Các đề HSG 8

Từ một điểm M tùy ý trên cạnh BC, kẻ đờng vuông góc với BC cắt AB,AC lần lợt tại D và E.. Chứng minh rằng IK đi qua trung điểm của đờng cao AH.. Chứng minh rằng diện tích hình thang MNK

Đề Học sinh giỏi trờng

lớp 8 - thời gian: 90’

Câu 1: Chứng minh (x-3)(x-5)+2 luôn luôn dơng với mọi x ∈ Q

Câu 2: Cho biểu thức M = 4b2c2 - (b2 + c2 –a2)2

a/ Phân tích M thành nhân tử

b/ Cho 3 điểm A,B,C khác nhau với BC = a ; CA = b ; AB = c

Tìm điều kiện về vị trí tơng quan giữa 3 điểm A,B,C để M = 0

Câu 3: Cho y > x > 0 và 2x2 + 2y2 = 5xy

Hãy tính E = x x−+y y

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông cân (Góc A=900) Từ một điểm M tùy ý trên cạnh BC,

kẻ đờng vuông góc với BC cắt AB,AC lần lợt tại D và E Gọi P là trung điểm BD ;Q là trung điểm CE.

a/ nhận dạng tứ giác APMQ

b/ Khi M chuyển động trên cạnh BC thì trung điểm I của đoạn PQ chuyển động trên

đờng nào?

Câu 5: Giải phơng trình

1 2

6 8 6

2 4

2 4

+ +

+ +

x x

x x

= -y2 +4y +1

Đề thi công nhận học sinh giỏi trờng năm 2004 - 2005

lớp 8 Thời gian: 90 phút

Câu 1: Cho biểu thức

A =  − 

−









+

−

−

−

−

−

+

3 2

2 2

2

2

3 :

2

2 4

4 2

2

x x

x x x

x x

x x x

a/ Tìm ĐKXĐ của A và rút gọn biểu thức A

b/ Tìm giá trị của x để A dơng

c/ Tìm giá trị của A trong trờng hợp x−7 = 4

Câu 2: Cho x, y, z là 3 số khác không thỏa mãn









= + +

= + +

2002

1 1 1 1

2002

z y x

z y x

Chứng minh rằng trong 3 số x, y, z tồn tại 2 số đối nhau

Câu 3: Tìm GTLN , GTNN của:

A=

2

3 2

2

2

+

+ +

x

x x

Câu 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn BD và CE là 2 đờng cao cắt nhau tại H

Chứng minh rằng.

a/ HD HB = HE H C

b/ ∆HDE đồng dạng với ∆HCB

c/ BH BD + CH CE = BC2

Đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2000 - 2001

Câu 1: Phân tích các đa thức thành nhân tử

a/ (x2 + x) (x2 + x + 1) – 2

b/ x3 + y3 + z3 – 3xyz

Câu 2: Cho ab 7 Chứng minh (a3 – b3)  7

Câu 3: Cho biết 1+1+1 =2

c b

a và a + b +c =a.b.c.

Chứng minh 1 + 1 + 1 =2

Câu 4: Biết x;y;m;n là các so nguyên thỏa nãn điều kiện: x +y = m + n.

Chứng minh rằng x2 + y2 + m2 +n2 = ( x+y)2 + (x-m)2+ (x-n)2

Câu 5: Cho tam giác ABC gọi O là giao điểm 3 đờng phân giác trong Đờng thẳng qua

O và vuông góc với CO cắt CA tại M và CB tại N

a/ Chứng minh góc AOB = 900 + góc C/2

b/ Chứng minh AM/BN = (AO /BO)2

Đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2001 - 2002

Lớp 8 –thời gian 150’

C

âu 1: Tính S= ab+cd Biết a2+b2=c2+d2=2002 và ac+bd=0

Câu 2: Cho A=

x x

x x x

−

+

−

3

2

a)Rút gọn biểu thức A

b)Tìm x để A=0

c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

Câu 3: Phân tích các đa thức thành nhân tử

a) a4+8a3+14a2-8a-15

b) x2-y2-4x+4

Câu4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A= x2 + xy + y2 -3x - 3y + 2002

Câu 5: Cho tam giác vuông ABC(Aˆ=900 ) vẽ đờng cao AH vẽ các đờng vuông góc HI tới cạnh AB và HK tới cạnh AC Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BH vàCH Chứng minh rằng IK đi qua trung điểm của đờng cao AH.

Chứng minh rằng tứ giác MNKI là hình thang vuông.

Chứng minh rằng diện tích hình thang MNKI = nữa diện tích ∆ABC.

Đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2002 - 2003

Lớp 8 –thời gian 150’ Câu1: Cho A=

2 2

1 ) (

2 4 4 2

2 2 2

+ + +

+

− +

m n n m

m n n mn

a) Rút gọn A

b) Chứng minh A>0 Với giá trị nào của m thì A lớn nhất.

Câu2: Tính tổng a1997 + b1997 + c1997 Biết a + b + c = 0 và a3 + b3 + c3 =0 với a, b, c ∈Q

Câu3: GPT: 8x3 - (4x+3)3 + (2x+3)3 =0

Câu4: Tổng các chữ số hàng đơn vị và hàng trăm của một số có 3 chữ số =16 Nếu viết các chữ số ấy theo thứ tự ngợc lại thì đợc số nhỏ hơn số đã cho là 198 đơn vị Biết rằng

số đó  9 Tìm số đó.

Câu5: Cho hình thang KLMN (KN LM ).Gọi E là giao điểm hai đờng chéo Qua E kẻ

đờng thẳng song song với LM cắt LK ở H và MN ở F Chứng minh

a) EH = EF;

b)

LM KN

EF

1 1

1

+

=

Đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2003 - 2004

Lớp 8 –thời gian 150’

Câu1: Cho A =

2 5 4

6 9 6

2

2 3

2 3 4

+ + +

−

− + +

a a a

a a a a

a)Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị nguyên của a để A có giá trị nguyên

Câu2: Cho a, b, c,d thoả mãn a + b + c + d = 0

Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c+ d)(ab- cd)

M= 2 x − 3908 + x − 3958

c) Tìm GTLN của biểu thức N =

3 2

1

2

3 2

1

2

3 2

1

2

c Biết a ,b ,c là các số dơng thoả mãn điều kiện a.b.c=1.

Câu4: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x4-x2+2x+2=y2

Câu5: Gọi M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh AD, BC của hcn ABCD Trên tia

đối của tia DC lấy điểm P bất kì Hai đờng thẳng AC, PM cắt nhau tại Q Chứng minh rằng: a) AC, BD, MN cùng đi qua một điểm

b)Góc QNM =Góc MNP

Đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2004 - 2005

Lớp 8 –thời gian 150’

Câu 1: Tính a) 22005 + 22005 + 22005 + 22005 + 22005 + 22005 + 22005 + 22005 = 2x

b) x−3 =9

Câu 2: Cho biểu thức: A =

1

12 3 : ) 3

1 1

3 3

2

3 2

−

+ +

+

−

−

+

−

− +

−

x

x x

x x

x x

x

x

a)Rút gọn biểu thức A

b)Tìm ĐKXĐ của biểu thức A

c) Tìm những giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

Câu 3: Tìm những giá trị nguyên của x để đa thức f(x) = x3 – 3x2 – 3x - 1 đa thức g(x) = x2+ x +1

Câu 4: Cho tam giác ABC có các đờng cao BB1, CC1 và góc A lớn nhất Chứng minh rằng: BA.BC1 + CA.CB1 = BC2.

Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB Song song với CD ) Biết AB = 2,5 cm; AD = 3,5 cm

BD = 5 cm và góc DAB = góc DBC

a) Chứng minh ∆ADB đồng dạng ∆BCD.

b) Tính độ dài các cạnh BC và CD

c) Tính tỉ số diện tích hai tam giác ∆ADB và ∆BCD.

Sở Giáo dục và Đào tạo

Nghệ An

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 trờng THPT chuyên phan bội châu

Năm học 2008-2009

h

ớng dẫn chấm và biểu điểm môn toán

Đề chính thức

(Hớng dẫn và biểu điểm chấm này gồm có 04 trang)

Điều kiện: 1 ≤ x, y ≤ 9 và x, y nguyên 0.25

Ta có: xxyy xx = 2+ yy2 (1)

⇔ x.100.11+y.11= x2.112+y2.112

⇔100x+y=11(x2+y2)

0.5

=> x y +  11

=> x+y=11( vì 1 ≤ x, y ≤ 9; x, y ∈Ζ) 0.5

=> (x,y) chỉ có thể là các cặp (2, 9); (3, 8); (4, 7); (5, 6); (6, 5); (7, 4); (8; 3) (9, 2) 0.5

Thay lân lợt từng cặp trên vào (1) ta thấy chỉ ó x=8 và y=3 thỏa mãn

Bài 2 (2,0 điểm).

Ta có: 10 x3+ = 1 3( x2 + 2)

⇔ 10 x + 1 x2 − + = x 1 3( x2 + 2)

0,25

Đặt

2

1 1

 = +





= − +



v x x , (điều kiện u ≥ 0, v > 0) khi đó phng trình (2) trở thành

10u.v = 3(u2+v2)

0,5

⇔ (3 u v u − )( − 3 ) 0 v =

3

3

=



⇔  =  u u v v

0,25

Trờng hợp 1: u = 3v ta có:

x + = 1 3 x2 − + x 1

 9x2-10x+8 = 0 vô nghiệm

0,25

Trờng hợp 2: 3u = v ta có:

3 x + = 1 x2 − + x 1

 9x + 9= x2 – x+1

0,25

 x2 – 10x – 8 = 0

5 33

 = −

⇔ 

= +



x

x (thỏa mãn điều kiện x ≥ -1)

Vậy phơng trình đã cho có các nghiệm là:

x = − 5 33 và x = + 5 33

0,25

Bài 3 (1,0 điểm)

Vì phơng trình f(x) = x vô nghiệm nên

f(x) > x, ∀x ∈ R hoặc f(x) < x, ∀x ∈ R

0,5

Nếu f(x)> x, ∀x ∈ R thì

a[f(x)]2 + b.f(x) + c = f(f(x)) > f(x) > x, ∀x ∈ R

suy ra phơng trình a[f(x)]2 + b.f(x) + c = x vô nghiệm

0,25

Nếu f(x)< x, ∀x ∈ R thì

a[f(x)]2 + b.f(x) + c = f(f(x)) < f(x) < x, ∀x ∈ R

suy ra phơng trình a[f(x)]2 + b.f(x) + c = x vô nghiệm

Vậy ta có điều phải chứng minh

0,25

Bài 4 (1,0điểm)

Ta có xy+yz+zx= xyz 1 1 1

1

+ + =

x y z ta đợc a, b, c >0 và a+b+c=1 (1)

Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành:

2 2 2

2 2 2

0,25

Ta sẽ chứng minh (2) đúng với mọi a, b, c thỏa mãn (1)

Thật vậy, do điều kiện a+b+c=1 nên ta có: (2) 

0,25



− + − + − ≥ − + − + −

( − 1)( a b − ) + ( − 1)( b c − ) + ( − 1)( c a − ) ≥ 0

0,25

 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2

Bất đẳng thức đúng vì: a, b, c > 0

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c =1/3 hay x = y = z = 3

0,25

Bài 5 (3,0 điểm)

a (1,5 điểm)

Theo tính chất tiếp tuyến ta có OM, ON lần lợt là phân giác của các góc

EOH, FOH

0,25

Tứ giác AEOF nội tiếp nên BAC + EOF = 180o 0,25

Từ đó MON= 180

2

o BAC

Suy ra MOB = ONC Vậy ΔMOB ΔONC

b, 1,25 (điểm)

Từ ΔMOB ΔONC => MB = OB

OC NC BM.CN=OB.OC=

2

4

BC

= const Vì SAMN = SABC – SBMNC nên SAMN lớn nhất khi và chỉ khi SBMNC nhỏ nhất(do SABC không đổi)

A

N M

O

F H

E

Ta có SBMNC = SBOM +SMON + SNOC = 1

2R BM +MN CN+

=

1

2 R BM +CN +ME +NF doMN =ME +NF

= 1

2R BM +CN +BM −BE+CN −CF

= R(BM+CN-BE) do BE=CF

≥ R(2 BM CN − BE )

= R(BC-BE) không đổi

Dấu = xảy ra  BM = CN  MN //BC

 H là trung điểm của cung nhỏ EF

Vậy SAMN lớn nhất khi H là trung điểm của cung nhỏ EF

Câu 6 ( 1,0 điểm)

Chia hìh vung đã cho thành 16 hình vung đơn vị(các cạnh song song với các cạnh hình vuông

đã cho và có độ dài bằng 1)

Do 33>16.2 nên theo nguyên lý Dirichlê, tồn tại ít nhất 3 điểm cùng nằm trong hoặc trên cạnh

của một hình vuông đơn vị Giả sử đó là ba điểm A, B, C ở trong hoặc nằm trên cạnh của

hình vuông đơn vị MNPQ

Ta có MP = 2 và với mọi điểm E thuộc hình vuông MNPQ thì MP ≥ AE, tức AE≤ 2 Từ

đó hình tròn (A; 2 ) phủ toàn bộ hình vuông MNPQ Tơng tự các hình tròn (B; 2 ), (C;

2 ) phủ toàn bộ hình vuông MNPQ

Suy ra ba hình tròn (A; 2 ), (B; 2 ), (C; 2 ) chữa hình vuông MNPQ và ba điểm A, B,

C nằm trong phần chung của ba hình tròn nói trên Vậy câu trả lời bài toán là có,

Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10

trờng thpt chuyên phan bội châu Năm

học 2008-2009

Đề Dự Bị

Môn thi: toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (3 điểm)

a) Tìm m để phơng trình (m+1)x2 – 2mx + m – 2 = 0

có hai nghiêm x1, x2 thảo mãn

Bài 3: (1điểm)

Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c (a 0≠ ) Biết rằng phơng trình: f(x) = x

vô nghiệm Chứng minh rằng phơng trình: a[f(x)]2 + bf(x) + c = x vô nghiệm

Bài 4: (1điểm)

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn: xy + yz + zx = xyz Chứng minh rằng:

3

+ + ≥  + + ữ

Bài 5: (3 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A Gọi O là trung điểm của BC Đờng tròn (O; R)

tiếp xúc với AB ở E, tiếp xúc với AC ở F Điểm H chạy trên cung nhỏ EF

(H khác E, F) Tiếp tuyến của đờng tròn tại H cắt AB, AC lần lợt tại M, N

a) Chứng minh: ∆MOB ∆ONC

b) Xác định vị trí của điểm H sao cho diện tích tam giác AMN lớn nhất

Bài 6: (1 điểm)

Cho 33 điểm nằm trong hình vuông có độ dài cạnh bằng 4, trong đó không có ba

điểm nào thẳng hàng Ngời ta vẽ các đờng tròn có bán kính bằng 2 và tâm là các điểm đã cho Hỏi có hay không ba điểm trong các điểm đã cho sao cho chúng

đều thuộc phần chung của ba hình tròn có tâm cũng chính là ba điểm đó? Vì sao?

-Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10

trờng thpt chuyên phan bội châu Năm

học 2008-2009

Môn thi: toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2 điểm)

Tìm số tự nhiên có 2 chữ số xy, biết rằng xxyy xx = 2 + yy2

Bài 2: (2 điểm)

Giải phơng trình: 10 x3+ = 1 3 ( x2 + 2 )

Bài 3: (1điểm)

Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c (a 0≠ ) Biết rằng phơng trình: f(x) = x

vô nghiệm Chứng minh rằng phơng trình: a[f(x)]2 + bf(x) + c = x vô nghiệm

Bài 4: (1điểm)

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn: xy + yz + zx = xyz Chứng minh rằng:

3

+ + ≥  + + ữ

Bài 5: (3 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A Gọi O là trung điểm của BC Đờng tròn (O; R)

tiếp xúc với AB ở E, tiếp xúc với AC ở F Điểm H chạy trên cung nhỏ EF

(H khác E, F) Tiếp tuyến của đờng tròn tại H cắt AB, AC lần lợt tại M, N

a) Chứng minh: ∆MOB ∆ONC

b) Xác định vị trí của điểm H sao cho diện tích tam giác AMN lớn nhất

Bài 6: (1 điểm)

Cho 33 điểm nằm trong hình vuông có độ dài cạnh bằng 4, trong đó không có ba

điểm nào thẳng hàng Ngời ta vẽ các đờng tròn có bán kính bằng 2 và tâm là

các điểm đã cho Hỏi có hay không ba điểm trong các điểm đã cho sao cho chúng

đều thuộc phần chung của ba hình tròn có tâm cũng chính là ba điểm đó? Vì sao?

-Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Đề chính thức