Giáo án Bồi dưỡng HSG Toán 9

PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG HOẶC MỘT SỐ CUỐI CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN.. Cơ sở lí thuyết: Để tìm chữ số tận cùng của 1 số nào đó.. nên tất cả các số hạng của tổng đều có tận cùng là t

PHẦN I KIẾN THỨC CƠ BẢN PHẦN I.I PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG HOẶC MỘT

SỐ CUỐI CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN

Phương pháp 1: Dùng cấu tạo số:

I Cơ sở lí thuyết:

Để tìm chữ số tận cùng của 1 số nào đó người ta thường tìm số dư của phép chia số

đó cho 10

Nhận xét 1: Nếu số nguyên a có tận cùng là các chữ số: 0; 1; 5; 6 thì an cũng có tận cùng là 0; 1; 5; 6

Nhận xét 2: ta có:

24k = 16k ≡ 6 ( mod 10)

34k = 81k ≡ 1 ( mod 10)

74k = 492k ≡ 1 (mod 10) Nhận xét 3: Các số tự nhiên bất kì, nếu nâng lên luỹ thừa 4n + 1 thì chữ số tận cùng của nó không thay đổi

Các nhận xét 1 và 2 là hiển nhiên Nhận xét 3 dễ dàng chứng minh

Xem số tự nhiên : A=nk với n, kN

1.Muốn tìm chữ số tận cùng của A chỉ cần biểu diễn A dưới dạng:

A = 10a + b = ab  b là chữ số cuối cùng của A

Ta viết:

A = nk = (10q + r)k = 10t + rk với r  N; 0  r  9

Chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số rk

- Nếu A = 100a + bc = a bc thì bc là hai chữ số cuối cùng của A

- Nếu A = 1000a + bcd = a bc d thì bc d là ba chữ số cuối cùng của A

- Nếu A=10m.am + a m1 a0 = a m a1a0 thì a m1 a0 là m chữ số cuối cùng của A 2.Vận dụng nhị thức Newtơn:

n n n

n

n n

c0 1 1 1 1





II Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm chữ số cuối cùng của số: A= 9 9 9

Giải:

Xem số M = 9k ; k  N

- Nếu k chẵn  k  2m ta có:

M =92m = 81m = (80+1)m

=(10q +1)m = 10 t + 1 ( với m, q, t N)

Vậy: M có chữ số cuối cùng là 1 nếu k chẵn

M =92m+1 = 92m.9 = (10t + 1).9

=10q + 9 ( với m, t, q N)

Vậy: M có chữ số cuối cùng là 9 nếu k lẻ, ta có 99 là một số lẻ

Do đó: A = 9 9 9 có chữ số cuối cùng là 9

Bài 2: tìm chữ số cuối cùng của số: B = 2 3 4

Giải:

B =2 3 4 = 281 = (25)16 .2 = 3216.2

= (30+2)16.2 = 10q +217

= 10q + (25)3.22 = 10q + (10q + 2)3 22

= 10t + 25 = 10t + 2

Vậy B có chữ số cuối cùng là 2

Phương pháp 2: Nhận xét về lũy thừa.

I Cơ sở lý thuyết: nhận xét về lũy thừa

- an là một lũy thừa

Các trường hợp đặt biệt:

1.các số có dạng:

+ (a0)n tận cùng bằng 0

+ (a1 `)n; (a5)n; (a6)n tận cùng lần lược là 1; 5; 6

+ (a3)4; (b7)n; (b9)n tận cùng lần lược là 1

+ (a2)4; (a4)4; (a8)4 tận cùng lần lược là 6

2 Các số 320, 815, 74, 512, 992 tận cùng là 01

264, 65, 184, 242, 684, 742 có hai chữ số tận cùng là 76

125n, 25n, 52 tận cùng là 25

3 Các số có dạng:

(a01 `)n; (a25)n; (a76)n có hai chữ số tận cùng lần lượt là: 01, 25, 76

Bài 1: tìm chữ số cuối cùng của số A = 9 9 9

Giải:

Ta có: 92m tận cùng là 1

92m+1 tận cùng là 9

Suy ra: 99 tận cùng là 9, (9 là số lẻ.)

Vậy A= 9 9 9tận cùng là 9

Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của: C = 6 2002 , D = 2 2001

Giải:

62 tận cùng là 6

63 tận cùng là 6 Vậy 6n tận cùng là 6 suy ra 62002 tận cùng là 6

Ta có: 24 = 16 tận cùng là 6

Suy ra 22002 = (24)500.22 = (a6 ) 4 k4 với a, k  N

 22002 tận cùng là 4

Bài 3: Tìm chữ số cuối cùng của số: M = 7 1999 , G = 18 177

Giải:

*Ta có 74 = 2401 tận cùng là 1

M = 71999 = (74) = (n1).343

= c3  tận cùng là 3

Vậy M = 71999 tận cùng là 3

*Ta có 184 = n6 tận cùng là 6

Suy ra: G = 18177 = (184 )44 .181 =t6.18 = k8

Vậy G = 18177 tận cùng là 8

Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

a/ 7 9 9 b/ 141414 c/ 5 7

Giải:

a/ có: 99 = (8+1)9 = 4k + 1 nên 7 9 9 = 74k+1 = 7.74k = 7 492k có chữ số tận cùng là 7.1 = 7 b/ ta có 1414 = 1967 = (49.4)7 = 4k

nên: 141414 = 24k.74k = 16k.2401k nên tận cùng của nó là 6

c/ có 5 7 = (4+1)67= 4k+1 nên 5 7= 34k+1 = 3.34k = 3.81k có tận cùng là 3.1 = 3

Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của tổng sau:

T = 21 + 35 + 49 + + 20048009

Giải:

Chú ý rằng tất cả các số mũ đều có dạng 4(n-2) +1 với n2 nên tất cả các số hạng của tổng đều có tận cùng là tận cùng của chính số đó khi không lấy luỹ thừa

Mặt khác ta có: T = 21 + 35 + 49 + + 20048009 = 21 + 35 + 49 + 513 +617 + 721 + 825 + 929

+               

sè 1990

7992 37

33 11 2000

vậy nên T có chữ số tận cùng là chữ số của tổng sau

T’ = ( 2+3+ +9) +199(0+1+2+ +9) + (1+2+3+4) = 9009

Vậy chữ số tận cùng của T là 9

Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của tổng: T = 2 3 + 3 7 + 4 11 + + 2004 8011

Giải:

Nhận xét rằng các số mũ của các số hạng trong tổng trên đều có dạng 4(n-2) +3 với n2

Vậy nên ta đi tìm quy luật của chữ số tận cùng của số a4k+3 với a = {0, 9}

Ta có : các số có tận cùng là : 0; 1; 5; 6 thì ak cũng có tận cùng là 0; 1; 5; 6

xét 24k+3 = 8.24k = 8.16k có tận cùng là 8

34k+3 = 27.81k có tận cùng là 7

44k+3 = 64.28k =64.162k có tận cùng là 4

74k+3 = 343.2401k có tận cùng là 3

84k+3 = 512.162k có tận cùng là 2

Vậy chữ số tận cùng của T cũng là chữ số tận cùng của T’ =

(8+7+4+5+6+3+2+9)+199(1+8+7+4+5+6+3+2+9) +1+8+7+4 = 9019

Vậy chữ số tận cùng của T là 9

Bài 7: Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho số n 2 + n + 1 chia hết cho 2005 2005

Giải:

Số 20052005 có tận cùng là 5 nên nó chia hết cho 5

ta có n2 + n + 1 = n(n+1) +1 chỉ có thể có các chữ số tận cùng là 1, 3, 7 nên nó không chia hết cho 5

Vậy không tồn tại n

Bài 8: chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương

a/ M = 19k + 5k + 1995k +1996k ( với k tự nhiên chẵn)

b/ N = 20042004k - 2003

Giải:

a/ vì k chẵn nên k = 2n

19k = 192n =361n có tận cùng là 1

5k + 1995k có tận cùng là 0

1996k có tận cùng là 6

vậy tổng M có tận cùng là 7 nên nó không là số chính phương vì các số chính phương chỉ có thể có tận cùng là 0; 1;4;9;6;5

b/ ta có: 20042004k = (2000 + 4)2004k = 10n + 42004k = 10n + 161002k có tận cùng là 6

Nên N có tận cùng là 3 nên N không thể là số chính phương

Bài 9: cho P là số nguyên tố lớn hơn 5 chứng minh rằng ( P 8n + 3p 4n - 4 )⋮5.

Giải:

Vì P là số nguyên tố lớn hơn 5 nên tận cùng của p chỉ có thể là các chữ số: 1; 3; 7; 9 Nếu P có tận cùng là 1 thì P8n + 3p4n – 4 có tận cùng là 0 nên nó chia hết cho 5

Nếu P có tận cùng là 3 thì p4n = 10k+ 34n = 10k + 81n có tận cùng là 1 p8n có tận cùng là

1 nên: P8n + 3p4n – 4 có tận cùng là 0 nên nó chia hết cho 5

Nếu p có tận cùng là 7 thì tương tự tận cùng của p4n và p8n cũng có tận cùng là 1 nên tổng chia hết cho 5

Nếu p có tận cùng là 9 thì:p4n = 10k + 94n = 10k + 812n có tận cùng là 1

và p8n = (p4n) 2 có tận cùng là 1

Nên tổng trên cũng chia hết cho 5

Tóm lại với p nguyên tố lớn hơn 5 thì tổng luôn chia hết cho 5

Nhận xét chung về phương pháp:

1 Tách an dưới dạng (10k + a1)n với a1 = {0, 1, 9}

2 Viết n dưới dạng n = 4q + r ( r = 0, 1, 2, 3)

3 Sử dụng nhận xét 1, 2, 3 đã chứng minh ở trên

Phương pháp 3: Dùng đồng dư

I.Cơ sở lý thuyết:

1 Định nghĩa: Cho số nguyên M>0, hai số nguyên a và chia cho m có cùng số dư ta

nói a đồng dư với b theo mô đun m và viết a  b(mod m)

2 Định lý: Ba mệnh đề sau tương đương với nhau:

a.a đồng dư với b theo mô đun m

b.a-b chia hết cho m

c.có một số nguyên t sao cho a = b + m.t

3.Tính chất:

1 a  a(mod m)

2 a  b(mod m); bc (mod m) Suy ra: a  c (mod m)

3 







) (mod

) (mod

m d

c

m b

a

suy ra: ac abd b(modd(modm)m)

Hệ quả: a+cb (mod m)  a  b - c (mod m)

ab (mod m)  am bn (mod m)

4 Nếu ab (mod m); k ƯC(a,b), (k,m) = 1 thì (mod m)

k

b k

a

5 











0 ,

) (mod

k k

m b

a

suy ra ka  kb (mod m)

d

m d

b d

a



7 Nếu ab (mod m1) và ab (mod m2) suy ra ab (mod m)

M = BCNN(m1,m2)

Hệ quả: (m1, m2, …, mn ) = 1 và nguyên tố từng đôi

Suy ra: ab (mod m1), ab (mod m2),……ab (mod mn)

ab (mod m1, m2, ….Mn)

II Bài tập

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của 6 195 và 2 1000

Giải:

Tìm chữ số tận cùng của một số N có nghĩa là phải tìm số dư trong phép chia số N cho

10, Tức là tìm số tư nhiên nhỏ hơn 10 dồng dư với N theo mod 10

* Ta có: 62 = 36  6 mod 10 suy ra 6n = 6 mod 10

* Với N là số tự nhiên khác 0

* Suy ra: 6195  6 (mod 10) vây cữ số tận cùng của 6195 là 6

*Tacó: 21000 = 24 250 = (2n)250

Vì 2n  16  6 (mod 10)

Suy ra: (2n)250  16250  6 (mod 10)

Do đó: 21000  6250  6(mod 10)

Nghĩa là hữ số tận cùng của 21000 là 6

Vậy ta tận dụng đồng dư vào tìm chữ số tận cùng có nghĩa là tìm chữ số tận cùng của

số N với:

Một chữ số tận cùng là N  a (mod 10) suy ra: tận cùng là a: a<10

Hai chữ số tận cùng là N  b (mod 100) suy ra tận cùng là b: b<100

Ba chữ số tận cùng là N  c (mod 1000) suy ra tận cùng là c: c<1000

………

m chữ số tận cùng là N  K (mod 10…0) suy ra tận cùng là k: K<10…0

Phương pháp 3: Dùng các tính chất

I.Cơ sở lý thuyết:

1.Tính chất 1

-Các số có tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 0; 1; 5; 6

-Các số có tận cùng bằng 2; 4; 8 nâng lên lũy thừa 4 thì được số có tận cùng bằng 6 -Các số có tận cùng bằng 3; 7; 9 nâng lên lũy thưa 4 thì được số có tận cùng bằng 1 (Riêng đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, nâng lên lũy thừa lẻ đều có chữ số tận cùng bằng chính nó; nâng lên lũy thừa chẳn có chữ số tận cùng lần lượt là 6 và 1)

Việc chứng minh tính chất trên là không khó, xin dành cho các bạn Như vậy muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x=am trước hết ta xác định chữ số tận cùng của

a

- Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6

- Nếu chữ số tận cùng của a là 3, 7, 9 vì am=a4n+r=a4nar với r=0, 1, 2, 3 nên từ tính chất 1c suy ra chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của ar

-Nếu chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8 cũng như trường hợp trên từ tính chất suy ra chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6.ar

Bài 1: Chữ số tận cùng của 187 324

Giải:

Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên lũy thừa bậc 4 thì có tận cùng bằng 1 Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 1 do đó

187324 =(1874)81=(…1)81=(…1)

Vậy chữ số tận cùng của 187324 là 1

Bài 2: Chứng minh rằng 8 102 -2 102 chia hết cho 10

Giải :

Ta thấy các số có tận cùng bằng 2 hoặc 8 nâng lũy thừa 4 thì đựơc số có tận cùng là

6 Một số có tận cùng bằng 6 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 6

Do đó ta biến đổi như sau:

8102=(84)25.82=(…6)25.64=(.6).64=…4

2102=(24)25.22 =1625.4=( 6).4=…4

Vậy 8102-2102 tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10

2.Tính chất 2

Một số tự nhiên bất kì khi nâng lên lũy thừa bậc 4n+1(nN) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi

Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của các lũy thừa trong tổng

Bài toán 1

Tìm chữ số tận cùng của tổng s=21+35+49 +…+2004800

Lời giải

Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mủ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n4(n-2)+1, n}2,3 ,2004}

Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng của tổng :

(2+3+ +9)+199.(1+2+…+9)+1+2+3+4=200.(1+2+…+9)+9=9009

Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9

Từ tính chất 1 tiếp tục suy ra tính chất 3

3.Tính chất 3:

a) Số chữ số tận cùng là 3 khi nâng lũy thừa 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 7; số

có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 3 b) Số chữ số tận cùng là 2 khi nâng lũy thừa 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 8; số

có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 2

c) Các chữ số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n+3

sẽ không thay đổi chữ số tận

Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của tổng

T=23+37+411+ +20048011

Lời giải:

Nhận xét:mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n4(n-2)+3 n }2, 3,…,2004})

Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8; 37 có chữ số tận cùng là 7; 411 có chữ

số tận cùng là 4…

Như vậy, Tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng

=(8+7+4+5+6+3+2+9)+199.(1+8+7+4+5+6+3+2+9)+1+8+7+4=9019

Vây chữ số tận cùng của tổng T là 9

Trong một bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc đáo

Bài toán 2: Tồn tại hay không một số tự nhiên sao cho n2+n+1 chia hết cho 19952000

Lời giải:

19952000 tận cùng bằng chữ số 5 chia hết cho 5 vì vậy ta đặt vấn đề là liệu n2+n+1 có thể chia hết cho 5 hay không?

Ta có: n2+n=n(n+1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n2+n chỉ

có thể là 0; 2; 6  n2+n+1 chỉ có thể tận cùng là 1; 3; 7 n2+n+1 không chia hết cho 5

Vậy không tồn tại số tự nhiên sao cho n2 + n+1 chia hết cho 19952000

Sử dụng tính chất “Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9; ta có thể giải được bài toán sau:

Bài toán 3: Chứng minh rằng các tổng sau không thể là các số chính phương:

a) M=19k+5k+1995k+1996k (với k chẳn)

b) N=20042004k+2003

Sử dụng tính chất một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bằng các chữ số 1; 3; 7; 9; ta tiếp tục giải được bài toán:

Bài toán 4: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5,

Chứng minh rằng: p8n3.p4n-45

PHẦN I.II: PHƯƠNG PHÁP TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG HOẶC HAI SỐ CUỐI CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN

Phương pháp 1: Nếu xN và x=100+y; trong đó k; y  N thì hai chữ số tận cùng của x

cũng chính là hai chữ số tận cùng của y

Hiển nhiên là y ≤ x, như vậy để đơn giản hơn việc tìm hai chữ số tận cùng của hai số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của hai số tự nhiên y (nhỏ hơn)

Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn

Từ nhận xét trên ta có thể đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của hai số tự nhiên x=am như sau:

Trường hợp 1: Nếu a chẳn thì x=am

 2m

Gọi n là số tự nhiên sao cho an-1  25

Viết m=pn (p; qN) trong đó q là số nhỏ nhất để aq

 4 ta có:

X=am=aq (apn -1) +av

Vì an-1 25

Mặt khác do (4,25)=1 nên aq (apn-1)  100

Vậy hai chữ số tận cùng của Am cũmg chính là hai chữ số tận cùng của aq

Tiếp theo ta tìm chữ số tận cùng của aq

Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiên sao cho an-1  100

Viết m=un+v (u,v  N, 0 ≤ v < n ) ta có

X=am=av (aun-1)+av

Vì an-1  100 Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của av Tiếp theo ta tìm hai chữ số tận cùng của av

Khoảng trong hai trường hợp trên chìa khóa để giải được bài toán này là chúng ta phải tìm đựoc số tự nhiên n Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dể dàng tìm ra hai chữ số tận cùng của aq và av

Phương pháp 2:

Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, cần chú ý đến những số dặc biệt: -Các số có tận cùng bằng 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng bằng 01, 25, 76 -Các số 320 (hoặc 815), 74, 512, 992 có tận cùng bằng 01

-Các số 2020, 65, 184, 242, 684, 742 có tận cùng bằng 76

-Số 36n (n>1) có tận cùng bằng 76

Bài 1: Tìm hai chữ số tận cùng của 71991

Giải:

Ta thấy: 74=2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01

Do đó:

71991=71988.73=(74)497.343=(…01)497.343

=(…01).343=….43

Vậy 71991 có hai chữ số tận cùng bằng 43

Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của 2100

Giải:

Chú ý rằng: 210=1024, bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76, số

có tận cùng bằng 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng là 76 Do đó:

(2)100=(210)10=(1024)10=(10242)5=(….76)5=….76

Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76

Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của số: C=2999, D=3999

Giải:

*Ta có: 220 có 2 chữ số tận cùng là 76

Suy ra: C=2999=(220)49.219=(y76).n88 (với y, n, q  N)

Vậy C=2999 có 2 chữ số tận cùng là 88

*Ta có: 3D = 31000 =(320)50 =(k01)50 = z01

Nên 3D tận cùng là 01, mà 3.3999  3  chữ số hàng trăm của 31000 là 2

 31000 tận cùng là 201

Vậy 3999 có hai chữ số tận cùng là 67

Bài 4: Tìm hai chữ số tận cùng của số

c) =816251

Giải:

a)Ta có 74 có hai chữ số tận cùng là 01

Suy ra M=78966=(74)2241.72=(a01)2241.49=c01.49=n49 (với a,c,n N)

Suy ra M=78966 có hai chữ số tận cùng là 49

b)Ta có 242 tận cùng là 76

Suy ra N=247561=(242)3765.24=(m76)3765.24=k76.24=n24 (với m, k, n  N)

Vậy N=247561 có hai chữ số tận cùng là 24

c) Ta có 815 có hai chữ số tận cùng là 01

Nên Q=816251=(815)1250.81=(k01)1250.81=m81 (Với k, t, m  N)

Vậy Q=816251 có hai chữ số tận cùng là 81

Bài 5: Tìm hai chữ số tận cùng của số.

Giải:

a)Ta có 264 có hai chữ số tận cùng là 76

 Z=26854 =(264)213.262=(n76)213 676=k76.676=c76 (Với n, k, t  N)

Vậy Z= 26854 có hai chữ số tận cùng là 76

b) Ta có 684 có hai chữ số tận cùng là 76