp logrit hoá

- Phương trình dạng A.a2x +B( )a.b x +C.b2x =0 thì

chia hai vế cho b2x ta được

-Phương trình α.a f(x) +β.b f(x) =c với a.b = 1 ; Đặt

III.CÁC DẠNG BÀI TẬP :

- Đưa về cùng một cơ số

1/ ( 2)X2− 1 =1 2/ ( 2

85242)

12

.6

23x − x − 3(x−1) + x =

- Phương pháp hàm số : Giải p trình f(x) = g(x) (*) Bước1: Tìm một nghiệm của phương trình x = c

Bước2: Chứng minh :

y= f(x) là hàm số luôn đồng biến

y= g(x) là hàm số luôn nghịch biến hoặc là hàm số hằng

Bước 3: Suy ra phương trình (*) có nhiều nhất một

nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : x = c

20/ 5x +12x =13x

21/ 1+( 3)x =2x

22/ 3x+x-4 = 0

Dạng :sử dụng tính chất đồ thị lồi, chứng minh

phương trình có nhiều nhất 2 nghiệm

a Có hai nghiệm phân biệt

b Có hai nghiệm phân biệt thỏa x1+x2 = 3 2/ m9x+3(m-1) 3x-5m+2 = 0 có hai nghiệm trái dấu 3/ (3+ 8)x +m(3− 8)x =6 Tìm m để phương trình

53

b) Biện luận theo a số nghiệm của pt

Bất phương trình mũ cơ bản

Giải các bất phương trình mũ sau

3 3

1

)310()

3

− +

x

(Học viện giao thông vận tải năm 1998) 6/

8

12

ax > ab x < b

ax > c x < log

ac +

Bài 8 PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1/Định nghĩa logarit : cho a N > 0 Ta có :

5/ Phương trình logarit cơ bản

Bài tập: Giải các phương trình logarit sau

+ Phương pháp đưa về cùng cơ số:

10/ 3

8 2

log

)1(

log)1(

log)1(

log

2 4 2

2 4 2

2 2

2

2

+

−+

++

=+

−+

+

+

x x

x x x

x x

x

12/ log log log log 3 6

3

2 2 3

2 log 3 log

x x

19/ log 2 log 6 log 4 2

3.2

322

x x x

x

x x

21/ log (2 1) log (2 1)2 4

1

2 1

2x− x +x− + x+ x− = ( Khối A 2008)

Tìm m để các phương trình sau có nghiệm thỏa điều kiện

1/ lg(x2+mx) – lg(x-3) = 0 có nghiệm

2/ ( 1)log ( 2) ( 5)log ( 2) 1 0

2 1 2

b Tìm m để (*) có ít nhất 1 nghiệm x∈[ ]1,3 3 (KA-2002)Bài 9 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Bất phương trình logairit cơ bản

4/

4

316

13log)

13

(

log

4 1

ax > c x > ac + Cơ số 0 < a <1 log

ax > logab x <b log

ax > c 0 < x < ac

13/5log3x−x2 <1 (ĐH ngân hàng TPHCM 1998)14/log 5 6 log 2 12log ( 3)

3

1 3

32

log

1

3 1 2

log

2 6 7

( Khối B 2008)17/ log 3 2 0

( Khối D 2008)

I HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1 Định nghĩa : là hệ có dạng:







=+ =

+

'''x b y c a

c by ax

Trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số thực cho trước vàa, b, a’, b’ không đồng thời bằng không

2 Cách giải: Dùng định thức Crame

Định thức : D = a a ' b b' ; D x = c c ' b b' ;

''log

.log1log

D x

y x

* Nếu D=D x =D y =0thì hệ vô số nghiệm

(b b

ax c y

R x

thì hệ vô nghiệm

Ví du1:ï giải các hệ phương trình sau:

=

−

13

2

22

115

325

163

243

y x

y x

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình

1

2

m my x

m y mx

a) Giải và biện luận hệ theo tham số m

b) Giả sử hệ có nghiệm (x, y) Tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

c) Tìm m nguyên để hệ có nghiệm (x,y) với x, y là số nguyên

Vídụ 3: Cho hệ phương trình







=+

−++ x −m = y − m m

m y x

m

2)1()3(

233)12(a) Tìm m để hệ có nghiệm

b) Tìm m để m có nghiệm duy nhất thoả x 2≥ y

c) Tìm m để hệ có ng duy nhất (x, y) sao cho P= x2 +3y2 nhỏ nhất ( dùng phương pháp phương trình)

Bài tập : Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình

2

2

m

m D

D y

m

m D

D x

.y< ⇔m<− ∨m>

x

I HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

1.Đa thức đẳng cấp bậc n hai ẩn x vày có dạng

2.Hệ phương trình đẳng cấp:

Hệ phương trình đẳng cấp có dạng :vế trái là những đa thức cùng bậc,vế phải là những đa thức cùng bậc,bậc vế trái và phải không nhất thiết cùng bậc

3.Cách giải:

+ Khi x = 0 :giải hệ

+ Khi x≠0 đặt y = kx thay vào hệ giải tìm t,y,x

* Chú ý : đối với hệ đẳng cấp bậc hai ta có thể giải bằng phương pháp thế ,bằng cách khử y sau đó suy ra y thế 2

vào được pt trùng phương

4.Các bài tập:

+

=+

+

173

2

112

3

2 2

2 2

y xy

x

y xy

−

−

=+

−

133

3

13

2 2

2 2

y xy x

y xy x

+

−

=+

−

72

2

3

14

2

2 2

2 2

y xy

x

y xy

43

2 2

2

y xy x

y xy

−

233

2

12 2

2 2

y xy

x

y xy

=

+

7223

62 2

2 2

y xy x

x y xy

73

=

−

y y

x x

x y

x y

10

32

2 2

2 2

II Hệ phương trình đối xứng loại I

1 Định nghĩa : Là hệ phương trình không thay đổi khi ta thay x bởi y và y bởi x

2 Cách giải :

* Chú ý :tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm duy nhất Ta có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Điều kiện cần

-Nhận xét rằng nếu có nghiệm (xo,yo ) thì (yo, xo) cũng là nghiệm của hệ,do đó hệ có nghiệm duy nhất xo = yo (*)

- Thay (*) vào hệ tìm được giá trị tham số.Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất

Bước 2 Điều kiện đủ (thử lại)

3.Các bài tập :

=+

+

7

52

=+

+

8

223

3 y x

xy y x

+ Đặt S = x+y , P = x.y

+ Giải hệ tìm S và P

+ x , y là nghiệm của phương trình

X2-SX+P = 0

* Cần nhớ :

Hệ có nghiệm khi

Hệ có nghiệm duy nhất khi:

2 y xy

x

y x

=

+35

303

3

2 2

y x

xy y x

3

y x

xy y

+

=+

+

m m xy

y

x

m xy y

x

2 2 2

12

a Chứng minh rằng với moi giá trị của m hệ phương trìnhsau luôn có nghiệm

b.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

 .Gọi (x,y) là

nghiệm của hệ Xác định a để tích xy nhỏ nhất

11/ Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có

=+++

101511

511

3

3 3

y

y x x

y

y x

x

(KD-2007)

HD : Đặt u= x+1va v= y+1

v v

u u

ĐS : 24

+

2)1()1(

42

2

y y y

x

x

y x y

x

(Đề dự trữ A-2005)

HD : Nhân phân phối pt (2)

III

HỆ ĐỐI XỨNG LOAI II

1.Định nghĩa : là hệ phương trình mà khi thay x bởi y và y bởi x thì phương trình này trở thành phương trình kia củahệ 2.Cách giải :lấy phương trình (1) trừ phương trình (2)

* Chú ý : tìm tham số để hệ có nghiệm duy nhất cũng tương tự như hệ đối xứng loại I

3.Các bài tập

y x x

2

23

22

x

y y

y

x x

=+

2

232

32

y x y

x y x

y y x

12

12

2 2

y x x

2

23

−

=++

−

x y

y y

y x

x x

21

212

3

2 3

11

3

x y

y

y x

=

−++

321

321

x y

y x

x

(KA-2003) HD : Dạng f(x) = f(y)

ĐS : (1 ; 1), − + − +2 

5 1

; 2

5 1

; − + − +2 

5 1

; 2

5 1

VI.GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP

THẾ VÀ ĐẶT ẨN PHỤ

1/  + + = ( + )

=

+

24)

=++

−

3

0122 2

2 2

xy y

x

y y

=+

y x y x

=+

+

32

53

2

2 2 2

y x

y y x x

−

+

38923

1432 2

2 2

y x y x

y x y x

=+

y x y

x y

x

11

2

11

=++

6)

(

5

y

x y x

y

x y

x

(CĐSP Qui nhơn 2001)

HD: Đặt ẩn phụ ĐS: (

2

1

;2

3), (2 ; 1)

−

−

=+

+

)(7

)(192 2

2 2

2

y x y

xy x

y x y

xy x

( ĐH Hàng Hải–2001) HD: Đặt ẩn phụ u = x - y , v = x.y

=

+

1

16 6

4 4

y x

y x

(ĐH TCKT – 2001) HD: Đặt ẩn phụ: S = x2 + y2;P= x2.y2

=

−+

−

−+

32

12

)1(0)2(6)4

(5)2

y x y x

y x y

x y

x

HD: Đặt

y x

y x X

−

+

=2

3(),4

1

;8

3(

−

=++++

4

5)21(

45

2 4

2 3

2

x xy

y x

xy xy y x y

+

y x x

y y x

y x y x xy

2212

+

=+

+

662

922

2

2 2 3 4

x xy x

x y

x x x

Thế

233

2

x x

xy = + −

+

2 2

71

y xy

y x

y x

y x

−+

=

−++

01

5)

(

03)1(

2

2

x y x

y x

y x u

−

=

−++

752

725

y x

y x

(ĐH Nông nghiệp HNI,2000)

15

421

3

y x

y x

=+

35

30

y y x x

x y y x

(ĐH Thái Nguyên 1998) 4/







=+

=

+

4

283

−

=

−+

222

11

x y

x

y x

BÀI 11 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH

MŨ VÀ LOGRIT

3 3

log log3 3

x y

=+

+

=

633

239

2 2

3 log

y x y x

+

=+

)

2(loglog

12

log

)2

3log(

log3

log

3 3

3

2 2

x

y y

x x

x y

(

log

3)532

(

log

2 3

2 3

x y y y

y x x x

x y

2 2

22

−

1)(log)(

log

3

5 3

2

2

y x y

−

+

=

0log.log)(

log

)(loglog

log

2

2 2

2

y x y

x

xy y

+

=

1233

)(24

2

2

2 log

y x y

−

1)23(log)23(log

549

3 5

2 2

y x y

x

y x

x

y x

xy

3

3 3

27 27

27

log4

log3log

log.log3log

Bài tập tự luyện

1 y

y

x x

x y

69

12

1log

y

x

x y

y x

y

x

y

5 5

122

2log

a y

x

a y

=

y x y x

−+

3

54

y x

y x y

x

y x

xy xy

16) ( ) = ( > )

=

0x 642

=+

−

3

15

2

121 log log

2 2

5

2x y

x

y y x

18)  + = = ( > )

+

−

0x 8

110

2log

log

223

log

y x

y x

−0y 64

5,15 ,

2 x

x x

y

y y

1loglog

2

2

x y

x x

log2x 2 y

y x y

26)  ( −= )+ =

−

9log

1log

log2

u

v u v

loglog

y

x y

q

p

30)  − = = ( > )

−

−

0x 2

116

2 2

y x

3

)(log1)(

log

2

2 2

2 2

y xy x

xy y

x

ĐS : (2 ; 2) , (–2 ; –2)

CHUYÊN ĐỀ 1: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TƯƠNG ĐƯƠNG

Bài 1 : cho a,b,c ∈ R Chứng minh rằng

Bài 3: Bất đẳng thức Côsi Cho a≥0,b≥0

Chứng minh rằng a b+ ≥2 ab

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bài 4 : Chứng minh rằng :

3(a2+b2 +1)≥(a+b+1)2 ∀a,b∈R

CHUYÊN ĐỀ 2: CHỨNG MINH BĐT BẰNG CÁCH

ÁP DỤNG BĐT CÔSI

BÀI 12 : BẤT ĐẲNG THỨC

b a

c b a

a b

c b a

b c

c b a

c = + + + = + + +

1

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 4 số ba lần

Bài 3 : Cho a,b,c là 3 số dương Chứng minh rằng

a+ + + + + ≥ + +

92

22

a c c

b a

)1(

c b a c

c b a R b a b

a b

+

⇔

c b a c b

a ( BĐT câu 1/ ) Cách khác tách ra: áp dụng BĐT cosi cho 6 số

+++

+

⇔

a c c b b a c b a

+++

++++

⇔

a c c b b a a c c b b a

4)

2

911

1+ + + + + + ≥+

+

a

c b b

a c c

b a

2

9)111)(

⇔

a b c c b a

⇔

c b a a c c b b

a+ + + + + ≥ + +

92

22

( câu 3)Bài 4 : cho 3 số dương a,b,c Chứng minh các bất đẳng thức

ab a

bc c

ab

2

≥+

b

ca a

bc b

ca a

bc

2

≥

ca+ab ≥2 ca ab =2c

2/ Áp dụng BDT cosi ba lần tương tự như trên:

b a b

a a

b

2

1.2

a c

b c b

+

≥

++

2 2

Bài 5 : Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh

Bài 7 :Cho ,a b≥1.Chứng minh : a b -1+b a− ≤1 ab

Bài 8 :Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác CMR :

Khi nào đẳng thức xảy ra ? (KB 2005)

Bài 11 : Chứng minh các bâùt đẳng thức sau :