Một bài toán hay!Cho hình chóp đều S.ABCD.
Trang 1Một bài toán hay!
Cho hình chóp đều S.ABCD Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho SA SB SC
' 2, ' 1, ' 1
= = = Mặt phẳng (A’B’C’) cắt SD tại D’
Chứng minh rằng: SD
SD
' 2 5
=
1) Lời giải của cô Hồng Vân (dùng tỉ số thể tích)
• Đặt thể tích khối chóp đều đã cho là 1
• Gọi thể tích các khối chóp S.A’B’K , S.B’C’K, S.C’D’K lần lượt là V V V1 2 3, ,
và đặt các tỉ số SK t SD x
SO SD
' ,
• Có V S AOB. V S BOC. V S COD. 1, V S ABC. V S BCD. 1
•
S AOB
V .1 SA SO SB 1
'. . ' 1.
3 4 3 12
S BOC
' ' 1 1
3 2 6 24
Mặt khác ta có
A B C
S ABC S ABC
V
V V
'. '. ' 2 1 1 1 . 1
+
Từ (1), (2), (3) ta có t t 1 t 4
12 24 18+ = ⇔ = 9 ⇒ V1 V2
1 , 1
• Gọi E là trung điểm của C’C, vì SC
SC
' 1 3
= nên SC’ = C’E = EC, BE// B’C’
Lấy F trên đoạn OC sao cho CF EF
SDBC
E DBC S DBC E DBC
S B C K
V
V
' '
1 2
2 3
(chung đáy)
Trang 2• Ta có
S COD
'. . ' 1 4 .
S B C D
S BCD S BCD
V
'. '. ' 1 1 .
(6)
Từ (5), (6) ta có: x 1 x 2x 1 x 54x 24x 12 x 2
+
2) Lời giải của Thầy Trần Sĩ Tùng (dùng đoạn thẳng tỉ lệ)
A
B
C D
S
O
A’
B’
C’
• Gọi A C1 1, lần lượt là trung điểm của SA CC′, ′ ⇒ K là trọng tâm của ∆SA′C1
⇒ SK
SH
2 3
= , mà SH 2SO
3
= nên SK
SO
4 9
= ⇒ SK
SJ
8 9
=
• KD SK
TJ SJ
8 9
′
= = ⇒ KD 8TJ 8 1 B D 4B D
KB
4 5
′
=
′
• D R KD
UB KB
4 5
SD D R
SU UB
4 5
SD SD
SD SU
2
= = (đpcm)
=======================