BÀI TẬP SỐ PHỨC
TÓM TẮC LÝ THUYẾT
1.Hai số phức bằng nhau: a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d
Hai số phức liên hợp: cho z = a + bi thì z= a – bi
2.Môđun của số phức: cho z = a + bi thì |z| =
3.Các phép toán với số phức
(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i z1±z2 =z1 ±z2
(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i ; z1.z2 = z1.z2 ; z.z= |z|2
= ; = z1
2
1 2
1 z
z z
z
=
4.Căn bậc hai của một số phức:
Cho số phức z = a + bi
*nếu b ≥ 0 thì = ±
*nếu b < 0 thì = ±
4.Dạng lượng giác của số phức
*Cho z = a + bi thì môđun r và argument ϕ được tính bởi công thức sau:
r = ; cosϕ = ; sinϕ =
* Cho z = a + bi thì có thể viết z = r(cosϕ + i.sinϕ)
5.Công thức MOAVRƠ
Cho hai số phức z1 = r1(cosϕ1 + i.sinϕ1) và z2 = r2(cosϕ2 + i.sinϕ2)
khi đó: z1.z2 = r1.r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + i.sin(ϕ1 + ϕ2)]
= [cos(– ϕ) + i.sin(– ϕ)]
= [cos(ϕ1 – ϕ2) + i.sin(ϕ1 – ϕ2)]
Công thức MOAVRƠ:
Cho z = r(cosϕ + i.sinϕ) thì zn = rn(cosnϕ + i.sinnϕ)
căn bậc n của z có n giá trị là n số phức được xác định như sau:
zk = (cos+ i.sin) với k = 0,1,….n – 1
BÀI TẬP
1.Thực hiện các phép tính sau:
a) (3 – 5i) + (2 + 4i) b) (11 – 6i) – (2 – 4i) c) (2 – 4i)(3 + i)
d) – 2i(3 – 8i) e) (3 + 2i)(1 – i) + (3 – 2i)(1 + i)
f) g) h) g) +
h) g) + 4 – 3i
2.Tính các biểu thức sau:
a) i15,i30 ,i37 ,i28 Từ đó suy ra cách tính i n với n ∈ N
b) (1 + i)2 ,(1 + i)3 ,(1 + i)4 ,(1 + i)5 , (1 + i)2006 , (1 – i)2006
c) ()33 + (1 – i)10 + (2 + 3i)(2 – 3i) +
e) (– 4i) f) 4.Giải các phương trình sau:
a) (3 + 4i)x = (1 + 2i)(4 + i) b) 2ix + 3 = 5x + 4 c) 3x(2 – i) + 1 = 2ix(1 + i) + 3i d) x =
e) [(2 – i) + 3 + i](iz + ) = 0 f) x + 2 = 2 – 4i 4.a)Chứng minh rằng số phức z là số thực ⇔ z = b)không thực hiện các phép tính,hãy giải thích vì sao các số phức sau là số thực: + và –
3.Giải các phương trình sau trong C:
a) z2 + |z| = 0 b) z2 + = 0 c) z2 + 2 = 0 b) 2ix2 – 3x + 4 + i = 0
c) x2 – x + 3 = 0 d) x6 – 9x3 + 8 = 0 e) x2 + 2(1 + i)x – (3 + 2i) = 0 f) 2x2 + 3x + 5 = 0
g) x2 – (2 + i)x + (7i – 1) = 0 h) x2 + (3 – 2i)x + (5 – 5i) = 0 i) x4 – 3x2 + 4 = 0
j) x3 – 2(1 + i)x2 + 3ix + 1 – i = 0 k) z2 + ( – 1 – i)z – (1 + i) = 0 l) z4 – 8(1 – i)z2 + 63 – 16i = 0 m) z4 – 24(1 – i)z2 + 308 – 144i = 0 n)z4 – z3 + + z + 1 = 0 o)z3 + + – = 0 p) 8z4 + 8z3 – z – 1 = 0 p) 1
i z
i
z 4 =
− +
3.a) Cho z = Tính |z|
b) Tìm số phức z sao cho z2 = 4.Tính z = và tìm căn bậc 5 của – i 5.Cho z1, z2 là hai nghiệm của phương trình : x2 + (2 – i)x + 3 + 5i = 0 Không giải phương trình ,hãy tính:
a) z1 + z2 b) z1 + z2 c) d) z1z2 + z2z1
6.Tính căn bậc hai của các số phức sau:
a) 8 + 6i b) – 1 + 2i c) 16 – 30i d) i e) 1 – i
7.Tính các giá trị của các căn thức sau trong C
a) b) c) d) 7.Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) – 1 + i b) – 1 – i c) 1 – i d) 1 e) 8i f) 3+ 4i g) 1 + i h) 4 – 4i i) – 125i
8.Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
Trang 2a) (cos– i.sin) b)– (cos+ i.sin) c)3(– cos+ i.sin)
d) – cos+ i.sin e) 2(sin+ i.cos) f) – sin– i.cos)g) sinϕ + 2i.sin2
h) cosϕ + i(1+ sinϕ) i) ( – i)100
j) []6 k) l) ()20 m)
9.Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a) (1 – i)6.( + i)8 b) (cos – i.sin).i5.(1 + i)6
c) d) e) z2006 + biết z + = 1
10.Cho số phức z có mođun bằng 1,biết một acgumen của z là ϕ
Hãy tìm một acgumen của số phức sau:
a) 2z2 b) – c) d) – z2
e) z + f) z2 + z g) z2 – z h) z2 +
11 Tìm số nguyên n để cácsố phức sau là số thực hoặc số ảo:
a)
n
i
3
3
i
3
3
−
−
b)
n i 3 4
i 7
− +
12.Giải hệ phương trình sau:
a)
−
=
−
=
−
1 z
i
z
z
i
2
z
b)
−
= +
+
= +
i 2 5 z z
i 4 z z 2 2
2 1
2 1
13.a)Tìm các số thực a, b sao cho:
z4 – 4z2 – 16z – 16 = (z2 – 2z – 4)(z2 + az + b) , ∀ z ∈C
b) Giải phương trình : z4 – 4z2 – 16z – 16 = 0
14.Tìm số nguyên dương n sao cho
n i 3 3
i
3 3
−
−
a) là một số thực b) là một số ảo
15.Cho z = cosϕ + sinϕ
a) Hãy tìm zn + n ; zn – n n ∈Z+
b)Dùng các khai triển của (z + )3 và(z – )3 để tìm sin3ϕ và cos3ϕ theo sinϕ
và cosϕ
c)Tìm các biểu diễn của sin4ϕ , cos4ϕ , sin5ϕ , cos5ϕ theo sinϕ và cosϕ
16.a) Cho z = cosϕ + sinϕ, chứng minh rằng ∀ n ∈Z+ ta có:
zn + = 2cosnϕ zn – = 2isinnϕ
b)Chứng minh rằng: cos4ϕ = (cos4ϕ + 4cos2ϕ + 3)
sin5ϕ = (sin5ϕ – 5sin3ϕ + 10sinϕ)
17.Tính các tổng sau:
a) f(x) = 1 + cosx + cos2x + … + cosnx n ∈ Z
b) f(x) = sinx + sin2x + sin3x + … + sinnx
c) f(x) = cosx + cos3x + cos5x + … + cos(2n – 1)x
d) f(x) = sinx + sin3x + sin5x + … + sin(2n – 1)x
e) f(x) = cos2x + cos22x + cos23x + … + cos2nx f) f(x) = sin2x + sin22x + sin23x + … + sin2nx