Gọi C là một điểm nằm trên nửa đờng tròn O.. Hai tiếp tuyến Cx, Dy của đờng tròn cắt nhau tại M.. Do đó PN là đờng cao còn lại nên vuông góc với cạnh AB.. Gọi I là trung điểm của PN thì
Trang 1Ngày soạn : 23/12/10
Bài tập tổng hợp Chủ đề Tuyển tập các bài toán hình học dành cho HSG
Bài 1: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là O Trên nửa mặt phẳng bờ AB
dựng nửa đờng tròn (O) đờng kính AB Gọi C là một điểm nằm trên nửa đờng tròn (O) Từ C kẻ CH vuông góc với AB (H∈AB) Gọi M, N lần lợt là hình chiếu của H lên AC và CB
a) Chứng minh rằng: OC vuông góc với MN;
b) Qua A kẻ đờng thẳng d vuông góc với AB Tiếp tuyến với (O) tại điểm C cắt đờng thẳng d ở K Chứng minh rằng: BK; CH; MN đồng quy
H
ớng dẫn :
a) ACB = 90o (vì OA = OC = OB)
CMH = 90o (gt); CNH = 90o (gt)
=> CMHN là hình chữ nhật => C1 = M1
Mà CAO = ACO (OA = OC nên tam giác ACO cân)
CAO + C1 = 90o Cho nên ACO + M1 = 90o
Gọi E là giao của OC và MN ta có CEM = 90o
Hay OC vuông góc MN (đpcm)
b) Ta có KA = KC (tính chất tiếp tuyến)
Kéo dài BC cắt d tại W Ta có WCA = 90o
Mà: KAC + AWC = 90o; KCA + WCK = 90o
Ta có: KCA = KAC (lý do KC = KA)
=> KWC = WCK => KC = KW
Vậy WK = KA = KC Hay K là trung điểm AW
I là giao điểm của CH và MN vì CMHN là hình nhữ nhật => I là trung điểm của CH Mặt khác WA // CH (cùng vuông góc với AB); giả sử BI cắt WA tại K'
Trang 2áp dụng talet:
CI WK ' WK ' K ' A K ' K
IH = K ' A ⇒ = ⇒ ≡
Vậy BI đi qua trung điểm K của AW Hay KB; CH; MN đồng quy
Bài 2: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB; Từ A và B ta vẽ hai dây cung AC
và BD cắt nhau tại N Hai tiếp tuyến Cx, Dy của đờng tròn cắt nhau tại M Gọi P là giao điểm của hai đờng thẳng AD và BC
a, Chứng minh PN vuông góc với AB
b, Chứng minh P,M,N thẳng hàng
H
ớng dẫn :
Trong tam giác PAB ta có AC và BD là các đờng cao nên N là trực tâm tam giác Do đó PN là đờng cao còn lại nên vuông góc với cạnh AB
Gọi I là trung điểm của PN thì IC là trung tuyến của tam giác vuông PAC nên IPC cân tại I Do đó : ∠IPC= ∠ICP
Tam giác OAC cân tại O nên : ∠CAO= ∠ACO
Mặt khác ∠CAO= ∠IPC (do có các cạnh tơng ứng vuông góc) nên∠ACO= ∠ICP
Ta có AC ⊥PC nên OC ⊥ IC
Do đó IC là tiếp tuyến tại C của đờng tròn
Tơng tự , ID là tiếp tuyến tại D của đờng tròn
Chứng tỏ I trùng với M nên P,M,A thẳng hàng
Bài 3: Cho hỡnh vuụng ABCD Vẽ qua A đường thẳng d cắt BC tại M và cắt
CD tại N CMR: 2 2
1 1
AN
AM +
khụng phụ thuộc vào vị trớ đường thẳng d
H
ớng dẫn :
Kẻ AK ⊥d tại A dễ dàng chứng minh được
∆ABK =∆AND (gúc nhọn, cạnh gúc vuụng)
suy ra AK = AN (1)
Xột tam giỏc vuụng AKM cú AB là đường cao ỏp dụng
Trang 3hệ thức trong tam giác vuông ta có 2 2 2
1 1
1
AB AM
AK + =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra 2 2 2 2 2
1 1
1 1
1
AB AM
AN AM
Do AB không đổi suy ra 2 2
1 1
AM
AN +
không đổi
1 1
AM
AN +
không phụ thuộc vào vị trí d
Bµi 4:
Cho tam giác đều ABC với O là trung điểm
của cạnh BC Trên cạnh AB lấy điểm M,
trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc MON = 600.
a, Chứng minh rằng: BC2=4BM.CN
b, Chứng minh: NO là đường phân giác của góc MNC
H
íng dÉn :
a) Xét ∆BMO vµ ∆CON có ∠B=∠O=600 ;
∠BMO=∠CON ( cïng bï ∠BOM+600) suy ra ∆BMO ~∆CON
4 2
2
.
2
BC BC BC BO CO CN BM CN
BO
CO
.
4BM CN =BC
⇔
OC ON
MO CO
BM ON
và có ∠MON=∠NCO=600 suy ra ∆MON ~∆OCN (c.g.c)
suy ra ∠MNO=∠ONC (cặp góc tương ứng )
Vậy NO là phân giác ∠MNC
Bµi 5: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia
CB lấy điểm N sao cho AM = CN Gọi E là trung điểm của MN Tia DE cắt tia BC tại F Qua M vẽ đường thẳng song song với AD cắt DF tại H Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MFNH là hình thoi
b) ND2 = NB.NF
c) Chu vi tam giác BMF không đổi khi M di động trên cạnh AB
H
íng dÉn :
a) ΔAMD = ΔCND (c.g.c)
⇒ DM = DN và Dµ1 = Dµ2
⇒ ·MDN = 90o Và ΔDMN vuông cân
Trang 4Tam giác MDN có DE là đờng trung tuyến nên DE cũng là đờng cao
=> DE ⊥ MN Mặt khỏc ΔEMH = ΔENF (g.c.g) ⇒ EH = EF
⇒ MFNH là hỡnh thoi (đpcm)
b) ΔFDN và ΔDBN cú ãFDN = ãDBN = 45o; àN chung
⇒ ΔFDN ΔDBN (g.g) ⇒ ND2 = NB.NF (đpcm)
c) Chu vi ΔBMF = BM + BF + MF = BM + BF + FN
= BM + BF + FC + CN
= (BM + AM) + (BF + FC) = 2AB (khụng đổi) (đpcm)
Bài 6: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AB=c, AC=b, đường phõn giỏc
trong AD = d Gọi E, F thứ tự là hỡnh chiếu của D trờn AB và AC
a) Tớnh chu vi và diện tớch tứ giỏc AEDF ?
b) Chứng minh:
2
d =
1
b+
1
c
c) Chứng minh:
1 sin 2
A
+
1 sin 2
B
+
1 sin 2
C
> 6 H
ớng dẫn : Vẽ hỡnh đỳng
a) Chứng minh AEDF là hỡnh vuụng Tớnh được mỗi cạnh =
2
2 d Tớnh chu vi = 2d
2
2 ; S =
1
2d2
Trang 5b) SΔABD =
2
4 cd; SΔACD =
2
4 bd; SΔABC =
2
4 bc
⇒ 2bd + 2dc = 2bc ⇒
1
b +
1
c=
2
d (chia 2 vế cho 2dbc) (đpcm) c) Kẻ BH và CK vuụng gúc với AD cú:
sin2
a
=
BH
AB =
CK
AC =
BH CK
AB AC
+
BC
AB AC+ ⇒
1 sin 2
A
≥
AB AC BC
+
Tương tự cú:
1 sin 2
B
≥
AB BC AC
+
;
1 sin 2
C
≥
AC CB AB
+
Chỳ ý khụng đồng thời xẩy ra dấu " = " vỡ ΔABC khụng đều
Cộng từng vế chỉ ra được đpcm
Bài 7:
1 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R (R là một độ dài cho trớc)
M, N là hai điểm thuộc nửa đờng tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng các khoảng cách từ A, B đến đờng thẳng MN bằng R 3
a) Tính độ dài MN theo R
b) Xác định vị trí của M; N sao cho tổng diện tích S AMB + S ANB là lớn nhất theo R khi M, N thay đổi nhng vẫn thỏa m n giả thiết của bài toánã
2 Cho K là một điểm nằm trong tam giác đều DEF sao cho
KE = KD + KF Tính số đo của góc DKF
H
ớng dẫn :
1 a) Tính độ dài MN theo R
suy ra AH + BK = R 3
1
2
⊥
Ta có: AH//BK (cùng vuông góc với MN)
=>
= + => =
Tam giác MOI vuông tại I nên:
Trang 6= − = − = => = => = =
Tứ giác MPRN là hình thang, mà MI = IN
=>
1
2
= + => + =
Ta có AB = 2R không đổi nên S AMB + S ANB đạt giá trị lớn nhất khi MP +
NR đạt giá trị lớn nhất
Ta lại có: MP + NR = 2QI nên MP + NR đạt giá trị lớn nhất khi IQ đạt giá trị lớn nhất
Ta có: IQ OI≤ => IQ đạt giá trị lớn nhất bằng OI khi Q O≡ , khi đó OI⊥ AB suy ra MN//AB =>
2
*) Cách dựng: Qua O dựng tia Ox ⊥ AB tại O (Ox thuộc nửa mặt phẳng có
bờ AB chứa nửa đờng tròn tâm O), trên tia Ox lấy điểm I sao cho
1
2
=
Qua I dựng đờng thẳng d vuông góc với OI tại I, d cắt nửa đ-ờng tròn (O) tại M và N (M thuộc cung AN)
2 Dựng tam giác đều DKP sao cho P nằm phía ngoài tam giác DEF, K và P nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là DF
Tam giác đều DEF => DE = DF , EDF 60ã = 0
Tam giác DKP đều => DK = DP = KP
Ta có:
Trang 7=> EDK FDPã = ã ; ∆EDK = ∆FDP(ED FD,EDK FDP,DK DP)= ã = ã = =>KE PF=
Ta có: KE2 =KD2 +KF mà KE = PF, DK = KP nên FP = KP + KF2 2 2 2
PKF vuông tại K => PKF = 90
=> ∆
Ta có: DKF DKP PKF 60ã = ã +ã = 0 +900 =1500 Vậy DKF 150ã = 0
Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc
cạnh huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống
đờng thẳng PD
1) Tính số đo góc NEB
2) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất
3) CMR: Khi M thay đổi, đờng thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định H
ớng dẫn :
1) Gọi E là giao điểm của PD với đờng thẳng vuông góc với AB
+) Xét ∆DCP và ∆DBE có:
ã = ã
DCP DBE (so le trong)
DC = DB (AD là trung truyến của ∆ABC)
ã = ã
CDP BDE (đối đỉnh)
⇒ ∆DCP = ∆DBE (g.c.g) ⇒ CP = BE (1)
+) Mặt khác ta có tứ giác MNAP là hình chữ nhật có AM là tia phân giác của
àAnên MNAP là hình vuông.
⇒ AN = AP ⇒CP = BN (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BE = BN ⇒∆BEN cân tại B
⇒ NEB 45ã = 0
2) Gọi O là trung điểm của EN
Ta có∆BEN và ∆EHN là tam giác vuông có chung cạnh huyền EN nên bốn
Trang 8điểm B, E, H, N cùng thuộc đờng tròn tâm O.
Kéo dài HO cắt đờng tròn (O) tại K
Khi đó:
ã = 1ã
2 (ãKONgóc ngoàicủa tam giác cân OHN)
ã = 1ã
2 (ãKOBgóc ngoài của tam giác cân OHB)
⇒ OHN OHBã −ã =1(ã −ã ) = 1 0
⇒ BHN 45ã = 0
Vậy có BHN BEN 45ã = ã = 0 (3)
Chứng minh tơng tự ta có: NHA NPA 45ã =ã = 0 (4)
Từ (3) và (4) có ãAHB 90 = 0và NH là đờng phân giác của góc ãAHB
Gọi H’ là hình chiếu của H trên AB
Khi đó SAHB =
1AB.HH' 2
Do đó SAHB lớn nhất khi HH’ lớn nhất
Điểm H chạy trên cung tròn đờng kính AB nên HH’ lớn nhất khi nó bằng bán kính, tức là khi H≡D Khi đó M ≡ D.
3) Vẽ đờng tròn đờng kính AB Gọi giao của HN với đờng tròn là I
Do ∆DHI là tam giác vuông tại H nên DI là đờng kính
Mà D là điểm cố định nằm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB nên I
là điểm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB
Điểm I đối xứng với D qua AB Vậy I là điểm cố định
Bài 9: Cho đờng tròn(O; r), dây cung BC = a không đổi A là một điểm trên
cung lớn AB sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Các đờng cao AD, BE, CK cắt nhau tại H
a) Trong trờng hợp BHC BOCã = ã , tính AH theo a
b) Tìm vị trí của A để tích DH.DA nhận giá trị lớn nhất
H
ớng dẫn :
a) Xét tứ giác AKHE cóKà = =àE 900 ⇒ àA BHC+ ã =1800 mà
BHC = BOC; ãBOC =2àA ⇒ 3àA= 180 0 ⇒ =àA 60 0
Kẻ BI là đờng kính , chứng minh tứ giác AICH là hình bình hành ⇒ AH = CI (1)
Gọi M là trung điểm của BC ⇒ IC = 2 OM (2) (Đờng trung bình)
Từ (1) và (2) ⇒ AH = 2 OM
Trang 9M
I
K
E
D
O A
Do M là trung điểm của BC ⇒ OM ⊥BC và OM là tia phân giác của góc BOC
⇒ ãMOC =600 và OM = MC.tg300 =
.
⇒AH = 2OM =
3 3
a
b)
DB DH DBH DAC
DA DC
⇒ DA.DH = DB.DC
áp dụng bất đẳng thức
( )2 4
a b
ab +
≤
( Dấu “=” xảy ra khi a = b)
⇒ DA.DH = DB.DC
DB DC+ a
(Không đổi) (Dấu “=” xảy ra khi DB = DC hay D là trung điểm của BC)
⇒ DA.DH nhận giá trị lớn nhất là
2
4
a
khi D là trung điểm của BC
ABC
⇔ ∆ cân tại A hay A là điểm chính giữa của cung BC
IV Hớng dẫn về nhà
- Xem lại bài
D/Bổ sung
*******************************
Trang 10*) Hãy giữ phím ctrl và nhấn vào đờng link này -
http://quanghieu030778.violet.vn/
Lời giới thiệu
Thực hiện chủ đề "Năm học ứng dụng công nghệ thông tin" vào việc giảng dạy - học tập Quang Hiệu xin trân trọng giới thiệu với toàn thể quý thầy cô và các em học sinh trên toàn quốc website :
http://quanghieu030778.violet.vn/
Chủ đề của website này đó là : Kho phần mềm, ơm mầm tơng lai, lu giữ kỉ niệm, yêu thơng, giao lu, học hỏi, chia sẻ kinh nghiệm Kết nối toàn cầu để tìm tòi khám phá, hiểu biết là sức mạnh.
Khi truy cập vào website này các bạn có thể liên kết với tất cả các trang website của Việt Nam và thế giới Ưu việt của website này đó là dễ truy cập, tiếp cận nhanh, cập nhật thông
Trang 11tin, mọi ngời ai cũng có thể sử dụng Các bạn đợc liên hệ với những thầy cô giỏi nhất trên toàn quốc, đợc sự hớng dẫn tận tình, chu đáo, miễn phí của thầy giáo Quang Hiệu, mỗi lúc bạn gặp khó khăn khi truy cập internet và sử dụng các phần mềm ứng dụng cần thiết Đây là một th viện phần mềm + key, giáo trình tin học, , là một kho t liệu, bài giảng điện tử, giáo án vi tính, đề thi , các chuyên đề và sáng kiến kinh nghiệm của tất cả các môn phục vụ cho việc giảng dạy của các thầy cô và học tập của các em học sinh Và cũng là một thế giới giải trí nh nghe nhạc, xem phim, tìm hiểu về nhà ngoại cảm "Phan Thị Bích Hằng" cùng với sự khẳng định có thế giới ngời âm (thế giới có ma) của rất nhiều giáo s, tiến sĩ đầu ngành của Việt Nam và thế giới (đặc biệt là giáo s Trần Phơng - nguyên phó thủ tớng chính phủ) Thởng thức video biểu diễn ảnh nghệ thuật, ảnh kĩ thuật số, ảnh động đợc chính Quang Hiệu thực hiện với sự kết hợp của rất nhiều phần mềm tin học, đó là sự hội tụ với tất cả những công nghệ tin học hiện đại.
Quang Hiệu đã xây dựng trang website với giao diện đẹp, khoa học, vận dụng triệt để những công nghệ tin học để trình duyệt, chắc chắn sẽ đem lại cho quý vị những giây phút thoải mái nhất, những kiến thức bổ ích và cập nhật nhất, những t liệu hiếm có khó tìm ở các trang website khác Các bạn không cần phải bỏ tiền để mua phần mềm tin học và giáo trình tin học mà chỉ cần truy cập vào website của Quang Hiệu là có tất cả, những thứ bạn cần nhất sẽ đợc đáp ứng ngay, chỉ cần liên hệ
quanghieu030778@googlemail.com
Hiện nay đã có rất nhiều đồng nghiệp trên toàn quốc và các em học sinh đã truy cập - download tại địa chỉ website này,
đã có hàng trăm thầy cô của các tỉnh trong cả nớc là thành viên của Quang Hiệu (bao gồm những thầy cô có tâm huyết, có trình độ tin học bậc nhất), mỗi ngày có tới hàng trăm lợt ngời truy cập và đã liên tục đợc tỉnh Hải Dơng đánh giá là một trong những website cá nhân tiêu biểu nhất toàn tỉnh Nguyện vọng
Trang 12của tôi là muốn xây dựng trang website mang tầm cỡ quốc gia,
đợc mọi ngời trên toàn quốc biết đến và sử dụng nó, mang lại niềm vinh dự cho quê hơng Hải Dơng chúng tôi.
Vậy Quang Hiệu xin chân thành cảm ơn đến tất cả các
quý thầy cô và các em học sinh trên toàn quốc đã truy cập và coi nó nh một ngời bạn thân thiết.