Đề thi HSG Toán 7-4

Trên nửa mặt phẳng không chứa B , bờ là AC , kẻ tia Ax vuông góc với AC ; trên Ax lấy điểm M sao cho AM=AC.. Trên nửa mặt phẳng không chứa C , bờ là AB , kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấ

Đề thi học sinh giỏi môn thi : toán lớp 7

Câu 1 : (2 điểm)

Tính : a) A=

68

1 52

1 8

1 39

1 6 1









b) B= 512-  2  3 

2

512 2

512 2

512

- 10

2 512

Câu 2 : (2 điểm)

a) Tìm x,y nguyên biết : xy+3x-y=6

y x

z z

x

y y

z

x





















Câu 3 : (2 điểm)

a) Chứng minh rằng : Với n nguyên dơng ta có

S=3n+2-2n+2+3n-2n chia hết cho 10

b) Tìm số tự nhiên x,y biết : 7(x-2004)2 = 23-y2

Câu 4 : (3 điểm)

Cho tam giác ABC , AK là trung tuyến Trên nửa mặt phẳng không chứa B ,

bờ là AC , kẻ tia Ax vuông góc với AC ; trên Ax lấy điểm M sao cho AM=AC Trên nửa mặt phẳng không chứa C , bờ là AB , kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy điểm N thuộc Ay sao cho AN=AB Lấy điểm P trên tia AK sao cho

AK=KP Chứng minh :

a) AC//BP

b) AK vuông góc với MN

Câu 5 : (1 điểm) a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác vuông với c là cạnh

huyền Chứng minh rằng : a2n + b2n  c 2n ; n là số tự nhiên lớn hơn 0

đáp án đề thi học sinh giỏi môn thi : toán lớp 7

Câu 1 : (2 đ)

a) (1đ) A=

3 4 4 1 3 1

) 17

1 13

1 2

1 ( 4 1

) 17

1 13

1 2

1 ( 3

1













b)(1đ) B=512(1- 2 3 10

2

1

2

1 2

1 2

1





B=512         )

2

1 2

1 (

) 2

1 2

1 ( ) 2

1 2

1 ( ) 2

1 1

B=512         )

2

1 2

1

2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1

B=512 10

2

1

=512

2

1 1024

1

Câu 2 : (2 đ)

a) (1đ)

xy+3x-y=6

x(y+3)-(y+3) =3

Có 4 trờng hợp xảy ra :













1 3

3 1

y

x

; 











3 3 1 1

y x

; 















1 3

3 1

y x

; 















3 3

1 1

y x

Từ đó ta tìm đợc 4 cặp số x;y thoả mãn là :

(x=4;y=-2) ; (x=2;y=0) ; (x=-2;y=-4) ; (x=0; y=-6) 0,5

b : (1đ)















z z

x

y y

z

x















z z

x

y y

z

x

= =

2

1 ) (





z y

x

z y

x

, suy ra x+y+z=

2

1

0,5

Từ đó ta có x+y=  z

2

1 ; x+z=

2

1 -y ; y+z=

2

1 -x 0,25 Thay vào ta tìm đợc x=

2

1 ; y=

2

1 ;

z=-2

1

0,25

Câu 3 : (2đ)

a) (1đ)

S=(3n+2 + 3n )-(2n+2 + 2n) =3n (32 + 1) - 2n-1(23 + 2) 0,5 S=3n.10 - 2n-1.10=10(3n - 2n-1) chia hết cho 10 0,5 b) (1đ) 7(x-2004)2 = 23-y2

7(x-2004)2 + y2 =23 (*)

Vì y2

0 nên (x-2004)2

7

23

 , suy ra (x-2004)2 =0

Với (x-2004)2 =0 thay vào (*) ta có y2=23 (loại) Với (x-2004)2 =1 thay vào (*) ta có y2=16 0,25

Từ đó ta tìm đợc (x=2005;y=4) ; (x=2003; y=4) 0,25

1

3 2 1 1

x

y

M

N H

P

K C B

A

Câu 4 : (3 đ)

a) (1đ)

Chứng minh AKC  PKB(c.g.c)

Suy ra A ˆ3 Pˆ1 , từ đó suy ra

b) (2đ)

Chứng minh góc ABP=góc NAM (cùng bù góc BAC) (0,5đ) Chứng minh ABP NAM (c.g.c) (0,5đ) Suy ra A ˆ1 Nˆ1

Gọi H là giao điểm của AK và MN

Chứng minh 0

1

ˆ A 

Suy ra A ˆ2 Nˆ1=900 Do đó AKNM tại H (0,5đ)

Câu 5 : (1đ)

Với n=1 , theo định lí Pythagore ta có : a2 + b2 = c2 (Đúng) 0,25 Giả sử đúng với n=k , ta có a2k + b2k  c2k

Với n= k+1 , ta có a2(k+1) + b2(k+1) =

=(a2k + b2k)(a2 + b2) - a2b2k - b2a2k c2kc2=c2(k+1) 0,5 Vậy bất đẳng thức đúng với n=k + 1

Do đó ta có a2n + b2n

 c2n ; n là số tự nhiên lớn hơn 0 0,25