CAC DE THI HSG TINH

Gọi T là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và C của đờng tròn đờng kính BC trong mặt phẳng ABC.. 2 Chứng minh IT là tiếp tuyến của mặt cầu đờng kính CD và mặt cầu đờng kính CB.. a Tìm

Trang 1

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT

Thanh Hoá Năm học 2003 - 2004

Môn thi : Toán - Bảng B

Đề chính thức ( Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề)

B i 1 à : ( 6 điểm) 1) Cho đờng cong ( C) có phơng trình: y= 1 + sinx với 











∈

2

3

; 2

π π

x Tìm giá trị nhỏ nhất của hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với ( C) và trục hoành

x

x m x

x m

1

3 1

) 1

2 2

2

+







 +

−







 + +

điểm cực trị duy nhất

Bài 2: (5 điểm) Giải các phơng trình sau:

1) sinx + sinx+ sin 2x+ cosx = 1

2) log7 x= log3( x+ 2)

Bài 3: 1) Xác định số nghiệm 











∈ 2

;

0 π

x của phơng trình: 2 sinx + 2 cosx =π 2) Không dùng máy tính, hãy so sánh log20022003 và log20032004

Bài 4: Cho góc tam diện Oxyz.

1) A là một điểm trên Oz sao cho OA = a ( a > 0) Khoảng cách từ A đến Ox và Oy tơng ứng là a và 20a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng Oxy biết góc xOy bằng 600

2) Cho góc xOy = góc yOz = góc zOx = 600 Điểm A ( khác 0) cố định trên Oz với OA = d không đổi M

và N là hai điểm chuyển động trên Ox và Oy sao cho

d

1 ON

1 OM

1

= + Chứng minh đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

-

Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh………

Chữ ký của ngời coi thi: ………

Trang 2

Môn thi : Toán - Bảng a

B i 1:à ( 6 điểm)

1) Cho đờng cong ( C) có phơng trình: y= 1 + sinx với 











∈

2

3

; 2

π π

x Tìm giá trị nhỏ nhất của hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với ( C) và trục hoành

x

x m x

x m

1

3 1

) 1

2 2

2

+







 +

−







 + +

điểm cực trị duy nhất

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hệ phơng trình sau có 2 nghiệm :

( ) ( )









=

− +

−

=

− + + +

−

0 4 2

2

0 12 6 5 6

7

2

2 2

a a x

a

x

x x

x

Bài 3:

1) Xác định số nghiệm 











∈ 2

;

0 π

x của phơng trình: 2 sinx + 2 cosx =π

2) Cho 1<a+1<b+1<c Chứng minh: logc(c+a) < logc−ac

Bài 4:

Cho góc tam diện Oxyz

1) A là một điểm trên Oz sao cho OA = a ( a > 0) Khoảng cách từ A đến Ox và Oy tơng ứng là a và 20a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng Oxy biết góc xOy bằng 600

2) Cho góc xOy = góc yOz = góc zOx = 600 Điểm A ( khác 0) cố định trên Oz với OA = d không đổi M

và N là hai điểm chuyển động trên Ox và Oy sao cho

d

1 ON

1 OM

1

= + Chứng minh đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

………

Môn thi : Toán - Bảng A

GV Lê Thị Thanh Trờng THPT Đông Sơn 1

Trang 3

Bài 1:

Cho hệ phơng trình: logx(3x+ay)= logy(3y+ax)= 2

1) Giải hệ phơng trình khi a = 2

2) Tìm tất cả các giá trị của a để hệ đã cho có 3 nghiệm phân biệt

Bài 2:

Cho hàm số:

a x

x y

+

= 2 1

1) Với a = 1 chứng minh rằng luôn tìm đợc hai điểm và chỉ có hai điểm trên đờng cong sao cho tiếp tuyến tại

đó song song với đờng thẳng 2x – 2y + 1 = 0

2) Tìm giá trị lớn nhất của a để tập giá trị của hàm số đã cho chứa đoạn [ ]0 ; 1

Bài 3:

1) Giải phơng trình: 2 cos(x− 45 0)− cos(x− 45 0)sin 2x− 3 sin 2x+ 4 = 0

2) Cho tam giác ABC O là một điểm trong tam giác sao cho ∠OCA= ∠OAB= ∠OBC=α Chứng minh rằng : cotgα = cotgA+ cotgB+ cotgC

Bài 4:

Với x là góc cho trớc khác kπ Tìm giới hạn:

lim

∞

→









n n

x x

x

2

tan 2

1

2

tan 2

1 2

tan

2

1

2 2

Bài 5:

Cho hình tứ diện ABCD có CD vuông góc với mặt phẳng ( ABC) CD = CB, tam giác ABC vuông tại A, mặt phẳng qua C vuông góc với DB và cắt DB, DA lần lợt tại M, I Gọi T là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và

C của đờng tròn đờng kính BC trong mặt phẳng ( ABC)

1) Chứng minh 4 điểm C, T, M, I đồng phẳng

2) Chứng minh IT là tiếp tuyến của mặt cầu đờng kính CD và mặt cầu đờng kính CB

3) Gọi N là trung điểm của AB, K là điểm trên CD sao cho CB CD

3

1

= Chứng minh khoảng cách giữa hai

đờng thẳng BK và CN bằng khoảng cách giữa hai đờng thẳng AM và CN

………

Môn thi : Toán học Bảng A - B–

Bài 1:

Cho bất phơng trình:2 cos 3x+ (m− 1 ) cos 2x+ 10 cosx+m− 1 ≥ 0

1) Giải bất phơng trình khi m = -5

2) Tìm m để bất phơng trình thoả mãn với mọi ∈0;3 

π

x

Bài 2:

Giải phơng trình: log (cosx−sinx)+log1(cosx+cos2x) =0

x x

Bài 3:

Trang 4

Giải phơng trình sau với x∈( )0 ; 2 :

4

3 4

1 4 4

4

2 1 2 1

2 1

2

−

=

− − + +

−

x

x x x x

Bài 4:

2000 1

)

1998 ,

1996 1998

Bài 5:

a) Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh O vuông, đờng cao OH = h, OA = a, OB = b,

OC = c Chứng minh rằng: acotgA+bcotgB+ccotgC ≥ 3h

b) Có thể chia một đa giác lồi đã cho thành một số rứ giác không lồi đợc không? Hãy chứng minh điều khẳng định của mình?

………

Môn thi : Toán - Bảng A-B

Câu 1:

Cho phơng trình: sin 4x+(1 − sinx)4 =m

1) Giải phơng trình khi

8

1

=

m

2) Với những giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm?

Bài 2:

1) Cho a, b, c là 3 cạnh tam giác còn x, y, z là 3 số thoả mãn: ax+by+cz= 0 Chứng minh: xy+yz+zx≤ 0

2) Cho x≥ 0 Chứng minh log2(1 + 2x)≥ log3 3x +( )2 x

Bài 3:

Cho a1, a2, …….an ( n > 3) là các số thực thoả mãn: ∑ ∑

=

≥

i i n

i

n a n a

1

2 2 1

max a1 a2 a n ≥ Với n≤ 3 kết luận trên còn đúng không ?

Bài 4:

Trang 5

Cho ABCD A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật với AA’ = 2AB = 8a, E là trung điểm của các cạnh AB và M là một điểm trên cạnh DD’ sao cho 









 +

=

AC

AD a

DM 1 F là một điểm di động trên cạnh AA’

a) Tìm vị trí điểm F trên cạnh AA’ sao cho CE≠ FM có giá trị nhỏ nhất

b) Với điểm F thoả mãn điều kiện câu a, tính góc tạo bởi mặt phẳng ( D EF) và mặt phẳng

( DBC)

c) Với giả thiết điểm F thoả mãn điều kiện câu a và các đờng thẳng AC và FD vuông góc với nhau, tính thể tích của hình hộp ABCD A’B’C’D’

Bài 5: ( Học sinh bảng B không phải làm bài này)

Tìm các số nguyên dơng a, b, c thoả mãn:







= + + + + +

≥

>

kabc c b a ca bc ab

a b

c 1

………

Môn thi : Toán

Bài 1:

Hãy tìm tất cả bộ 4 số thực dơng ( a, b, c, d) thoả mãn







+ + + + + +

=

= + +

+

cd bd bc ad ac ab abcd

d c b

a

27

12

Bài 2:

Giả sử x1, x2,… xn, … là dãy số thực thoả mãn:









+ +

=

1

2

2 1

1

n

x x

n x

x

n n n

a) Hãy tính [x2000]( [ ]a là phần nguyên của số a)

b) Chứng minh rằng: x n+1 ≥x n với mọi n≥ 4

Bài 3:

Cho đa thức f( x) bậc n có n nghiệm thực phân biệt Chứng minh rằng tập hợp nghiệm của bất phơng trình: ( )

( ) 2000

'

>

x

f

x

f

là một số khoảng có tổng độ dài bằng

2000

n

Bài 4:

Cho đờng tròn tâm O bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC bán kính r tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA tơng ứng với C1, A1, B1 Giả sử các đờng thẳng đợc xác định bởi các trung

Trang 6

điểm của các cặp đoạn thẳng AB1 và AC1; BA1 và BC1; CA1 và CB1 cắt nhau tại các điểm C2, A2 và B2 Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác A2B2C2 có tâm O và bán kính bẳng

2

r

………

Môn thi : Toán học - Bảng A - B

Bài 1: a) Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên và có nghiệm là cos720 và cos 1440

b) Tìm những giá trị của m sao cho với mọi số dơng a thì phơng trình sau đây có nghiệm nhỏ hơn 0,5:

( ) ( 2)

8

m

Bài 2: Cho 0 < x1 <x2 <π Chứng minh rằng:

2

3 2 2

1

3 1 1

sin

6 sin

6

x

x x x

x

>

−

Bài 3: Tìm hàm số y = f( x) biết rằng: f( )xy +f(x−y)+ f(x+y+ 1)=xy+ 2x+ 1 ∀x,y∈R

Bài 4: Cho hình chóp đều (P), đáy là đa giác đều n cạnh có diện tích bằng diện tích mỗi mặt bên đối với mỗi

điểm M ở bên trong hình chóp (P), ngời ta dựng ( n + 1) hình chóp đồng dạng với (P) mà mỗi đáy của chúng tơng ứng thuộc một mặt của (P) còn đỉnh là điểm M Hãy tìm vị trí điểm M để tổng diện tích các mặt của ( n + 1) hình chóp đó nhỏ nhất

Bài 5: ( Học sinh bảng B không phải làm bài này)

Xét tập hợp E ={2001 ; 2002 ; 2003 ; 2000 +n} Tìm số nguyên dơng n nhỏ nhất để tập E có tính chất sau:

“ Với mỗi tập hợp con tuỳ ý A của tập hợp E thì trong hai tập hợp A và E \ A bao giờ cũng có ít một tập hợp chứa 3 phần tử a, b, c sao cho a – b + c = 1999”

………

Trang 7

Môn thi : Toán học

Bài 1: Tìm hàm số f( x) xác định trên tập hợp số thực R sao cho với mọi giá trị x,y∈R ta có:







+

≤

+

≤

) ( ) (

)

(

)

(

y f x f

y

x

f

x

f

Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức trong tam giác: 3

4 + ≥

+

S

bc ac ab

Với a, b, c là các cạnh; S là diện tích tam giác

Bài 3: Dãy { }x n đợc xác định nh sau:

( 1)

1

2

1

>

+

−

=

>

=

x

a

x

n

Hãy tìm tổng vô hạn: ∑∞

= 1

1

n x n

Bài 4: Giả sử a, b, c, d là các số thực và tập hợp A={x∈R;x2 +a x +b= 0} và B={x∈R;[ ]x2 +c[ ]x +d =0} Chứng minh rằng nếu tập A∩B có đúng 3 phần tử thì a không thể là số nguyên

Bài 5: Gọi Q1, Q2, Q3 là diện tích 3 hình bình hành mà mỗi hình có các đờng chéo song song và bằng các cạnh đối diện của một tứ diện ( Các đờng chéo của 3 hình bình hành song song và bằng 3 cặp cạnh đối diện khác nhau của tứ diện) Gọi S1, S2, S3, S4 là diện tích 4 mặt của tứ diện đó Chứng minh:

2 4

2 3

2 2

2 1

2

3

2

Trang 8

Môn thi : Toán

Bài 1: Cho elip ( E) có phơng trình: 1

4 9

2 2

= + y

x

Xét các điểm A( -3; 0), B( 3; 0), M( -3; a) , N( 3; b) trong đó a, b la hai số thay đổi

1) Xác định các toạ độ của giao điểm I của các đờng thẳng AN và BM

2) Chứng tỏ rằng điều kiện cần và đủ để đờng thẳng MN tiếp xúc elip (E) là ab = 4

3) Khi a, b thay đổi nhng sao cho đờng thẳng MN tiếp xúc với elip (E) thì giao điểm I của hai đờng thẳng

AN và BM nằm trên đờng nào?

Bài 2: Tìm miền giá trị của hàm số: f :R→R:

x x

f

cos 1 cos 1

sin 2 3 )

(

− + +

+

=

Bài 3: Giả sử k là số nguyên và P( x) là đa thức: P(x) =x1999 −x1997 +x2 − 3kx+ 3k+ 1

a) Chứng minh rằng đa thức P( x) không có nghiệm nguyên

b) Chứng minh các số P( )n vàP( )n + 3 là nguyên tử cùng nhau đối với mọi số n nguyên

Bài 4: Giả sử S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng hình bình hành ABCD sao cho các tam giác SAB, SBC,

SCD và SAD tơng đơng

a) Chứng minh ABCD là hình thoi

b) Nếu khoảng cách từ S tới mặt phẳng ( ABCD) là 12, BD = 30, AC = 40 Tính khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng ( ABCD) tới mặt phẳng ( SBC)

Bài 5: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một điểm M thay đổi ở trong tam giác Gọi A, B, C lần lợt là

hình chiếu vuông góc của điểm M trên các đờng thẳng BC, CA, AB Hãy xác định vị trí của điêm M khi MA’ = MB MB’ = MC MC’

Trang 9

Đề dự bị Môn thi : Toán

11

2 sin 4 11

3 tan π + π =

Bài 2: Tìm điều kiện cần và đủ để f(x) =x+asin 2x là một hàm số đồng biến trên R

Bài 3: Tìm những giá trị của m sao cho với mọi số dơng a thì phơng trình sau đây có nghiệm dơng nhỏ hơn

0,5:

( ) ( 2)

8

m

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại C với cạnh huyền AB = c Vòng tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các

cạnh cạnh AC, CB, AB theo thứ tự tại M, N , P

1) Chứng minh rằng: MN c

9

3 2

<

2) Tìm giá trị bé nhất của k để có bất đẳng thức: MN <kc

Bài 5: Cho tứ diện ABCD P là một điểm nằm trong tam giác BCD Tìm P kẻ các đờng thẳng song song với

AB, AC, AD cắt các mặt ACD, ADB, ABC lần lợt tại L, M, N Xác định vị trí của P để tứ diện PLMN có thể tích lớn nhất

Trang 10

Môn thi : Toán

Bài 1: Giả sử Z+ là tập hợp các số nguyên không âm Hãy tìm tất cả các hàm: f : Z+ →Z+ thoả mãn: a)

(m +n )=(f( )m) +(f( )n ) ∀m n∈Z+

b) f( ) ( )m2 ≥ f n2 ∀m,n∈Z+ ,m≥n

Bài 2: Một khối lập phơng đợc đặt trong hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz, sao cho toạ độ 4 đỉnh không

đồng phẳng nào đó là các số nguyên Chứng minh rằng tất cả các đỉnh của khối lập phơng đều có toạ độ nguyên

Bài 3: Cho a,b,c∈[ ]1 ; 2 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ( )

abc

c b a c b a f A

3 3 3 ,

=

Bài 4: Dây DE của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tại các điểm M

và N ( M nằm giữa D và N) Chứng minh rằng: MN ≤DM +EN

Trang 11

Môn thi : Toán

Bài 1: a) Cho dãy số { }u n đợc xác định bởi công thức:













+ + + +

−





−





n n

n

U

2 sin 2 tan

2 sin sin 2 tan tan

2

2 2 2

, với n = 1, 2…… n dấu căn Hãy tính Lim n U n

∞

→

=

− +

= +

=

k

k n k n n

k

k k

C x

U

0

) ( 2 2 1 2 0

2 2 1

) (

) ( ) (

x V

x U x

R = Hãy giảI và biện luận phơng

trình: R(a).R(x) =a.x, với a là tham số.

Bài 2: Chứng minh rằng với a a, b, c bất kì luôn có:

(a2 +b2 −c2)(a2 −b2 +c2)(b2 +c2 −a2)≤(a+b−c) (2 a−b+c) (2 b+c−a)2

Bài 3: Tìm tất cả các hàm số f :Q→R, thoả mãn các điều kiện sau đây:

a) f( -8) = 0

b) f(x+y) = f(x) + f(y) + 3xy(x+y+ 6 ) − 8, với mọi x,y∈Q( trong đó Q là tập hợp các số hữu tỉ, R là tập hợp các số thực)

Bài 4: a) Trên mặt bên của hình chóp tứ giác đều cho trớc một tam giác Ngời ta chiếu vuông góc tam giác

này lên mặt phẳng đáy của hình chóp, sau đó lại chiếu vuông góc tam giác nhận đợc lên mặt bên kề với mặt bên chứa tam giác đã cho Chứng minh rằng hình chiếu sau cùng là một tam giác đồng dạng với tam giác ban đầu

b) Cho đa giác lồi n cạnh nằm trong hình ngũ giác đều có độ dài cạnh a= 10 − 2 5 ( Các đỉnh đa giác lồi

có thể nằm trên bên của ngũ giác đều) Chứng minh rằng tồn tại 3 đỉnh A, B, C của đa giác n cạnh mà diện tích tam giác ABC không vợt quá 3

2

16

n

π

Tiêu đề	Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 - THPT
Người hướng dẫn	GV Lê Thị Thanh
Trường học	Trường THPT Đông Sơn 1
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Đề chính thức
Năm xuất bản	2003 - 2004
Thành phố	Thanh Hoá

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	304,5 KB