Hướng dẫn học sinh lớp 7 mở rộng, nâng cao và vận dụng các bài tập về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN GIÚP HỌC SINH LỚP 7 PHÁT TRIỂN, NÂNG CAO VÀ VẬN DỤNG CÁC BÀI TẬP VỀ TOÁN TỈ LỆ THỨC VÀ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN GIÚP HỌC SINH LỚP 7 PHÁT TRIỂN, NÂNG CAO VÀ VẬN DỤNG CÁC BÀI TẬP VỀ TOÁN TỈ LỆ THỨC

VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Người thực hiện: Đỗ Thị Dung Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường TH và THCS Xuân Thành

SKKN thuộc môn: Toán

Mục lục

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2

2.3.3.2 Dạng 2 Tính giá trị của biểu thức

2.3.3.3 Dạng 3 :Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số. 6-11

2.3.3.4 Dạng 4: Vận dụng trong giải toán thực tế. 11-13

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động

giáo dục, bản thân đồng nghiệp và nhà trường.

13-14

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài.

Toán học ngày nay giữ một vai trò quan trọng đối với cách mạng 4.0 Nóngày càng thu hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở trườngphổ thông và kích thích sự ham muốn của học sinh ở mọi lứa tuổi

Luật Giáo dục 2005 (điều 5) quy định: “ Phương pháp giáo dục phải pháthuy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡngcho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý

chí vươn lên” [1]

Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “ giúp học sinh phát triển toàn diện vềđạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cánhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xãhội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinhtiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động , tham gia xây dựng và bảo vệ

Tổ quốc” Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo quyết định số16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ giáo dục và Đào tạocũng đã nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của họcsinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh; điều kiệncủa từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợptác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,

đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh” [2]

Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học cơ sở có những tính tíchcực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng lực tự học, khả năng thực hành,lòng say mê học tập và ý chí vươn lên thì đòi hỏi người giáo viên phải có mộtphương pháp dạy học đạt hiệu quả cao đối với từng bài dạy

Tôi là một giáo viên dạy môn Toán khi được phân công giảng dạy môntoán 7 và dạy đến phần giải toán về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằngnhau thì phần bài tập trong sách giáo khoa phần lớn chỉ tập trung vào một số bàitập cơ bản vì vậy khi mở rộng nâng cao các dạng bài tập học sinh ban đầuthường lúng túng khi tìm phương pháp giải và khi thay đổi điều kiện bài toánban đầu cũng khó khăn khi tìm cách giải quyết vấn đề từ đó nếu không tháo gỡđược sẽ tạo ra tâm lí ngại và “sợ” loại toán này Chính vì vậy từ những kinhnghiệm mà bản thân đã đúc kết được và giúp học trò tự tin và hứng thú học dạng

toán này nên tôi đã nghiên cứu và viết sáng kiến với đề tài: “Hướng dẫn học

sinh lớp 7 mở rộng, phát triển và vận dụng các bài tập về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trong quá trình dạy khi học sinh tiếp cận đến phần giải toán về tỷ lệ thức

và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau học trò vẫn còn sai lầm trong lời giải, khigặp các dạng toán hơi phức tạp một chút là các em lại sợ làm không được, có emlại thụ động trong việc giải Toán chỉ cần thay đổi một chút đề bài là khó tìmhướng giải quyết Để các em dễ tiếp cận các dạng toán như chứng minh đẳngthức từ một tỷ lệ thức cho trước, chia một số thành các phần tỉ lệ với các số chotrước và tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng từ đó có hứng thú, chủ động tìmtòi và sáng tạo với đơn vị kiến thức này và môn Toán học nói chung, tôi đã

nghiên cứu SKKN: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 mở rộng, phát triển và vận

dụng các bài tập về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”

Giúp học sinh nắm chắc các kiến thức giải toán về tỷ lệ thức và tính chấtcủa dãy tỉ số bằng nhau, áp dụng làm tốt các dạng toán từ đơn giản đến phức tạp.Bên cạnh đó, học sinh có thể vận dụng kiến thức giải toán về tỷ lệ thức và tínhchất của dãy tỉ số bằng nhau để vận dụng giải các dạng toán khác như (thay tỉ sốgiữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên, tìm số hạng chưa biết của một

tỷ lệ thức , tìm các số hạng chưa biết khi cho một dãy tỉ số bằng nhau và tổnghoặc hiệu của các số hạng đó, chứng minh đẳng thức,…) Thông qua việc giảibài tập tập sẽ hình thành cho học sinh kĩ năng phân tích, kĩ năng quan sát, phánđoán, rèn tính cẩn thận, linh hoạt

Khảo sát, kiểm tra lại chất lượng môn Toán lớp mình dạy trong năm họctrước, theo dõi kết quả học tập của các em ở đầu năm học mới, giữa học kì I,kết quả học kì I

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Kiến thức cơ bản của tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

- Các dạng toán nâng cao và vận dụng tính chất của tỉ lệ thức và tính chấtdãy tỉ số bằng nhau

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết

- Phương pháp điều tra, khảo sát, thu thập thông tin

- Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp chuyên gia

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1.Cơ sở lý luận.

Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong nghịquyết Trung ương 4 khoá VII (01-1993), Nghị quyết trung ương 2 khoá VIII(12-1996), được thể chế hoá trong Luật Giáo dục (2005), được cụ thể hoá trong

các chỉ thị của Bộ giáo dục và đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14(4-1999) Luật giáodục, điều 28.2, đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tíchcực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từnglớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhó,rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem

lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” [3] Vì vậy, ngoài việc nắm vững lýthuyết trên lớp học sinh còn phải vận dụng lý thuyết đó một cách hợp lý, khoahọc để giải bài tập Bài tập Toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quanduy vật biện chứng, hứng thú học tập, có niềm tin, phẩm chất đạo đức của ngườilao động Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh đặc biệt làrèn luyện những thao tác tư duy, hình thành những phẩm chất tư duy sáng tạo.Bài tập Toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độclập và trình độ phát triển của học sinh

Dạy Toán, học Toán là quá trình tư duy liên tục, cho nên việc nghiêncứu tìm tòi, đúc kết kinh nghiệm của người dạy Toán và học Toán là không thểthiếu được Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở củanhiều giáo viên Việc truyền thụ kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn nếugiáo viên hiểu ý đồ của sách giáo khoa, giúp học sinh nắm kiến thức một cách

hệ thống, dẫn dắt học sinh đi từ điều đã biết đến điều chưa biết

Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức cũng giúp học sinh say mêhọc Toán, phát huy khả năng tư duy sáng tạo của mình

Trên bục giảng, ở mỗi tiết dạy, để tạo hứng thú cho học sinh, người giáoviên phải luôn tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh so sánh, chọn lọc Từ đórút ra những kiến thức cần nhớ

b d suy ra các tỷ lệ thức :

số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó códạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán.

Khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có: x y z

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo củahọc sinh, rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn Đứng trước một bài toán, học sinhphải có trong mình một vốn kiến thức cơ bản, vững chắc về mặt lý thuyết Cóđược những thủ pháp cơ bản thuộc dạng toán đó, từ đó mới tìm cho mình conđường giải bài toán nhanh nhất Để học sinh có được điều trên thì trước hết phảixuất phát từ người thầy, người thầy phải đầu tư soạn bài theo từng chuyên đềcủa dạng toán một cách cơ bản, sâu rộng, giúp học sinh nhìn nhận từ một bàitoán cụ thể thấy được bài toán khái quát Từ phương pháp giải khái quát thấyđược cách giải một bài toán cụ thể Nhìn thấy được sự liên quan giữa các bàitoán với nhau Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết cơ bản vào giải toán

Qua quá trình giảng dạy nhận thấy học sinh ban đầu gặp khó khăn khi giảidạng toán này tôi đã làm một số khảo sát và có kết quả như sau:

TSHS SL Giỏi % SL Khá % Trung bình SL % SL Yếu % SL Kém %

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy khá nhiều em còn lúng túng khi tìm

ra phương pháp giải các bài tập vận dụng vì vậy nhằm giúp các em nâng cao tưduy và khả năng vận dụng tôi đưa ra một số cách phát triển bài toán vận dụngsau:

1 Chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức cho trước

2 Tính giá trị của biểu thức

3 Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số.

4 Vận dụng trong giải toán thực tế.

2.3.1 Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức, đẳng thức

Phân tích tìm tòi lời giải: Đối với bài toán này ta có thể đặt a c k

b d hoặc biến đổi tỷ lệ thức cho trước để chúng trở thành đẳng thức cần chứng minh.

(áp dụng kết quả của bài 2 )

 Bài toán trên có thể khái quát như sau:

Bài 1.3 : Cho b a d c Các số x, y, z, t thỏa mãn: xayb 0 và zctd  0

d c

b a cd

d c

b a d

b a cd

bd b

ac a

ac a

5 7

5 7 5 7

5 7

2

2 2

bd b

ac a

ac a

5 7

5 7 5 7

5 7

2

2 2

 Nếu giả thiết mở rộng ra từ tỉ lệ thức thành dãy tỉ số bằng nhau lại

vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải:

Bài 1.5: Cho b a b c d c Chứng minh rằng: b a c b d c d a

 Giả thiết có thể thay tỉ lệ thức bằng một đẳng thức

Với dạng này tùy vào đẳng thức đã cho ta có cách biến đổi khác nhau

Bài 1.7: Chứng minh rằng: Nếu a2 bc thì a b a b c a c a

  điều đảo lại có đúng hay không?

Ta có :

cd

ab d c

b a







2 2

2 2

b a b a cd

ab d

c

b a d cd c

b ab a cd

ab

.

2

2 2

2

2

2 2

2

2 2

a ad cb ad ac cb ca bd

ca

bd ca db da

bd bc ad ac

cb ca b a d

d c b

c b a

3 3 3

(Hướng dẫn: Từ giả thiết b2 ac c; 2 bd biến đổi thành dãy tỉ số bằng nhau b a b c d c từ đó biến đổi đến đẳng thức cần chứng minh)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

Nhân cả hai vế với a ta được abc+ ab’c’= ab’c (3)

Cộng vế với vế của hai đẳng thức (2) và (3) ta có điều cần chứng minh

Bài 1.12: Cho dãy tỉ số : bza cy cxb az aycbx ; CMR: xa yb zc

2.3.2 Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức

Ở dạng toán này cần có sự linh hoạt trong biến đổi trong mỗi bài

Bài 2.1: Cho tỉ lệ thức 3x y x y 34

 Tính giá trị của tỉ số x yGiải:

7 9







7 9

5 3

+) Xét a+b+c+d ≠ 0 suy ra b+c+d = a+c+d = a+b+d= b+c+a

Suy ra a = b=c=d nên tính được M = 4

Bài 2.4 : Cho a,b,c đôi một khác nhau và thõa mãn a b b c c a

Bước tiếp theo làm tương tự bài tâp 2.3

Bài 2.5 [8] : Cho các số a,b,c khác 0 thõa mãn ab bc ca

a b b c c aTính giá trị của biểu thức P = ab23 bc32 ca3 2

2 1

2

c x b x a

c bx ax P

c b

b a

số hạng trên giống nhau, vậy làm thế nào để hai tỉ số này có cùng số hạng dưới

( ta tìm một tỉ số trung gian để được xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau),

ta sẽ quy đồng hai tỉ số này về cùng mẫu chung, muốn vậy ta tìm

BCNN(3;4)=12 nên ta biến đổi như sau:

8 12 15 8 12 15 5

x y z x y x 

 Vậy

a Ta biến đổi (1) như sau : 2.( 1) 3.( 2) 3

Giải: Chia các vế của (2) cho BCNN (2;3;4) = 12

3.Tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng

Phương pháp giải: giả sử phải tìm hai số x, y, biết x.y=p và x y a b

Đặt x a k

y  b , ta có x=k.a, y=k.b do đó: x.y=(k.a).(k.b)=p  2 p

k ab

Từ đó tìm được k rồi tính được x và y.

Chú ý: cần tránh sai lầm áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng

Hướng dẫn: Bài này làm tương tự bài 3.9 tuy nhiên ta có thể làm theo cách khác như sau :

Bài 3.12: Tìm x và y, biết x y 25 và x.y=40.

Hướng dẫn: bài này tương tự bài 3.10 biến đổi x y 25 thành

2 5

x y

 và làm tương tự bài 3.10

Nhận xét: Qua các bài tập của Dạng 3 ta có thể đưa ra bài toán tổng quát như

*) Hướng khai thác bài toán trên như sau :

+) Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi điều kiện (2) như :

1 2 1 4 2 6

x

x y



y z



a) 10x 6y 21z và 5xy 2z 28

b) 3x 2y, 7y 5z và x yz 32

c) 2x  3y 5z và xy z 95

d) và 2x3y z124 ,

e) 23x 34y 45z và xyz 49

f) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594;

g) h) 2 3 4

x y z

  và xyz = 648

y x

z x

z

y z

y

x





















Dạng 4: Vận dụng trong giải các bài toán thực tế

Bài 4.1 Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 153 học sinh Số học sinh lớp 7B bằng 8

9 số học sinh lớp 7A, số học sinh lớp 7C bằng 17

16 số học sinh lớp 7B Tính số học sinh của mỗi lớp

Hướng dẫn phân tích tìm lời giải: Trong bài toán có ba số cần tìm có tổng là 153 vì vậy có thể đặt ba số cần tìm là ba ẩn Đồng thời cho mối liên hệ tỉ

lệ giữa hai trong ba số đã cho nên nghĩ đến việc lập dãy tỉ số bằng nhau để áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải.

Giải:

Gọi số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là x, y, z theo đề bài

ta có:

x + y + z = 153, 8

9

y x, 17

16

z y

Do 17

16

z y nên z y 1716 hay

17 16

z y

 (1)

Do 8

9

y x nên 8

9

y

x  hay

8 9

y x

 hay y = x

16 18 (2)

Từ (1) và (2) ta có x = y = z

18 16 17

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

18 16 17 18+16+17 51 

Từ đây tìm được x = 54; y = 48; z = 51

Vậy số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 54; 48; 51

Bài 4.2 [11] : Ba máy bơm nước cùng bơm nước vào một bể bơi có dung tích 235

m3 , biết rằng thời gian để bơm được 1 m3 nước của ba máy lần lượt là 3 phút, 4phút và 5 phút Hỏi mỗi máy bơm được bao nhiêu mét khối nước thì đầy bể?

Hướng dẫn: Bài này có phương pháp giải tương tự bài trên , tuy nhiên hi dung tích bể không đổi thì thời gian bơm nước số mét khối nước bơm được có tích bằng nhau.Điểm chốt là từ dãy đẳng thức ta phải biến đổi để có được dãy tỉ

Hướng dẫn: Cách làm tương tự bài 4.1 Tuy nhiên sau khi có được dãy tỉ

số bằng nhau thì lại giải theo cách đặt tỉ số k Việc này xuất phát từ điều kiện

đề bài cho ba số cần tìm có bội chung nhỏ nhất là 3150, áp dụng giả thiết này

Mà BCNN (x, y, z) = 3150 = 2.32.52.7 nên 2.5.k.32.7 = 2.32.52.7

Từ đó suy ra : k = 5

Suy ra x = 10.5 = 50; y =18.5 = 90; z = 7.5 = 35

Vậy 3 số nguyên dương lần lượt là x = 50; y = 90; z = 35

Bài 4.4: Một miếng đất hình chữ nhật có diện tích là 76,95 m2 có chiều rộngbằng 5

19 chiều dài Tính chiều rộng và chiều dài của miếng đất đó

Giải:

Hướng dẫn: Áp dụng tương tự bài 4.3.

Gọi chiều rộng và chiều dài của miếng đất hình chữ nhật đó lần lượt là

Vậy chiều rộng: 4,5(m); chiều dài: 17,1(m)

Bài 4.5: Diện tích một tam giác bằng 27 cm3 biết rằng tỉ số giữa một cạnh vàđường cao tương ứng của tam giác bằng 1,5 tính độ dài cạnh và đường cao nói trên

Giải:

(Hướng dẫn : Phải nhớ lại công thức tính diện tích tam giác: 1 .

2 a h trong đó a

là độ dài cạnh ứng với đường cao h).

Gọi độ dài cạnh và đường cao nói trên lần lượt là a (cm) và h (cm)

h 

Do h là độ dài của đường cao tam giác nên h 6 Từ h 6 nên a = 9

Vậy độ dài cạnh là 9(cm); độ dài đường cao là 6(cm)

Nhận xét : Dạng toán vận dụng này có phương pháp chung là chọn các số cần tìm là các ẩn, dựa theo đề bài vận dụng cách cách khác nhau để lập được dãy tỉ số bằng nhau và vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải.

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản thân đồng nghiệp và nhà trường.