Ba duong conic.pdf

4.Tiếp tuyến của parabolĐịnh nghĩa: Cho parabol p và đường thẳng d .Đường thẳng d gọi là tiếp tuyến của P nếu d không song song với trục đối xứng của P và d có một điểmchung duy nhất với

Ta gọi : F1, F2 là tiêu điểm của (E).

Khoảng cách F1F2 = 2c là tiêu cự của (E)

2)Phương trình chính tắc của elip:

(E): 2 1

2 2

x

( với b2 = a2- c2 )

3)Hình dạng và tính chất của (E):

*Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(- c; 0)

Tiêu điểm phải F2( c; 0)

Bán kính qua tiêu điểm trái: MF1= a + e.xM= a+

4)Tiếp tuyến của elip

Định nghĩa: Cho elip (E) và đường thẳng (d) Đường thẳ ng (d) gọi là tiếp tuyến của

(E) nếu (d) có một điểm chung duy nhất với (H)

Định lý :Cho elip (E) có phương trình chính tắc:

(E): 2 1

2 2

C By Ax b

y a x

C b

y Bb a

x Aa

b

y a

C Y Bb X Aa

Y X

(II)

Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi hệ (II) có nghiệm duy nhất

 Đường thẳng (d’): AaX+BbY+C=0 tiếp xúc với đường tròn (C ): X2+Y2=1

 Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đường thẳng (d’) bằng bán kính R = 1

2 2 2

B b a A C

 A2a2+B2b2=C2

Hệ quả: Cho elip (E) có phương trình chính tắc:

(E): 2 1

2 2

x với b2 = a2- c2

Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (E) thì tiếp tuyến của (E) tại M có phương trình là (d):

1

x

x M M  .2  . 2  1  0

b

y y a x

x M M

Theo điều kiện của định lý có :

2 2 2 2 2

b

y a a

x M M

Vậy (d) là tiếp tuyến của (E) tại M

II.Hypebol

1.Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2= 2c (c > 0) và hằng số

a<c.Hypebol (H) là tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1-MF2= 2a

(H) = { M:  MF1-MF2= 2a}

Ta gọi : F1, F2 là tiêu điểm của (E)

Khoảng cách F1F2 = 2c là tiêu cự của (E)

2.Phương trình chính tắc của hypebol:

(H): 2 1

2 2

x

( với b2 = c2- a2 )

3.Hình dạng và tính chất của (H ):

*Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(- c; 0)

Tiêu điểm phải F2( c; 0)

*Các đỉnh : A1( -a ; 0); A2( a; 0)

*Trục thực: A1A2= 2a, nằm trên trục Ox

Trục ảo: B1B2= 2b, nằm trên trục Oy

*Tâm sai : e =

a

c

>1 *Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(xM; yM) thuộc (E) là:

Bán kính qua tiêu điểm trái: MF1=a + e.xM= a+

4.Tiếp tuyến của hypebol

Định nghĩa:Cho hypebol (H) và đường thẳng (d) Đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến

của (H) nếu (d) không song song với các đường tiệm cận của (H) và (d) có một

điểm chung duy nhất với (H)

Định lý :Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc:

(H): 2 1

2 2

C By Ax b

y a

C By Ax

b

y a

x

C x

By A

bx

ay x

A bx

ay a

Bb x

a a C

bx

ay x

A Y a

Bb X a C

Y X

BbY+A=0 tiếp xúc với đường tròn (C ): X2+Y2=1

 Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đường thẳng (d’) bằng bán kính R = 1

 1

2

2 2 2



a

b B a C A

x

với b2 = a2- c2

Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (H) thì tiếp tuyến của (H) tại M có phương trình là (d):

1

x

x M M  .2  . 2  1  0

b

y y a

x

x M M

Theo điều kiện của định lý có :

2 2 2 2 2

b

y a a

x M M

Vậy (d) là tiếp tuyến của (H) tại M

III Parabol

1 Định nghĩa:Cho điểm cố định F và đường thẳng cố định không đi qua

F.Parabol (P) là tập hợp các điểm M cách đều điểm F và đường thẳng 

(P) = { M: MF= d(M;)}

Ta gọi : F là tiêu điểm của (P)

Đường thẳng  là đường chuẩn của

p= d(F; ) là tham số tiêu

2.Phương trình chính tắc của parabol:

(P): y2= 2px

3.Hình dạng và tính chất của (E):

*Tiêu điểm: Tiêu điểm F(

2

p

; 0)

4.Tiếp tuyến của parabol

Định nghĩa: Cho parabol (p) và đường thẳng (d) Đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến

của (P) nếu (d) không song song với trục đối xứng của (P) và (d) có một điểmchung duy nhất với (P)

Ta thấy trục 0x cắt (P) tại một điểm nhưng không là tiếp tuyến của (P)

Để (d) không song song với trục 0x thì A 0

Khi đó (d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm duy nhất

A

C By p

Vì M thuộc (P) nên

IV.Ba đường cônic

1.Định nghĩa:Cho điểm F cố định , một đường thẳng  cố định không đi qua F vàmột số dương e Cônic (C) là tập hợp các điểm M sao cho e

M d

MF M

)

; ( :

Ta gọi: F là tiêu điểm

a ứng với tiêu điểm phải F2( c; 0)

Với mọi điểm M thuộc (E) thì:

MF

= eVậy đường (E) là đường cônic với e< 1

*Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc:

(H): 2 1

2 2

a ứng với tiêu điểm phải F2( c; 0)

Với mọi điểm M thuộc (H) thì:

= e

Vậy đường (H) là đường cônic với e> 1.

d

MF

= 1Vậy đường (P) là đường cônic với e=1

Một số dạng bài tập

Dạng 1 Xác định các yếu tố của (E),(H),(P) khi biết phương trình chính tắc của chúng.

Phương pháp: Sử dụng các công thức xác định các yếu tố của (E) ,(H),(P).

Ví dụ 1 Cho elip (E) có phương trình 1

1 4

2 2

Khi đó : Tiêu điểm của (E) là F1(- 3; 0), F2( 3; 0)

Tâm sai của (E) là e=

2

3



a c

Đường chuẩn của (E) là x=

2 2

Đường tiệm cận của (H) là y=

2 5

Ví dụ 3 Cho parabol (P) có phương trình y2= 4x

Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của (P)

Giải

Từ phương trình của (P)2p= 4p = 2

Ta có : Tiêu điểm của (P) là F( 1; 0)

Đường chuẩn của (P) là x = - 1

Dạng 2 Lập phương trình chính tắc của (E),(H),(P).

Phương pháp :Để lập phương trình chính tắc của (E)(H)(P) ta cần xác định các hệ

số a, b,p trong các phương trình đó

Ví dụ 4.Lập phương trình chính tắc của elip (E) , biết (E) đi qua điểm M( 5 ; - 2)

và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 10

Giải

Gọi phương trình chính tắc của (E) là: 2 1

2 2

4 2





a a a

Vậy phương trình của (E) là: 1

6 15

2 2



 y

x

Ví dụ 5 Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) , biết (H) đi qua M(- 2;1)và

góc giữa hai đường tiệm cận bằng 600

Giải

Gọi phương trình chính tắc của (H) là: 2 1

2 2

cos(1;2) = 2 2

2 2

a b

a b





 cos600 = 2 2

2 2

a b

a b

a b

a b

) (

2

) (

2

2 2 2

2

2 2 2 2

a b a

b

a b a b

2 2

3

3

b a

a b

Với b2= 3a2 thay vào (*) được a2=

2 2

3

1 1

2 2



 y

x

Ví dụ 6 Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) biết tâm sai e = 2 , các tiêu

điểm của (H) trùng với các tiêu điểm của elip

Giải

Ta có elip (E): 1

9 25

2 2



 y

x

có a2 = 25, b2= 9 c2= a2-b2=16 c = 4

 Tiêu điểm của (E) là F1(-4; 0), F2(4; 0)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là: 2 1

2 2

x với b2= c2- a2.Vì các tiêu điểm của(H) trùng với các tiêu điểm của (E) nên có c = 4

Do (H) có tâm sai e =

a c

= 2 c = 2a a = 2

 b2= c2- a2= 12Vậy phương trình của (H) là : 1

12 4

2 2

Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2= 2px

Do tọa độ tiêu điểm F(5; 0) nên

2

p

= 5 p = 10Vậy phương trình của (P) : y2= 20x

Ví dụ 8.Viết phương trình chính tắc của elip biết elip tiếp xúc với hai

đường thẳng d1: x+ y - 5 = 0

d2: x- 4y - 10 = 0 Giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng (E): 2 1

2 2

25

2 2

2 2

b a

b a

b a

Vậy phương trình của (E): 1

5 20

2 2

Vậy phương trình của (P): y2= 32x hoặc y2= 64x

Dạng 3 Lập phương trình tiếp tuyến của các đường cônic

Ví dụ 10.Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 4) và tiếp xúc với

4 1

2 2



 y

x Tìm tọa độ tiếp điểm

Mặt khác M thuộc (H) nên: 1

4 1

2 0 2

0

0

y x

2 2



 y

5 4

2 2



 y

x

Giải

Gọi tiếp tuyến chung của hai elip là (d): Ax+ By +C = 0 ( với A2+B20)

Theo điều kiện tiếp xúc có :

2 2 2

5 4

4 5

C B A

C B A

2 2

9B

C

B A

Vậy phương trình tiếp tuyến chung của hai elip là:

(d): x  y 3 = 0 ( đây là 4 tiếp tuyến chung)

Dạng 4 Lập phương trình các đường cônic không ở dạng chính tắc

Xác định các yếu tố của các đường cônic không ở dạng chính tắc

Phương pháp: * Sử dụng phép tịnh tiến trục tọa độ đưa về dạng chính tắc

- Trong hệ tọa độ 0xy có I(x0; y0)

- Tịnh tiến hệ tọa độ 0xy theo vectơ OI được hệ tọa độ IXY

x X x

( Thật vậy, nếu lấy điểm M bất kỳ Giả sử tọa độ M= (x; y) trong hệ

tọa độ 0xy và tọa độ M= (X; Y ) trong hệ tọa độ IXY Khi đó :OI=(x0; y0)= x0 i +y0 j

x X x

)

* Sử dụng định nghĩa để lập phương trình các đường cônic

Ví dụ 12.Cho đường cong (H) có phương trình x2-4y2- 2x- 16y -19= 0 Chứng minhrằng (H) là một hypebol Tìm tọa độ các tiêu đi ểm , các đỉnh , phương trình hai

đường tiệm cận của hypebol (H)

2 4

X x

Trong hệ tọa độ IXY thì (H) có phương trình:

1 1 4

2 2



Y

X

a2=4, b2=1 nên c2=a2+b2=5a= 2, b = 1, c= 5

Trong hệ tọa độ IXY thì (H) có:

+ Tọa độ tiêu điểm: F1( - 5; 0), F2( 5;0)

Chuyển kết qua trên về hệ tọa độ 0xy thì (H) có:

+ Tọa độ tiêu điểm : : F1( 1- 5; - 2), F2(1+ 5;- 2)

Ví dụ 13 Viết phương trình của parabol (P) có trục đối xứng là trục 0x, có đường

chuẩn là trục 0y và đi qua điểm A(5; 4)

Theo đầu bài thì phương trình đường chuẩn của (P) là:

: x = 0 ( trục 0y)Vì trục đối xứng 0x đi qua tiêu điểm nên tọa độ tiêu điểm của (P)là F( c; 0)

Do điểm A thuộc (P) nên: AF = d(A;)

 Với c = 2 thì F(2;0) Lấy bất kì M(x; y ) thuộc (P)

 MF= d(M, )

) 2 ( x y = x

(2-x)2 + y2 = x2

 y2= 4x – 4 Vậy phương trình (P): y2= 4x – 4

Ví dụ 14 Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (P) có phương trình

: 3x- 4y + 1= 0.

Dạng 5 Xác định điểm M nằm trên (E),(H),(P) thỏa mãn điều kiện cho trước.

Ví dụ 15 Cho elip (E) : 1

9 25

2 2

2 0 2

0  y 

x

(*)Mặt khác theo công thức tính bán kính qua tiêu điểm ta có :

Thay vào (*) ta có : 1

9 144

25  y02  

144

119 9

3

; 12 25

Ví dụ 16 Cho hypebol (H): 1

3 9

2 2



 y

x

a)Tìm trên (H) điểm M có tung độ là 1

b)Tìm trên (H) điểm M sao cho góc F1MF2 bằng 900

c) Tìm trên (H) điểm M sao cho F1M= 2F2M

1 3

1 9

0  x02+ y02= 12

3 9

2 0 2

3

12

2 0 2 0

2 0 2 0

y x

y x

2 0

2 0

y x

5 3

0

0

y x

Vậy tọa độ điểm M là:

5 3

5 3

5 3

5 3

2 1

MF MF

MF MF

Theo công thức bán kính qua tiêu điểm:

Do M thuộc (H) nên thay x0=

2

3 9

vào (H) ta được:

1 3 4

3 9

Ví dụ 17 Cho parabol (P): y2= 4x

a)Tìm trên (P) điểm M cách F một khoảng là 4.

b)Tìm trên (P) điểm M O sao cho khoảng cách từ M đến 0y gấp hai lần khoảngcách từ M đến 0x

Vậy tọa độ điểm M là: (3;  2 3)

b)Gọi tọa độ M= (x ;y)

4

2

y x

x y

Vậy tọa độ M là (16; 8) và ( 16; - 8)

Dạng 6.Chứng minh các tính chất của đường cônic

Ví dụ 18 Cho hypebol (H): 2 1

2 2

x

với b2 = c2- a2 có các tiêu điểm F1, F2 Lấy

M là điểm bất kì trên (H) Chứng minh rằng : Tích khoảng cách từ M đến hai

đường tiệm cận có giá trị không đổi

b a

ay bx





d2= d(M;2) =

2 2 0 0

b a

ay bx





 d1.d2 =

2 2 0 0

b a

ay bx





2 2 0 0

b a

ay bx





2 0 2 2 0 2

b a

y a x b





Vì M thuọc (H) nên :  2  1 

2 0 2

2 0

b

y a

x

b2x02- a2y02 = a2.b2

Vậy d1.d2 = 22. 22

b a

b a

 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Vậy đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N

a.Hoành độ hai điểm M và N là hai nghiệm của phương trình (*)



Bài tập đề nghị

Bài 1 Cho hypebol (H) : 4x2- y2- 4 = 0

a) Xác định toạ độ tiêu điểm của (H)

b) Tìm điểm M nằm trên (H) sao cho M nhìn hai tiêu điểm F1; F2 của (H) dưới mộtgóc vuông

Bài 2.Cho hypebol (H): 1

5 4

2 2

b)Xác định m để F2N = 2F1N biết F1, F2 là hai tiêu điểm của (H)

HD: a) - Lập phương trình hoành độ giao điểm của  và (H)

- Chừng minh phương trình đó luôn có hai nghiệm trái dấu

b) - Tìm toạ độ xM , xN

- Dùng công thức bán kính qua tiêu điểm

Bài 3 Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp dưới đây:

a) (E) có một tiêu điểm F1( - 7; 0) và đi qua M(-2; 12)

b)(E) đi qua điểm M( 1;

147 196

2 2

2 2



 y x

d) 1

4

2 2



 y x

Bài 4.Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi thường hợp sau:

a)(H) có tiêu điểm F1( - 7; 0) và đi qua M(-2; 12)

b)(H) đi qua điểm A( 4 2; 5) và có đường tiệm cận y =

4

5x

c)(H) có tiêu cự bằng 2 5 và có tiệm cận xiên y = 2x

2 2

2 2



 y

x

Bài 5 Viết phương trình của parabol (P) trong mỗi trương hợp dưới đây

a)(P) có đường chuẩn là : x+ y = 0 và tiêu điểm F(2; 2)

b)(P) trục đối xứng là trục 0x; có đường chuẩn là trục 0y và đi qua điểm A(3; 1)c)(P) có trục đối xứng là trục 0x và đi qua điểm A(4; 1) ; B(1; 2)

d

AF A

d

) , (

) , (

2 2

a)Tính độ dài phần đường tiệm cận nằm giữa hai đường chuẩn

b)Tính khoảng cách từ tiêu điểm tới đường tiệm cận

c)Chứng minh rằng : Chân đường vuông góc hạ từ một tiêu điểm tới các đườngtiệm cận nằm trên đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó

a) - Lập phương trình hai đường chuẩn và hai đường tiệm cận

- Xác định toạ độ các giao điểm

- Tính độ dài đoạn tiệm cận nằm giữa hai đường chuẩn (do tình đối xứng nênhai đoạn là bằng nhau)

b) Do tính đối xứng của (H) nên chỉ cần tìm khoảng cách từ một điểm bất kỳ đếnmột đường chuẩn bất kỳ

c) - Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ F2 đến đường tiệm cận d: bx + ay = 0

2 2



 y

x và C( 2; 0) Tìm A, Bthuộc (E) biết A, B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều

HD: - Đặt toạ độ A(x0; y0) suy ra toạ độ B(x0; - y0)

E B

; 7

2 ) , B(

7

3 4

; 7

2  ) hoặc A(

7

3 4

; 7

2  ), B(

7

3 4

; 7

Bài 11.(CĐ Cơ khí luyện kim -2007)Viết phương trình của hypebol (H): 1

4 9

2 2

Bài 12 (CĐ Sư phạm Vĩnh phúc - 2007)Cho elip (E) : 9x2 + 16y2 = 144 Lập

phương trình tiếp tuyến của (E) đi qua M( 4;

b)Đường thẳng d tiếp xúc với (E) tại M cắt hai trục toạ độ tại A và B Tìm toạ độ

M sao cho diện tích tam giác OAB nhỏ nhất

HD: b) - Đặt toạ độ M(x0; y0)

- Lập phương trình tiếp tuyến tại M

- Xác định toạ độ A, B theo x0, y0.

- Tính diện tích tam giác OAB theo x0, y0

- Dùng điều kiện M thuộc (E) để tìm GTNN của SOAB

8 18

2 2

2 2



 y

x

với các tiêu

điểm F1; F2 Tìm M thuộc (E) sao cho MF1- MF2 = 2

HD: Sử dụng công thức tính bán kính qua tiêu điểm

2 2

48 64

2 2



 y

x

Bài 17.Cho elip (E) : 4x2 + 16y2 = 64

a) Xác định các tiêu điểm F1, F2 , tâm sai và vẽ elip

b) Gọi M là điểm bất kì trên (E) Chứng minh rằng tỷ số khoảng cách từ điểm Mtới tiêu điểm phải F2 và tới đường thẳng x =

3

8

có giá trị không đổi

HD: b)- Lấy bất kì M(x0; y0) thuộc (E)

- Sử dụng công thức bán kính qua tiêu điểm tính MF2

- Tính d(M; ) với: x =

3 8

- Lập tỷ số

) , (

2



M d MF

ĐS: a) F1( - 12; 0), F2( 12; 0)

b)

2

3 ) , (



M d

b a

e suy ra a, b

16 36

2 2

x

(a>b>0)a) Chứng minh rằng với điểm M bất kỳ thuộc (E) thì ta có b xa

b) Giả sử đường thẳng (d): y = kx cắt elip (E) tại A Tính OA theo a, b, k

c) Gọi A, b thuộc (E) sao cho OA OB Chứng minh rằng : 12 12

OB

OA  có giá trịkhông đổi

HD:

a) - Đặt toạ độ M( x0; y0)

- Từ điều kiện 2 1

2 0 2

2

b

y a

x

và a>b> 0 suy GTLN, GTNN của OM2 = x02+y02

b) - Đặt toạ độ A(x0; y0)

- Từ A = (d) (E) suy ra toạ độ A

- Tính OA

c) áp dụng phần b)

ĐS: b) OA =

2 2 2

2

1

a k b

k ab





*** Hết ***