phương trình và bất phương trình

Biến đổi tương đương: Chỉ xét n chẵn Bài 1.. Đặt ẩn phụ hữu tỉ hóa, lượng giác hóa: Bài 2... b.Tìm m để phơng trình có nghiệm... b.Với giá trị nào của m thì phơng trình 1 có nghiệm.. Tìm

-Ph ¬ng tr×nh vµ bÊt ph ¬ng tr×nh v« tû:

Phương pháp I Biến đổi tương đương: (Chỉ xét n chẵn)

Bài 1 Giải c¸c bất phương trình

a) x2 + x−14 > x – 5 b)

x

x 4 1

1− − 2 < 3 c)

1

x+ + x−2 < x+3

d) x+3 – x−1 < x−2 e) ( )2

2

x 2 9 3

x

+

− < 21 + x f)

2

21 4 − x x − ≤ + x 3

g) 2 x2 − 6 x + − + > 1 x 2 0 h) x + + 3 x + − 2 2 x + > 4 0

Phương pháp II Đặt ẩn phụ (hữu tỉ hóa, lượng giác hóa):

Bài 2 Giải bất phương trình

a) x + 22 x2 − x+11 ≤ 3x + 4 (*) b) x + 1−x2 < x 1−x2 (1) trong đoạn [0; 1]

c) (2x - 2) 2 x − ≤ 1 6( x − 1) d) 5 5 1

2 2

x x

+ < + + e) x + 22

3 5 4

x

x >

−

f) 2 x2 − 6 x + − 8 x x ≤ − 2 g) x−2 + x−1 < 4x – 9 + 2 x2 −5x+2

h, : cos3x+ 2 cos 3− 2 x =2(1 sin 2 )+ 2 x

Phương pháp III: Phương pháp hàm số:

Bài 3) Giải bất phương trình:

a) x+5 + 2x+3 < 9 ( ĐS -3/2 ≤x < 11) b) x + + 9 2 x + > 4 5 (ĐS x > 0)

Bài 4) Tim m để bất phương trình 3+x + 6−x – (3+x)(6−x) ≤ m (*) có nghiệm

HD Đặt u = 3+x + 6−x , u ∈ [3; 3 2 ] ĐS m 6 2 9

2

−

≥

Phương pháp IV: phương pháp đánh giá:

Bài 5 Giải bất phương trình

a) x2 − x+2 + x2 − x+3 ≤ 2 x2 − x+4

b) x−1 + (x – 3) ≥ 2(x−3)2 +2x−2 (HD Dùng Bunhia) ĐS x = 5

Ph

¬ng ph¸p V : Sö dông h×nh häc

-Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: x x + + 1 3 − − x 2 x2 + = 1 0 (1.1)

Ví dụ 2: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: x − + 2 4 − = x m (1.3)

Ví dụ 3: Giải bất phơng trình sau: x − + − ≥ 1 x 3 2( x − 3)2 + 2 x − 2 (1.5)

Bài tập tự luyện.

Bài 1 Giải phơng trình sau: x2 − 2 x + + 2 4 x2+ 12 x + 25 = 9 x2 + 12 x + 29

Bài 2 Giải phơng trình sau: cos x + 2 cos − 2x + cos x 2 cos − 2x = 3

Bài 3 Giải bất phơng trình sau: x + + 1 2 x − + 3 50 3 − x ≤ 12

Bài 4 Giải bất phơng trình sau: 5 4 − x + 5 4 + x ≥ 4

Bài tập tổng hợp

Bài 1 : Giải các bất phơng trình sau:

a) (ĐHNT.D 00) x + ≥ 3 2 x − + 8 7 − x b) (ĐHAN D 99) 5 x + − 1 4 x − ≤ 1 3 x

2

e) (HVQHQT D _ 00) (x+1)(x+4) < 5 x2 + 5 x + 28 f) (ĐHMĐC_00) ( x + 1)(4 − x ) > − x 2

g) (ĐHTL_ 00) x + − 2 3 − < x 5 2 − x

h) (ĐHAN A_00) 7 x + + 7 7 x − + 6 2 49 x2 + 7 x − 42 181 14 < − x

HD Đặt u = 7 x + 7; v = 7 x − 6

Bài 2 a.(ĐH D _ 02) (x2 – 3x) 2 x2 − 3 x − ≥ 2 0 b (CĐGT _ 05) x2 + 2 x − 15 < − x 2

c (ĐH dự bị _ 02) x + + 4 x − = 4 2 x − 12 2 + x2 − 16

d (ĐH A – 2004)

2

3

x

5 x − − 1 x − > 1 2 x − 4

g.(ĐH dự bị _ 05) 8 x2 − 6 x + − 1 4 x + ≤ 1 0 h.(ĐH dự bị _ 05) 3 x − − 3 5 − > x 2 x − 4

k) (CĐSP Vĩnh Long_ 05) − + x2 6 x − > − 5 8 2 x

m)(CĐ Vĩnh Long 05) x + = − 1 8 3 x + 1 n)(ĐH dự bị _ 05) 2 x + − 7 5 − ≥ x 3 x − 2

-Bài 3: Giải phơng trình: 2 x + 3 + x + 1 = 3 x + 2 2 x2 + 5 x + 3 − 16

Bài4Giải bất phơng trình: ( )

3

7 3 3

16

2 2

−

−

>

− +

−

−

x

x x

x x

Bài5 Xác định m để phơng trình sau có nghiệm:

2 2

4 2

Bài6 Giải bất phơng trình: 5 x − − 1 x − > 1 2 x − 4

Bài7 Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2 + mx + = 2 2 x − 1

Bài8 Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực: 3 x − + 1 m x + = 1 24 x2− 1

Bài9 Giải phơng trình: x + 4 + x − 4 = 2 x − 12 + 2 x2 − 16

Bài10 Giải bất phơng trình: a. x + 12 ≥ x − 3 + 2 x + 1 b x + 6 > x + 1 + 2 x − 5

Bài 11Giải phơng trình: 3 x + 7 = 1 + x

Bài 12Giải phơng trình: x + 2 + 5 − x + ( x + 2 )( 5 − x ) = 4

x

x x

x

−

+

− + +

−

3

1 3

4 1 3

a.Giải phơng trình với m = -3 b.Tìm m để phơng trình có nghiệm.

Bài 14Giải bất phơng trình: x + 3 ≥ 2 x − 8 + 7 − x

Bài 15Giải bất phơng trình: 5 x + 1 − 4 x − 1 ≤ 3 x

Bài 16: a.Giải bất phơng trình: (x2 - 3x) 2 x2 − 3 x − 2 ≥ 0.

b.Giải phơng trình: 2 x − + 1 x2 − 3 x + = 1 0 (x ∈ R)

Bài 17

Giải bất phơng trình: x2 − 3 x + 2 + x2 − 4 x + 3 ≥ 2 x2 − 5 x + 4

Ph ơng trình và bất ph ơng trình l ợng giác :

Câu 1 Giải phơng trình: sin23x - cos24x = sin25x - cos26x

Câu 2 Tìm x ∈ [0;14] nghiệm đúng phơng trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0

Câu 3 Giải phơng trình: cosx+ cos2x + cos3x + cos4x + cos5x =

-2 1

Câu 4 Giải phơng trình: (cos2x - 1)(sin2x + cosx + sinx) = sin22x

-Câu 5 GPT:a cotgx - 1 = 1 cos + tgx x

2

+ sin2x -

2

1

sin2x b cotgx - tgx + 4sin2x =

x sin 2 2

Câu 6 Cho phơng trình: cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0

1) Giải phơng trình với m =

2

3

2) Tìm m để phơng trình có nghiệm x ∈   π 2 π  

3

2 ; .

2 4

2

2 2

2  x − π   tg x − cos x =

x x

g x

x x

2 sin 8

1 2

cot 2

1 2

sin 5

cos

Câu 8 Giải phơng trình: 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tg2x

x x

x

+

−

+

+

3 cos 2 sin

1 cos sin

2

(2) (a là tham số)

a) Giải phơng trình (2) khi a =

3

1

b) Tìm a để phơng trình (2) có nghiệm

Câu 10 Giải phơng trình: a.cos2x + cosx(2tg2x - 1) = 2 b : 3 cos 4 x − 9 cos6x + 2 cos2x + 3 = 0

Câu 11 Cho phơng trình: cos 2 x + ( 2 m − 1 ) cos x + 1 − m = 0 (m là tham số)

a.Giải phơng trình với m = 1 b Xác định m để phơng trình có nghiệm trong khoảng   π π ;  

2

2 2

=

−

−

+

x cos

x cos x

sin x

sin

Câu 13 .Cho phơng trình: sin 2 x − 3 m 2 ( sin x + cos x ) + 1 − 6 m2 = 0

a.Giải phơng trình với m = 1 b.Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm

Câu 14 Cho bất phơng trình: x2 + 2x(cosy + siny) + 1 ≥ 0 Tìm x để bpt đợc nghiệm đúng với ∀y Câu 15 Cho phơng trình: 2cos2x + sin2xcosx + sinxcos2x = m(sinx + cosx)

a.Giải phơng trình khi m = 2 b.Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiệm thuộc







 π

2 0;

Câu 16 Xác định m để phơng trình: 4 ( sin4 x + cos4 x ) + cos 4 x + 2 sin 2 x − m = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn









2

;

0 π

Câu 17 Giải phơng trình: cos   x − π   + cos   x + π   + 4 sin x = 2 + 2 ( 1 − sin x )

4

2 4

2

x

x x

x

2 4

cos

3 sin 2 sin 2

1 = −

1 1

cos 2

4 2 sin 2 cos 3

=

−   −  

−

−

x

x

Câu 19 GPT: a 2 sin3x + cos 2 x − cos x = 0 b.sin 2 x + 4 ( cos x − sin x ) = 4

x cos x sin

x cos x

+

2

b

x sin

x cos tgx

gx cot

2

4 2

+

=

Câu 22 Giải các phơng trình và bất phơng trình sau: a.sin(πcosx) = 1

b.: tg x tgx cos x sin 3 x

3

1

2 − = c

5

5 3

3 x sin x sin =

Câu 23 GPT : a 1 + sin x + cos x = 0 b

x cos x

cos x

===========================================================================

Ph ơng trình và bất ph ơng trình mũ logarit –

Câu1 Cho phơng trình: log23x + log23x + 1 − 2 m − 1 = 0 (2)

Câu2 Giải phơng trình (2) khi m = 2 2) Tìm m để phơng trình (2) có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn







 1; 3 3 Tìm các giá trị x, y nguyên thoả mãn: log2( x2 2 x 3 )y 8 7 y2 3 y

2

+

−

≤ +

Câu3 GBPT: a logx(log3(9x - 72)) ≤ 1 b 16 log27x3 x − 3 log3x x2 = 0

2

1 − 2 − + >

x

3

1

3  sin x − sin x   + log   sin x + cos x   =

log

Câu6 Giải bất phơng trình: 3( ) 1( )

3

2log 4 x − + 3 log 2 x + ≤ 3 2

Câu7 Giải bất phơng trình: log ( 4x 4 ) log ( 22x 1 3 2x)

2

1 2

Câu8 Tìm a để phơng trình sau có nghiệm: 91+ 1−t2 − ( a + 2 ) 31+ 1−t2 + 2 a + 1 = 0

Câu9 Tìm m để bất phơng trình: ( 3 m + 1 ) 12x + ( 2 − m ) 6x + 3x < 0 đúng với ∀x > 0

-Câu10 Giải bất phơng trình: 15 2x+1+ 1 ≥ 2x − 1 + 2x+1

2 1

2

Câu12 Giải bất phơng trình: log 2 log ( 1 ) log26 0

4

1 2

Câu13 Giải phơng trình và bất phơng trình: log5( 5x − 4 ) = 1 − x b 2 log5x − logx125 < 1

Câu14 Giải bất phơng trình: ( 1 ) ( 2 2 ) 3( 4 ) 0

3

1 3

log

Câu15 Cho phơng trình: ( 2 1 ) ( 2 1 ) 1 0

2 2

= +

− +

Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm

Câu16 Giải bất phơng trình: ( ) 2 , 5 x − 2 ( ) 0 , 4 x+1 + 1 , 6 < 0

Câu17 Cho phơng trình: ( 3 + 2 2 )tgx + ( 3 − 2 2 )tgx = m

1) Giải phơng trình khi m = 6

2) Xác định m để phơng trình có đúng hai nghiệm phân biệt nằm trong khoảng   − π 2 ; π 2  

16

1 3 1

3

4

1

log

Câu19 Giải bất phơng trình: 2(log 2 x)2 + xlog 2 x ≤ 4

Câu20 Cho bất phơng trình: log5( x2 + 4 x + m ) − log5( ) x2 + 1 < 1

Tìm m để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (2 ; 3)

Câu22 Tìm m để phơng trình: ( + 4 ) + ( 2 − 2 − 1 ) =

3 1

2