de thi HSG Toan 9

c Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.. d Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 1 đơn vị diện tích

đề thi học sinh giỏi cấp huyện.

Môn: Toán 9.

Năm học: 2009 2010.–

Thời gian làm bài: 150 phút

( Không kể thời gian phát đề )

Bài 1: Cho biểu thức 3 2 6 3

A

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b) Tính giá trị của A khi x = 27 - 10 2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tơng ứng của x

Bài 2 : Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3.

a) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = - 2x + 1

b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -4)

c) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m

d) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 1 (đơn vị diện tích).

Bài 3: Cho hệ phơng trình: x 2y 3 m

2x y 3(m 2)



 + = +

 a) Giải hệ phơng trình khi m = -1

b) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y) Tìm m để M = -(x2 + y2) đạt giá trị lớn nhất c) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Baứi 4: Cho ∆ABC (AB = AC) noọi tieỏp trong (O), keỷ daõy cung AM (M thuoọc cung nhoỷ AC), tửứ C keỷ ủửụứng vuoõng goực CD vụựi AM, ủửụứng naứy caột BM taùi E, ủửụứng kớnh qua A caột BC taùi trung ủieồm N (N ∈ BC)

a) Chửựng minh: ∠DMC = ∠DME, suy ra ∆MDC = ∆MDE

b) Chửựng toỷ AC = AE Khi AM quay xung quanh A thỡ E chaùy treõn ủửụứng naứo?

c) Chửựng minh ∠BAC = 2 ∠CEB

d) Chửựng minh boỏn ủieồm A, N, C, D cuứng thuoọc moọt ủửụứng troứn

Bài 5: Cho ABC (AC > AB), trung tuyến AD, M là điểm nằm giữa 2 điểm A và D

Chứng minh: AC - AB > MC - MD

Bài 6:

a) Cho a, b > 0 và a + b = 1 Tìm GTNN của B =

ab

1 + 2 2

1

b

a + b) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: 5x – 3y = 2xy – 11

Đáp án H– ớng dẫn chấm.

Kỳ thi Học sinh giỏi cấp huyện

Môn: Toán 9.

Năm học: 2009 2010.–

1

(3.5)

a

(1.25)

A

Rút gọn P: ĐK x ≥ 0, x ≠ 9

2

8 1

P

x x

=

+

=

+

1

x P x

+

= +

0.25đ 0.5đ 0.25đ

0.25đ

b

(1đ)

Tính giá trị của P khi x = 27 - 10 2

x = 27 - 10 2 = ( 2- 5)2 => x = 2 5 − = − 5 2 => P =35 10 2

−

190 25 2 34

−

0.5đ 0.5đ

c

(1.25)

Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tơng ứng của x

áp dụng BĐT Côsi ta có:

1

9 1 2

2 1

9

+ +

≥

− + + +

=

x

x x

x P

1

9

+

=

x

Vậy min P = 4 khi x = 4

0.5đ

0.25đ 0.25đ 0.25đ

a

(0.75)

Để đồ thị hàm số y = (m – 1)x + m + 3 song song với đồ thị hàm số

y = -2x + 1 thì m – 1 = -2 và m + 3 ≠ 1

Từ m - 1 = -2 => m = -1

Từ m + 3 ≠ 1 => m ≠ -2

0.25đ 0.25đ

(3.5)

Vậy với m = -1 và m ≠ -2 thì hai đồ thị trên song song 0.25đ

b

(0.5)

Đồ thị hàm số y = (m – 1)x + m + 3 đi qua điểm (1 ; -4) Nên ta thay các giá trị x = 1, y = -4 vào y = (m – 1)x + m + 3, Tính đợc m = -3

0.25đ 0.25đ

c

(1 đ)

Điều kiện cần và đủ để đờng thẳng y = (m – 1)x + m + 3 đi qua điểm

cố định N(x0, y0) với mọi m là:

y0 = (m – 1)x0 + m + 3 với mọi m

 mx0 – x0 + m + 3 - y0 = 0 với mọi m

 m(x0 + 1) - x0 +3 - y0 = 0 với mọi m

− + − =  =

Vậy các đờng thẳng y = (m – 1)x + m + 3 luôn đi qua điểm cố định N(-1 ; 4) với mọi m

0.25đ 0.25đ 0.25đ 0 25đ

d

(1.25)

Gọi A là giao điểm của đờng thẳng (1) với trục tung

Thì ta có A(0; m+3), do đó OA = m+ 3. Gọi B là giao điểm của đờng thẳng (1) với trục hoành

Thì ta có B(1m−+m3; 0) , do đó OB = 3

1

m m

+

− Theo đề bài ta có:

SABC = 1

2OA.OB = 1

2 m+3. 3

1

m m

+

− = 1 => (m + 3)2 = 21 m−

m2 + 6m + 9 = 21 m−

* Với m ≤ 1 ta có:

m2 + 6m + 9 = 2(1 - m)

 m2 + 6m + 9 = 2 – 2m

 m2 + 8m + 7 = 0

 (m + 1)(m + 7) = 0

=> m = - 1, m = - 7

* Với m > 1 ta có:

m2 + 6m + 9 = 2(m - 1)

 m2 + 6m + 9 = 2m - 2

 m2 + 4m + 11 = 0 Phơng trình vô nghiệm Vậy có hai giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung

và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 1 (đvdt)

là m = - 1, m = - 7

0.25đ

0 25đ

0.25đ

0.25đ

0 25đ

B(; 0)

A(0; m+3)

x y

O

(3)

a

(1.25)

Giải hệ phơng trình khi m = -1

Với m = -1 ta có :  + =x 2y2x y 3− =4   + =2x y 3x= +4 2y   = ++ + =



x 4 2y 2(4 2y) y 3  + + =8 4y yx= +4 2y 3

  + =8 5y 3x= +4 2y  = += −



x 4 2y 5y 5   = −xy=21 Vậy với m = - 1 thì hệ có nghiệm  = −xy =21

0.5đ 0.5đ

0 25đ

b

(1.25)

Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y)

Ta có: x 2y 3 m

2x y 3(m 2)

− = −



= − +





x 3 m 2y 2x y 3(m 2)

  = − +− + + = +



x 3 m 2y 2(3 m 2y) y 3(m 2)  − + + = +6 2m 4y y 3m 6x 3 m 2y= − +

  = − +=



x 3 m 2y 5y 5m  =x 3 my= +m

Để M = -(x2 + y2) đạt giá trị lớn nhất tức là - [m2 + (m+3)2] lớn nhất -(2m2 + 6m+ 9) = -9

2- [2(m2 +3m + 9

4)] = -9

2- 2(m +3 2

)

2 ≤ -9

2 -(x2 + y2) = - [m2 + (m+3)2] lớn nhất bằng -9

2 khi và chỉ khi m =-3

2

0.25đ 0.25đ 0 25đ

0.25đ 0 25đ

c

4

a

(1.25)

Veừ hỡnh ủuựng

C/m: ∠DMC = ∠DME

* Ta coự ∠DME = ∠AMB(ủoỏi ủổnh) Maởt khaực: sủ∠AMB= sủ12AB

MCA MAC

CMD = ∠ + ∠

Maứ sủ MACã = 12sd MCẳ (Goực noọi tieỏp chaộn cung MC) ã 1 ằ

2

MCA= sd AC(Goực noọi tieỏp chaộn cung AC)

CMD= sd MC MA+ = sd AC= sd AB

0.25đ 0.25đ

0.25đ

B

A

E D

C

N

Do daõy AB = AC⇒ Cung AB baống cung AC

⇒DMCã =DMEã

* Xeựt ∆MDC = ∆MDE

Ta coự: DMCã =DMEã (chửựng minh treõn)

MD chung;

MDCã =MDEã = 90 0(Do CD ⊥AM) Vaọy ∆MDC = ∆MDE(g - c - g) (ủpcm)

0.25đ

0.25đ

b

(1 đ)

Khi AM quay xunh quanh A thỡ E chaùy treõn ủửụứng naứo?

Do ∆MDC=∆MDE (chửựng minh ụỷ caõu a)

⇒DC=DE

⇒AD laứ ủửụứng trung trửùc cuỷa CE

⇒AE=AC=AB Vậy khi AM quay xung quanh A thỡ E chaùy treõn ủửụứng troứn taõm A baựn kớnh AC

0.25đ 0.25đ

0.5đ

c

(0.75)

C/m BACã =2.CEBã

Do ∆MCE caõn ụỷ M ⇒MCEã =MECã Maứ ãBMC=MEC MCEã + ã =2.MECã (goực ngoaứi ∆MEC)

Ta laùi coự BACã =BMCã (cuứng chaộn cung BC) ⇒BACã =2.CEBã

0.25đ 0.5đ

d

(1 đ)

Chửựng minh boỏn ủieồm A, N, C, D cuứng thuoọc moọt ủửụứng troứn

Ta ủaừ coự ãADC= 90 0(Do CD ⊥AM) ủửụứng kớnh qua A caột BC taùi trung ủieồm N (N ∈ BC) neõn CB ⊥AN taùi N (Tớnh chaỏt ủửụứng kớnh vaứ daõy cung)

Suy ra boỏn ủieồm A, N, C, D cuứng thuoọc moọt ủửụứng troứn ủửụứng kớnh

AC

0.25đ 0.5đ 0.25đ

5

(2 đ) (2 đ)

Gọi E là điểm đối xứng của C qua AD, từ tính chất đối xứng trục

ta có : AC = AE ; MC = ME (*) Gọi I là giao điểm BM và AE ta có :

IM + IE > ME

AI + IB > AB ( BĐT tam giác )

 AI + IE + MI + IB > AB + ME

 AE + MB > AB + ME

 AE - AB > ME - MB Kết hơp (*) ta có AC - AB > MC - MB

0,5

0,5 0,5 0,5

D I

E

C A

B

M

(4.0)

a

(2 đ)

Theo bất đẳng thức Côsi : (a + b)(1 1

a b+ ) ≥ 2 a b. 2 1

ab = 4 (với a, b > 0)

⇒ 1 1a b+ ≥ a b4+ (1) Mặt khác ta có : ab ≤ (

2

b

a+ )2 = 4

1

⇒ ab1 ≥ 4 (2) do a+b = 1 (với a, b > 0)

áp dụng bất đẳng thức (1) và kết quả (2) ta có :

2

B

B ≥ 2 + 6

) (

4

2 = +b

a do a + b = 1 ⇒ MinB= 6 ⇔ a = b =

2 1

Vậy : MinB = 6 ⇔ a = b =

2 1

0.25đ

0.25đ

0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ

b

(2 đ)

5x – 3y = 2xy – 11 Rỳt y theo x

 5x +11 = 2xy + 3y

 5x +11 = (2x + 3)y

2

y

(Do x nguyờn nờn 2x + 3 ≠ 0)

Vỡ y nguyờn => x + 5 M 2x + 3 =>2(x + 5) M 2x + 3 => 2x + 3 + 7 M 2x + 3

=> 7 M 2x + 3

Vaọy ta cú cỏc cặp (x ; y) là: (-1; 6); (-2; -1); (2; 3); (-5; 2) Thử lại cỏc giỏ trị đú đều đỳng

0.25đ 0.25đ 0.5đ

0.5đ 0.25đ 0.25đ

Ghi chú:

− Học sinh làm cách khác đáp án nhng đúng vẫn cho điểm tối đa.

− Điểm toàn bài không làm tròn.