SKKN HƯỚNG dẫn học SINH GIẢI một số DẠNG bài tập về tỉ lệ THỨC

Giải pháp mới của tôi là: "Hướng dẫn hoc sinh giải một số dạng bài tập về tỷ lệ thức" Thực trạng của vấn đề đòi hỏi có giải pháp mới để giải quyết: Qua nhiều năm giảng dạy môn toán 7,

A PHẦN MỞ ĐẦU

I Đặt vấn đề

1 Thực trạng của vấn đề đòi hỏi có giải pháp mới để giải quyết.

Giải pháp mới của tôi là:

"Hướng dẫn hoc sinh giải một số dạng bài tập về tỷ lệ thức"

Thực trạng của vấn đề đòi hỏi có giải pháp mới để giải quyết:

Qua nhiều năm giảng dạy môn toán 7, đặc biệt hai năm học liên tiếp( 2016-2017 và 2017-2018 ) và tham khảo đồng nghiệp, bản thân tôi vànhiều GV cũng thấy khó dạy phần toán về tỉ lệ thức để HS thấy dễ hiểu.Còn HS thấy khó và rất không thích học toán về tỉ lệ thức Kết quả họctập của học sinh được phản ánh rõ nét thông qua bài kiểm tra, bài thi củahọc sinh Có bài lời giải độc đáo, sáng tạo, chặt chẽ, trình bày sáng sủakhoa học, song cũng có nhiều lời giải sơ sài, đơn giản, thiếu chặt chẽ vàthiếu sự sáng tạo.Tôi rất băn khoăn, suy nghĩ làm thế nào để dạy HS thấytoán về tỉ lệ thức dễ hiểu, dễ học Tôi đã mạnh dạn phân dạng và sắp xếpbài tập tỷ lệ thức sao cho các em có thể giải được bài tập tỷ lệ thức mộtcách dễ dàng nhất

2 Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới

Giúp cho học sinh có được phương pháp giải toán đạt hiệu quả cao, rènđược kỹ năng, vận dụng kiến thức suy luận logic chặt chẽ khi giải toán

Để các em thấy yêu thích loại toán về tỉ lệ thức, từ đó có đam mê học toán.Thông qua đó hình thành phẩm chất, nhân cách và năng lực mới của HS

3 Phạm vi, đối tượng nghiên cứu

- Trong chương trình toán đại số lớp7

- Học sinh lớp 7C trường THCS NHƯ QUỲNH

II Phương pháp tiến hành

1 Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn

 Cơ sở lý luận:

Bất kỳ một môn học nào trong trường phổ thông cũng có nhiệm vụ làthông qua đặc điểm bộ môn của mình, phối hợp với các bộ môn khác và tất

cả các hoạt động trong nhà trường mà góp phần giáo dục toàn diện học sinhnhằm đào tạo những con người mới có tri thức, phẩm chất, năng lực tốt đẹp

để góp phần xây dựng quê hương đất nước

Môn Toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong trường phổ thông, cókhả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ

Do tính chất trừu tượng, tính chính xác, tư duy suy luận logic, Toán học là

"môn thể thao trí tuệ" rèn luyện cho học sinh trí thông minh sáng tạo

 Cơ sở thực tiễn

- Những thuận lợi:

Ban giám hiệu là những nhà quản lý có chuyên môn vững vàng Tổchuyên môn sâu sát, quan tâm bộ môn toán Bản thân tôi và đồng nghiệpcùng chuyên môn là GV yêu nghề và có kinh nghiệm giảng dạy

Học sinh ngoan ngoãn, chăm chỉ, ham học hỏi, có nhận thức khá Đặcbiệt các em rất thích học môn toán Các em có mong muốn học hiểu khôngnhững kiến thức cơ bản mà còn thích học toán nâng cao

Phụ huynh học sinh quan tâm đến học tập của các con

Trường THCS Thị trấn Như Quỳnh nằm trên địa bàn trung tâm kinh

tế, chính trị, văn hóa của huyện Văn Lâm, bên cạnh những mặt tích cực thìcòn rất nhiều tác động mặt trái đến các em như các quán internet, nhiều tròchơi lôi cuốn làm cho các em phân tán việc học

Bên cạnh đó, một số học sinh còn có tính ham chơi, chưa đọc sách,chưa làm bài tập, chưa đam mê tìm tòi học hỏi

2 Thời gian tạo ra giải pháp, các biện pháp tiến hành.

- Thời gian tạo ra giải pháp: Năm học 2017-2018

- Các biện pháp tiến hành: khảo sát thực tiễn, đánh giá, dùng bảngđối chiếu, trao đổi kinh nghiệm, trao đổi tài liệu, thu thập và xử lýthông tin

Biện pháp khảo sát thực tiễn bắt đầu vào phần luyện tËp nhằmphát hiện, đánh giá chất vốn có của học sinh Mặt khác lưu giữ kết quả đểđánh giá từng bước tiến bộ của học sinh

Dưới đây là đề kiểm tra khảo sát

Câu 1 Tìm x, y, z biết:

5

z 3

150 5 3 2

z y x 5

z 3

y 2

3   y 

y

75 15 5 15

x



 Ta có x = 3k; y = 4k

 x.y = 3k 4k = 12k2 = 300

5 k

15 5 3 x

4 y

15 ) 5 (

3 x

Câu 3

12 9 4 3

y x y x







20 12 5 3

z y z y

y 9

6 20 2 3 9 2

z y x 2 20

z 12

y 9

20

36 3 12 3

12

27 3 9 3

y y

x x

Kết quả thu được như sau:

B ng 1ảng 1

Số lượng % Số lượng % Số lượng %

+ Đối tượng I (30 em chiếm 88%) chỉ mới làm được bài 1

+ Đối tượng II (2 em chiếm 6%) các em đã làm được bài 1 và bài 2.Song vẫn còn một số em mắc sai lầm:

12

xy 4

y 3

x





+ Đối tượng III (2 em chiếm 6%) các em đã biết hướng làm câu 3 làphải tìm tỷ số trung gian để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau, nhưng tới đó lạikhông biết làm tiếp như thế nào

B.PHẦN NỘI DUNG

I Mục tiêu

Tôi nghiên cứu sáng kiến này nhằm ba mục đích chính:

- Phân dạng các bài tập về tỉ lệ thức và sắp xếp các bài tập từ dễ đếnkhó để GV dễ dạy, HS học dễ hiểu

- Hướng dẫn HS suy nghĩ, phân tích để tìm ra một định hướng, mộtquy luật nào đó làm cơ sở cho việc chọn lời giải

- Chỉ ra một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau

Môn vật lý 7, 9 phần Quang học.

- Hiệu quả sau áp dụng:

Chất lượng dạy và học được nâng cao, đối với bài tập về tỉ lệ thức

GV thấy dễ dạy, HS học thấy dễ hiểu và yêu thích loại toán này

HS vận dụng vào giải các bài tập toán và bài quang hình học trongmôn vật lý dễ dàng

- Kết quả thực hiện

Sau khi thực hiện đề tài tôi thấy:Các em làm bài tập toán với mộtphong cách nghiên cứu, hứng thú học tập và có nhiều sáng tạo trong cáchgiải Đặc biệt là với mỗi bài toán đưa ra các em luôn tìm hiểu các cách giảikhác nhau Từ đó tìm được phương án tối ưu để giải toán

Và điều dễ thấy nhất đó là kết quả thu được qua các bài kiểm tra Bàikiểm tra sau bao giờ cũng khả quan hơn bài kiểm tra trước về trình độ nhậnthức, về phương pháp giải, về tính thông minh sáng tạo

Dưới đây là một ví dụ: Tôi cho một số bài toán để kiểm nghiệm nhưsau:

a



Câu 3 Tổng các lập phương của ba số nguyên là 1009 Biết rằng số thứ

nhất và số thứ hai tỷ lệ với 2 và 3, tỷ số giữa số thứ nhất và số thứ

 21x = 14y = 10z

16

32 21 15 10

z y x 21

z 15

y 10

a

 (vì b  0; d  0)Câu 3 Gọi 3 số phải tìm là x, y, z (x, y, z  Z; x, y, z  0)Theo bài ra ta có: x3 + y3 + z3 = 1009

và x : y = 2 : 3 

6

y 4

x 3

y 2

x 9

4 z

y 4

y 4

y = 6.1 = 6

z = 9.1 = 9Vậy 3 số nguyên đó là 4; 6; 9Kết quả thu được qua bài kiểm tra thật đáng phấn khởi (xem bảngdưới đây)

Bảng 2

Tổng số Đối tượng I Đối tượng II Đối tượng III

Đối tượng I: Có 2 em chỉ mới làm được câu 1

Đối tượng II: Có 16 đã làm được hai câu 1 và 2 hoặc 1 và 3

Đối tượng III: Có 16 em đã làm hoàn chỉnh cả 3 bài;

Có 4 em gặp lúng túng khi đến

9

z 6

y 4

x





2 Các giải pháp thực hiện

Sau khi học xong tính chất của tỷ lệ thức, tôi đã cho học sinh củng

cố để nắm vững và hiểu thật sâu về các tính chất cơ bản, tính chất mở rộngcủa tỷ lệ thức, của dãy tỷ số bằng nhau Sau đó cho học sinh làm một loạtnhững bài toán cùng loại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó đểlàm cơ sở cho việc chọn lời giải, có thể minh hoạ điều đó bằng các dạngtoán, bằng các bài toán từ đơn giản đến phức tạp sau đây:

 và x2 - y2 = 4

a) Khởi điểm bài toán đi từ đâu, nếu đi từ tính chất cơ bản thì nêntheo tính chất nào? Nếu đi từ định nghĩa thì làm như thế nào? Họcsinh thường mắc sai lầm như sau:

45 9

5

18 9 2

9 10

90 5 2

5

k x k y x

5

2 5

3 k

* Với k = 3  x = 2.3 = 6

y = 5.3=15

* Với k = -3  x = 2.(-3) = -6

y = 5.(-3) = -15Vậy (x;y) = (6; 15); (-6; -15)

Hướng thứ hai:

Khái quát hoá toàn bộ tính chất của tỷ lệ thức, có tính chất nào liênquan đến tích các tử số với nhau và học sinh đã chọn lời giải theo hướngthứ hai

xy 5

y 2

x 5

y 2

xy 25

y 4

y

; 3

y 2

y

; 4

y 3

y

; 3

y 2

y

; 5

y 3

3 5

1 2 3 2

y x

y x

1 5 4 5

z y z y

z y x 12

z 15

y 10

z = 12.1 = 12Vậy x = 10; y = 15; z = 12

b) Để giải được phần b của bài toán, ngoài việc tìm được tỷ số trunggian để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau Tôi còn hướng cho các em tìm hiểuxem có gì đặc biệt trong tổng 2x + 3y - z, để giúp các em nhớ lại tính chấtcủa phân số bằng nhau Từ đó các em đã chọn được lời giải của bài toáncho thích hợp

4 5

1 3 4 3

y x hay y x y x

1 7 4

1 5 7 5

z y hay z y z y

z y x 28

z 20

y 15

Với cách làm như vậy các em đã biết vận dụng để chọn lời giải phùhợp cho phần c và d

Bài toán 3: Tìm x, y, z biết

Hướng thứ nhất ( thường dùng): Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từđẳng thức giữa hai tích ta có lời giải sau:

Ta có:

3 8

1 5 3 5

y x hay y x y x

1 8 5 8

z y z y

z y x 15

z 24

y 40

Ta có BCNN(3; 5; 8) = 120

Từ 3x = 5y = 8z

120

1 z 8 120

1 y 120

1

79

158 15 24 40

z y x 15

z 24

y 40

8

1 5

1 3 1

z y x

8 1 z

5 1 y

3 1

1



z = 240 30 8

1

Vậy x = 80; y = 48; z = 30

Qua ba hướng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải toán và từ

đó các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic Cũng từ đó giúpcác em phát huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải các phần b và c

* Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút Yêu cầu các

em phải có tư duy một chút để tạo lên tích trung gian như sau:

+ Từ 2x = 3y  2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y

+ Từ 5y = 7z  5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z

 10x = 15y = 21z

210 15 60

15

1 7 21

1 5 10

1 3

y z 5 x

21 1 z

15 1 y

10 1

1



z = 840 40 21

1

Vậy x = 84; y = 56; z = 40

Các em đã tìm hướng giải cho phần c và tự cho được ví dụ về dạngtoán này

Bài toán 4 Tìm x, y, z biết rằng

2

2 z 3

2 y 5

1 x

2 y 2

1 x

4 y 3

1 x

Với phương pháp phân tích, hệ thống hoá đã giúp cho các em nhìn rangay và có hướng đi cụ thể

Hướng thứ nhất: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy

số bằng nhau có lời giải của bài toán như sau:

Ta có:

1 9

3 12 9

3 z y x 2

6 5

) 2 z ( 4 y 2 1

x

6

4 y 3

2

) 2 y ( 2 2

2 z 3

2 y 5

2 y 5

1 x

y = 3 1 + 2 = 5

z = 2 1 + 2 = 4

Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng

để tự giải phần (b) và (c) của bài toán 4

Bài toán 5: Tìm x, y, z biết rằng

2 y x

z 1

z x

y 1

z y

1 z

3 y x y

2 z x x

1 z y

Đối với bài toán 5 có vẻ hơi khác lạ Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu,

đi từ kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy có chọn lọc đểxuất hiện x + y + z Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiệndãy tỷ số bằng nhau và đã có lời giải của bài toán phần (b) như sau:

Giải: Điều kiện x, y, z  0

Ta có:

2 z y x

) z y x ( 2 z

y x

3 y x 2 z x 1 z y z

3 y x y

2 z x x

1 z

2 1 5 , 0 2

x y

 0,5 - x + 1 = 2x  1,5 = 3x  x = 0,5

2 y

2 y 5 , 0 y

2 z x

 y =

6 5

2 z

3 z 5 , 0 z

3 y x

-5)

Dạng 2 Chứng minh tỷ lệ thức

Việc hệ thống hoá, khái quát hoá các kiến thức của tỷ lệ thức còn cóvai trò rất quan trọng trong việc chứng minh tỷ lệ thức cơ sở với hệ thốngcác bài tập từ đơn gản đến phức tạp, từ cụ thể, cơ bản đến kiến thức trừutượng, mở rộng đã cho các em rất nhiều hướng đi để đến tới hiệu quả vàyêu cầu của bài toán

Phương pháp 3: Dùng t/c hoán vị , t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của

đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành

vế phải

Phương pháp 4: dùng t/c hoán vị, t/c của dãy tỷ số bằng nhau, t/c của đẳng

thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh

  (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

Bài toán 2 Cho tỷ lệ thức

d

c b

a

 Hãy chứng minh

a)

d c

d c b a

b a

d 5 c 2 b a 3

b a 2

d c 2 b a 2

b a 2

d c

d c b a

b a

1 k

1 k ) 1 k ( d

) 1 k ( d d dk

d dk d

c

d

c

1 k

1 k ) 1 k ( b

) 1 k ( b b bk

b bk b

* Hướng thứ hai: Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỷ

lệ thức và tính chất cơ bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải như sau:

a

 (hoán vị các trung tỷ)

=

d c

b a d c

b a

d c b a

b a

d c

d c b a

b a

b a

2 2

2 2

c

b a

c

b a

) d c (

) b a ( d c

b a

Nếu:

bd

ac d

c b

a d

c b

giải của bài toán phần c

Giải:

Từ

d

c b

a

d

b c

2 2

2 2

2

2 2

2

d cd 2 c

b ab 2 a cd 2

ab 2 d

b b

a cd

ab d

b c

c

b a

Tương tự bài toán phần (c) học sinh rất dễ dàng hiểu và trình bàyđược lời giải phần a, b, d và hướng cho các em tự tìm hiểu các phươngpháp khác để chứng minh tỷ lệ thức

Bài toán 4: Cho

c

b b

a

 Hãy chứng minh

c

a c b

b a

2 2

2 2

* Hướng thứ nhất: Sử dụng tính chất cơ bản rồi thay thế vào vế trái,biến đổi vế trái bằng vế phải ta có lời giải sau:

) c a ( a c ac

ac a c b

b a

2 2

2 2

2 2

b a c

b b

a c

b c

b b

a b

a

2 2

2 2

2 2

2 2

a b

b a

2 2

2 2

Dạng 3 Các bài toán về đại lượng tỷ lệ thuận và đại lượng tỷ lệ nghịch Bài toán 1

Ba kho A, B, C chứa một số gạo Người ta nhập vào kho A thêm 1/7

số gạo của kho đó, xuất ở kho B đi 1/9 số gạo kho đó, xuất ở kho C đi 2/7

số gạo của kho đó Khi đó số gạo ở 3 kho bằng nhau Tính số gạo ở mỗikhó lúc đầu Biết rằng kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ

Để giải bài toán này tôi đã cho học sinh đọc kỹ đề bài, tóm tắt, phântích kỹ mối tương quan giữa các số liệu để tìm ra hướng giải sau:

Giải

Gọi số gạo lúc đầu ở mỗi kho A, B, C lần lượt là x, y, z tạ gạo (x, y, z > 0)

Số gạo lúc sau ở kho A là: x + x

7

8 x 7

8 x 7

8



 (1) và y- x = 20Chia cả 3 tỷ số của (1) cho BCNN (8; 5) = 40 ta có:

2 10

20 35 45

x y 56

z 45

y 35

Chẳng hạn:

Thay vì kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo bằng các dữ liệusau:

1) Tổng số gạo ở 3 kho là 272 tạ

2) Số gạo ở kho C hơn kho A là 42 tạ

3) Số gạo ở kho B ít hơn kho C là 22 tạ

Thì ta sẽ được các bài toán mới có cùng đáp số

* Dạng chuyển động

Bài toán 2

Một người dự kiến đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian dự định.Thực tế khi đi phải giảm 1/4 vận tốc so với dự định nên vào đến B muộnhơn thời gian dự định là 30 phút Tính thời gian dự định lúc đầu

Trước khi giải bài toán này tôi đã cho học sinh đọc đề để hiểu kỹ đềbài Tìm hiểu mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian của một chuyển độngtrên một đoạn đường Chú ý rằng: Trên cùng một quãng đường vận tốc vàthời gian là hai đại lượng tỷ lệ nghịch Từ đó thiết lập được tỷ lệ thức:

Giải: Gọi v1 là vận tốc dự định, t1 là thời gian dự định; v2 là vận tốc thực

đi; t2 là thời gian thực đi

v1; v2 cùng đơn vị; t1; t2 cùng đơn vị (v1> 0; v2> 0; t1> 0; t2> 0)

Cùng quãng đường đi thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỷ lệnghịch Do đó:

1 2

2

1

t

t v

v

 mà v2 = v 1

4 3

3 4 3

4 4

1 2

1

1 1

v t

t

(theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)

90 3 30 t 3

1 t

30

1 1

Khai thác lời giải của bài toán 2 học sinh có thể dễ dàng giải đượccác bài toán sau:

bh 2

h h 5

 ha + hb = 5k + hb + hc = 7k

hc + ha = 8k _

2(ha + hb + hc) = 20k  ha + hb + hc = 10k

mà ha + hb = 5k  hc = 5k

hb + hc = 7k  ha = 3k

hc + ha = 8k  hb = 2kThay ha, hb, hc vào (1) ta có:

2

k 5 c 2

k 2 b 2

k a

b 10

a 30

1 c 2 30

1 b 2 30

1 a

Theo đầu bài ta có:

Z 6

c b a 3 2 1

c b a 3

c 2

b 1

18 c b a

9 c b a

6

9 3

c 2

b 1

c 2

b 1

c 2

b 1

Vậy số phải tìm là 396 hoặc 936

Với phương pháp hệ thống hoá các kiến thức, giáo viên cần làm chohọc sinh hiểu được mối quan hệ chặt chẽ giữa các kiến thức với nhau Từ

đó các em mới vận dụng tốt, để thao tác tư duy tốt và giải toán đạt hiệu quảcao

Dạng 4: Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số

bằng nhau

1) Sai lầm khi áp dụng tương tự

0 5

2 4 5 2

2 2

Suy ra a = 54, b = 81, c = 108 bài làm đúng như bài tập 4 dạng 1

2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0

Khi rút gọn h/s thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếugiá trị cần tìm

Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là a b c

b c c a a b Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó

h/s thường bỏ quên đk a + b + c = 0 mà rút gọn luôn bằng 1

2 ta phải làmnhư sau

+ Nếu a + b + c = 0 thì b + c = -a; c + a = -b; a + b = -c

nên mỗi tỉ số a ; b ; c

b c c a a b   đều bằng -1+ Nếu a + b + c 0 khi đób c a c a b a b c 2a b c a b c   12

Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1

Bài tập 4: Cho biểu thức P x y y z z t t x

Ở cách 1 học sinh mắc sai lầm như bài tập 3

Ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y + z + t = z + t + x = x + y + t =

x + y + z

Phải làm đúng như sau :

Nếu x + y + z + t  0 suy ra y + z + t = z + t + x = x + y + t = x + y + z suy ra x = y = z = t suy ra P = 4

Nếu x + y+ z + t = 0  x + y = - (z + t) ; y + z = - (t + x) Khi đó P = - 4

Ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách như nhau Nhưng ở bài tập 3 nên dùngcách 1, bài tập 4 nên dùng cách 2