SKKN BÀI TẬP VỀ TỈ LỆ THỨC

Trong sách giáo khoa lớp 7, phần kiến thức về tỉ lệ thức đợc trình bày không nhiều nhng đây lại là một chuyên đề không thể thiếu đợc trong phần bồi dỡng học sinh giỏi và trong việc giải

Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên –THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa

Phần thứ nhất Lời nói đầu

I/ Lý do chọn đề tài:

1/ Cơ sở lý luận:

Đi đôi với việc đổi mới chơng trình là đổi mới phơng pháp dạy học Cốt lõi của phơng pháp mới là phát huy tính tích cực, chủ động của ngời học Dạy học phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh là phù hợp tâm lý học sinh bởi tính tích cực, chủ

động sẽ dần tới tự giác, khơi dậy tiềm năng to lớn của học sinh bởi các em đang ở lứa tuổi a hoạt động, thích khám phá Dạy học phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh cũng đáp ứng yêu cầu của đất nớc đang bớc vào thời kỳ đổi mới, thời kỳ đòi hỏi những con ngời lao động phải năng động, tự chủ, giàu tính sáng tạo

Tuy nhiên phát huy tích cực, chủ động của học sinh nh thế nào, bằng biện pháp gì, vận dụng trong tiết dạy toán ra sao vẫn luôn là vấn đề làm tôi trăn trở Qua vài năm thực hiện theo chơng trình đổi mới của bộ GD - ĐT tôi đã tự rút ra một số kinh nghiệm cho riêng mình

Qua thực tế giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi ở lớp 7, tôi thấy bài tập về tỉ lệ thức rất thờng gặp đối với các em ứng dụng của dạng toán này rất đa dạng và có tính sáng tạo

Trong sách giáo khoa lớp 7, phần kiến thức về tỉ lệ thức đợc trình bày không nhiều nhng đây lại là một chuyên đề không thể thiếu đợc trong phần bồi dỡng học sinh giỏi và trong việc giải một số bài tập đại số và hình học

Bài tập về tỉ lệ thức rất phong phú đòi hỏi học sinh phải có óc phân tích, t duy lô gíc để thiết lập đợc mối quan hệ giữa các đại lợng để dẫn tới lời giải bài toán do đó giúp học sinh có t duy sáng tạo trong việc học toán

Để gây hứng thú, lòng say mê học toán cho học sinh và giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc giải bài tập dạng này, tôi mạnh dạn đi sâu tìm hiểu và nghiên cứu các bài tập về tỉ lệ thức với mục đích là tài liệu cho bản thân và làm tiền đề cho việc truyền thụ tri thức đợc tốt hơn

2/ Cơ sở thực hiện:

Với mong muốn học sinh lớp 7 nắm đợc cách giải chung cho từng loại, biết vận dụng cụ thể vào từng bài riêng biệt một cách dễ dàng, đặc biệt giúp học sinh phát huy tính sáng tạo cao trong việc giải toán Qua thực tiễn giảng dạy của bản thân, tôi đã suy nghĩ và đúc rút đợc một số kinh nghiệm trong giảng dạy các chuyên đề toán học

đó là phân loại và đa ra phơng pháp giải cho từng loại Đặc biệt với chuyên đề về tỉ lệ thức, học sinh từ chỗ nắm vững phong pháp giải đã say mê hơn với học tập và kích thích tính sáng tạo trong học toán của học sinh

II/ mục đích yêu cầu của đề tài:

Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên –THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa

1/ Nội dung:

- Hệ thống lý thuyết cần thiết để giải bài tập về tỉ lệ thức

- Chọn ra hệ thống bài tập về tỉ lệ thức

- Học sinh phân tích đề bài để định hớng từng loại toán và tìm ra kiến thứuc cần sử dụng cho việc giải từng bài tập cụ thể cũng nh phơng pháp để giải từng loại bài tập, học sinh biết vận dụng linh hoạt lý thuyết trong giải bài tập toán

2/ Ph ơng pháp :

- Nghiên cứu lý thuyết về tỉ số, tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau

- Sử dụng các phơng pháp phân tích, tổng hợp, tơng tự … là các ph là các phơng pháp dạy và học toán

- Nghiên cứu sách giáo khoa và tài liệu tham khảo

Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên –THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa

Phần thứ hai Nội dung

I/ một số vấn đề chung:

1/ Yêu cầu về kiến thức cần đạt đ ợc :

- Nắm chắc, hiểu sâu các định nghĩa, các tính chất về tỉ số, tỉ lệ thức, dãy

tỉ số bằng nhau

- Học sinh biết phân loại dạng toán trong giải bài tập

- Trên cở sở kiến thức cơ bản và bài tập cụ thể, học sinh tự biết khai thác bài toán

2/ Yêu cầu về ph ơng pháp giảng dạy :

- Ngời giáo viên nói chung phải sử dụng nhiều phơng pháp và sử dụng linh hoạt các phơng pháp đó để đảm bảo kiến thức cơ bản và bài tập phải phù hợp với trình độ học sinh

- Học sinh phải nắm chắc lý thuyết, dạng bài tập cơ bản chung nhất

- Học sinh phân tích đợc đề bài để định hớng phân loại bài tập

- Sử dụng phơng pháp vấn đáp, gợi mở : giáo viên thờng dùng các câu hỏi “ tại sao?” , “nh thế nào?”, “ đề bài yêu cầu gì?” , “ cần vận dụng kiến thức nào?”

- Để phát triển t duy của học sinh cần phải tiếp tục cho học sinh làm bài tập với các yêu cầu sau:

+ Tự tìm cách giải khác + Tự đặt câu hỏi khai thác bài toán + Khái quát bài toán tổng quát ( nếu có thể)

Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên –THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa

II/ Lý thuyết cơ bản và một số bài tập ứng dụng:

A/ Lý thuyết:

1/ Tỉ số:

Định nghĩa: Tỉ số của hai số a và b là thơng của hai số a và b (cùng đơn vị đo) Tổng quát:

k b

a b

a:  

Tính chất:



























) 0 , (

m b m b m a b k a b k b a k b

2/ Tỉ lệ thức:

Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là: Một đẳng thức giữa hai tỉ số

Tổng quát:

d c b a k

d c

k b a















Tính chất:

+ Từ tỉ lệ thức ad bc.

d

c b

a







+ Từ đẳng thức ad = bc với a, b, c, d  0 ta có các tỉ lệ thức

.

;

;

;

a

b b

d a

c b

d d

b c

a d

c b

a









+ Tính chất hoán vị :

Từ tỉ lệ thức

d

c b a

 suy ra các tỉ lệ thức

Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên –THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa

.

;

;

a

b b

d a

c b

d d

b c

a







3/ Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

d b

c a d b

c a d

c b

a d

c b

a

















Mở rộng cho dãy nhiều tỉ số bằng nhau:

f d b

e c a f d b

e c a f

e d

c b

a f

e d

c b

a































(giả thiết các mẫu có nghĩa)

4/ Chia tỉ lệ:

+ x, y, z tỉ lệ với a, b, c  x : y : z = a : b : c

Hay

c

z b

y a

x





+ x, y, z tỉ lệ nghịch với m, n, p  x:y:zm1 :n1:1p

Hay xm = yn = zp

B/ bài tập :

Dạng 1: bài tập trắc nghiệm

Mục đích: Củng cố lý thuyết và sửa các lỗi sai thờng gặp của học sinh.

Bài 1: Các kết luận sau đúng hay sai:

Cho dãy tỉ số: b a d c q p suy ra các kết luận sau:

q

p d

c b

a



 =b a q p d c









q

p d

c b

a





) 0 (

.



m b

m a d c

d b

c a q

p

.



Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên –THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa

q b

p c b

a







Bài 2: Cho tỉ lệ thức m n q p Trong các tỉ lệ thức sau, tỉ lệ thức nào đúng:

a/m p q n b/m q n p

c/

n

q m

p

 d/m n p q..m n

Bài 3: Trong các cách viết sau, cách viết nào đúng:

q

p d

c b

a



d c

b a d

b c

a d

c b

a













b q

a p d b

c a q

p d

c b

a

















5 4 3 5 4 3

z y x z y x











Bài 4: Điền vào ô trống:

a/ Với a  0, hãy chọn 2 trong 3 số a2 ; (-a)2 ; -a2 điền vào ô trống sao cho tỉ lệ thức đúng:

3 3 3

3 a ;( a) a a

















b/ Với a  0, hãy chọn 2 trong 3 số a4 ; (-a)4 ; -a4 điền vào ô trống sao cho tỉ lệ thức đúng:















 3 3 3 ( )3

a a

Với bài tập này, nhiều học sinh sai do không nắm chắc kiến thức về lũy thừa và kiến thức về tỉ lệ thức

Giáo viên cần lu ý cho học sinh:

- Lũy thừa bậc chẵn của hai số đối nhau thì bằng nhau

a2n = (-a)2n (n  N)

- Luỹ thừa bậc lẻ của hai số đối nhau thì đối nhau

a2n+1 = -[(-a)2n+1] (n  N)

- (-a)2n = - a2n  a = 0

Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên –THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa

Dạng 2: Lập tỉ lệ thức:

Mục đích: - Là kỹ năng cần thiết đối với học sinh.

- Là bài tập quan trọng ứng dụng khi học hình học 8 về định lý Ta – Let

và tam giác đồng dạng

Ví dụ: Cho ba số 6 ; 8 ; 24

a/ Hãy tìm số x sao cho x cùng với ba số trên lập thành một tỉ lệ thức ?

b/ Có thể lập đợc bao nhiêu tỉ lệ thức?

Giải:

a/ Trong ba số 6 ; 8 ; 24 ta có 3 cách chọn ra tích hai số rồi lập đẳng thức với tích của số còn lại với x

6 8 = 24 x  x = 2

6 24 = 8 x  x = 18

8 2 4 = 6 x  x = 32 b/ Với đẳng thức 6 8 = 24 2 ta lập đợc 4 tỉ lệ thức

6

24 2

8

; 6

2 24

8

; 8

24 2

6

; 8

2 24

6









Tơng tự với các đẳng thức 6 24 = 8 18 và 8 24 = 6 32

Ta có tất cả là 3 4 = 12 tỉ lệ thức

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Lập tất cả các tỉ lệ thức có đợc từ các đẳng thức sau:

a/ 5 (-14) = (-35) 2

b/ 0,18 4,25 = 0,45 1,7

Bài 2: Lập tất cả các tỉ lệ thức có đợc từ các đẳng thức sau:

12 : (- 54) = ( -6,5) : 29,25

Bài 3: Lập tất cả các tỉ lệ thức có đợc từ các số sau:

a/ 3 ; 6 ; 12 ; 24

Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên –THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa

b/ 0,4 ; 0,45 ; 3,16 ; 3,555

Bài 4: Lập tất cả các tỉ lệ thức từ 4 trong 5 số sau:

a/ 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32

b/ 0,2 ; 0,6 ; 0,18 ; 0,54 ; 0, 162

c/ 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243

Để giải loại bài tập này, học sinh phải vận dụng tính chất thứ 2 và 3 của tỉ lệ thức

Lu ý học sinh khi lập tỉ lệ thức phải bảo đảm:

+ Các tích chéo bằng nhau hay tích các trung tỉ luôn bằng tích các ngoại tỉ

+ Lập đợc một tỉ lệ thức đúng, theo tính chất hoán vị ta lập đợc 3 tỉ lệt hứuc còn lại

Với bài tập 4, học sinh hay mắc lỗi

+ Viết thiếu tỉ lệ thức

+ Bài 4b viết tích các số thập phân, học sinh hay nhầm 0,2 0,162 = 0,6 0,54, dẫn đến viết sai tỉ lệ thức

Giáo viên nên hớng dẫn học sinh giải theo các bớc sau:

Bớc 1: Lập đẳng thức hai tích bằng nhau

Bớc 2: Lập 1 tỉ lệ thức

Bớc 3: Lập 3 tỉ lệ thức còn lại

Dạng 3: Tìm các số x, y, z …

Mục đích: Dựa vào tính chất của tỉ số hoặc định nghĩa và tính chất của tỉ lệ

thức để tìm thành phần cha biết của tỉ số hoặc tỉ lệ thức

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y, z … là các ph

Ví dụ 1: Tìm x trong tỉ lệ thức:

5

7 3

5







x x

Giải:

Cách 1: Nhân chéo

Nghiªm §ç Quyªn, §inh BÝch Liªn –THCS NguyÔn Trêng Té - §èng §a

5

7 3

5







x

x

 ( x + 5) 5 = ( x – 3) 7

 5x + 25 = 7x – 21

 25 + 21 = 7x – 5x

 46 = 2x

 x = 23

C¸ch 2: ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau

23 3 5 4

4 5 3

4 2

8 5

7

) 3 ( ) 5 ( 5

3 7

5 5

7 3 5









































x x

x x

x x

x x

C¸ch 3: Chia tö cho mÉu

5

7 3

5







x

x

5

2 1 3

8







x

23

20 3

20

8 5

2 3 8



















x x x

VÝ dô 2: T×m x, y biÕt 3x = 5y vµ y – x = 14

Gi¶i:

C¸ch 1: ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau













































21 3 7

35 5 7

7 2

14 5 3 3 5 5 3

y x

x y y x y x

C¸ch 2: Tõ 3x = 5y 

3 5

y x



§Æt

















k y

k x k

y x

3

5 3

Mµ y – x = 14  3k – 5k = 14

 -2k = 14

 k = -7

Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên –THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa

Vậy x = 5 (-7) = -35 và y = 3 (-7) = -21

Cách 3: Từ y – x = 14  y = 14 + x

3x = 5y 

3 5

y x

2

14 5

3

14 3

14









x

 x = 5 (-7) = -35

y = -35 + 14 = -21

Cách 4: Từ 3x = 5y  x = y

3 5

Mà y – x = 14  y - y

3

5

= 14

3

2 : 14 14

3

2















 









y y

.( 21 ) 35

3

5









 x

Ví dụ 3: Tìm các số x, y, z biết rằng:

7 5

; 4 3

z y y x



 và 2x + 3y – z = 168

Giải:

Trớc tiên ta phải biển đổi để mẫu của hai tỉ số chứa y bằng nhau

28 20 15 28

20 7

5

20 15 4

z y z y

y x y x

























áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:











































84 3 28

60 3 20 45 3 15

3 62

186 28 60 30 3 2 60

3 30

2 28 20 15

z y x

z y x y x z y x

Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm x biết:

Nghiªm §ç Quyªn, §inh BÝch Liªn –THCS NguyÔn Trêng Té - §èng §a

n

x a m

a x d

x

x x

x c

x

x b

x x

a





























/

; 3

2 2

1 /

4

4 25

4 /

; 10

1 1

8 /

Bµi 2: T×m x, y, z biÕt :

z y x z

y x y

z x x

z y h

z y x z y x z y x g

z y x z y x e

xyz z y x d

xy y x c

z y x z

y y

x b

z y x z y x a















































































1 3

2 1

/

48

; 11

20 15 9

12 20 7

15 12 /

585

; 3 7 5 /

20

; 5 9 12 /

90

; 5 2 /

100 2

5 2

; 8

5

; 20

7 /

62 4 3

; 9 3 4 /

2 2 2

Bµi 3: Cho 41 22 32









x T×m x, y, z trong c¸c trêng hîp sau:

a/ x + y + z = 17 b/ x y = 12

c/ 2y2 – ( z + 5)2 = -25

Bµi 4: T×m cÆp sè (x , y) th¶o m·n:

x

y x y

x

11

5 3 4 10

1 3 3









Bµi 5: T×m c¸c sè h÷u tØ x, y , z tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn:

11

4 3 7

, 1

7 , 0 2 , 1 13

1









vµ x – 0,9y – 0,7z = 7,7

Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên –THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa

Dạng 4: Chứng minh tỉ lệ thức

Mục đích: Củng cố, khắc sâu kiến thức tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của

dẫy tỉ số bằng nhau

Rèn kỹ năng biến đổi tỉ lệ thức

Giúp học sinh phân biệt đợc đâu là giả thiết ( điều đề bài cho), đâu là kết luận ( điều phải chứng minh) để các em trình bày chính xác

Rèn t duy chứng minh một bài toán bằng nhiều cách

Ví dụ: Cho tỉ lệ thức

d

c b

a

 Chứng minh rằng

d c

c b a

a





Giải:

Cách 1: ad bc

d

c b

a







Xét tích a ( c – d) và c (a –b)

Ta có a ( c – d) = ac – ad và c ( a – b) = ac - bc

 a ( c – d) = c ( a – b) 

d c

c b a

a





Cách 2:

d

b c

a d

c b

a





áp dụng tính chất tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:

d c

c b a

a d c

b a d

b c

a















Cách 3: Đặt

















dk c

bk a k

d

c b a

Ta tính các các tỉ số

d c

c b a

a





d c c b a a k

k k

d dk d

dk dk d

c c

k k k

b bk b

bk bk b

a a











































1 )

1 (

1 )

1 (

Cách 4: Từ

d

c b a



Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên –THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa

d c

c b a

a c

d c a

b a

c

d a

b c

d a b



























Bài tập áp dụng:

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Bài 1: Cho

d

c b

a

 Chứng minh rằng:

qd pb

qc pa nd mb

nc ma d

d c

b a d c

b a c

cd

ab d

c

b a b

d c

b a d c

b a a





























































/

; /

/

; 3 5

3 5 3 5

3 5 /

3 3

3 3 3 2

Bài 2: Cho

d c

d c b a

b a

3 4

3 4 3 4

3 4











Chứng minh rằng:

d

c b

a



Bài 3: Chứng minh rằng: Từ

5 4 5

5 4

b

b a

a















Bài 4:

2 2

2 2

2 2

8 11

3 7 8

11

3 7 :

6 4 3 2

d c

cd c

b a

ab a

CMR

d c b a Cho

















Bài 5: Cho a ( y + z) = b (z + x) = c ( x + y) với a, b, c  0

Chứng minh rằng:

) ( ) ( )

y x a c b

x z c b a

z y

















Bài 6: Cho 4 số a, b, c, d  0 sao cho b2 = ac ; c2 = bd

Chứng minh rằng:

Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên –THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa

d c b

c b a d c b

c b a b

d c b

c b a b

a a





























3 3 3

3 3 3

3 3

3

3 3 3

/

64 5

64 5 /

Bài 7: Cho

cd

ab d c

b a







2 2

2 2

với a, b, c, d  0

Chứng minh rằng

d

c b

a

 hoặc

c

d b

a



Bài 8: Chứng minh rằng nếu

c b a

z c

b a

y c

b a

x















z y x

c z

y x

b z

y x

a















Dạng 5: Toán về chia tỉ lệ

Mục đích: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải

các bài toán thực tế, bài toán đố

Ví dụ: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia trồng cây Biết rằng một nửa số cây

lớp 7A trồng bằng

3

2

lần số cây của lớp 7B trồng và bằng

4

3

số cây lớp 7C trồng Số cây lớp 7B trồng ít hơn tổng số cây hai lớp 7A và 7C là 55 cây Tính số cây trồng của mỗi lớp

Giải:

Gọi x, y, z lần lợt là số cây trồng của lớp 7A, 7B, 7C (x, y, z Z+)

Ta có

4

3 3

2 2

z y x



 và x + z – y = 55

8 9 12

6

1 4

3 6

1 3

2 6

1 2

z y x

z y

x













áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:







































40 5 8 45 5 9

60 5 12

5 11

55 9 8 12 8 9 12

z y x

y z x z y x

(Thỏa mãn điều kiện)

Nghiêm Đỗ Quyên, Đinh Bích Liên –THCS Nguyễn Trờng Tộ - Đống Đa

Vậy số cây trồng của lớp 7A, 7B, 7C lần lợt là 60, 45 và 40 cây

Để giải bài tập này giáo viên cần hớng dẫn học sinh thực hiện theo các bớc sau:

+ Bớc 1: Đặt các đại lợng cần tìm là x, y, z … là các ph

+ Bớc 2: Dựa vào đầu bài để lập tỉ lệ thức hoặc dẫy tỉ số bằng nhau và có điều kiện kèm theo

+ Buớc 3: Dựa vào tính chất dãy tỉ số bằng nhau tìm x, y, z … là các ph

+ Bớc 4: So sánh với điều kiện và trả lời

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Hai đoàn tầu xuất phát từ hai thành phố A và B cách nhau 550 km, đi

ngợc chiều nhau và gặp nhau tại địa điểm C Vận tốc của chúng tỉ lệ với 4 và 5, còn thời gian chạy của chúng tỉ lệ với 5 và 7 Tính khoảng cách từ AC

Bài 2: Tìm hai phân số tối giản biết tổng của chúng là

2431

267

1 , tử số của chúng

tỉ lệ với 3 và 7, mẫu của chúng tỉ lệ với 13 và 17

Bài 3: Tìm ba phân số tối giản biết tổng của chúng là

60

7

3 , tử số của chúng tỉ

lệ với 2, 3 và 5, mẫu của chúng tỉ lệ với 5, 4 và 6

Bài 4: Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65km/h, cùng lúc đó một xe máy

chạy từ B đến A với vận tốc 40km/h Biết khoảng cách AB là 540km và M là trung

điểm của AB Hỏi sau khi khời hành bao lâu thì ô tô cách M một khoảng bằng một nửa khoảng cách từ xe máy đến M

Dạng 6: Tính giá trị biểu thức:

Mục đích: Vận dụng tính chất của tỉ số, dãy tỉ số bằng nhau để tính giá trị của

biểu thức theo điều kiện

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức P x x y y z z

3 2

3 2









 biết x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3

Giải :

x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3

3 4 5

z y x







áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: