Tong hop tich phan

2 Xác định A , B sao cho diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi AB và P đạt giá trị lớn nhất... 1 Khảo sát biến thiên hàm số.. Hãy so sánh diện tích tam giác AMN và diện tích của hình

Trang 1

VẤN ĐỀ 1 TÍCH PHÂN CƠ BẢN

Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :

31

3) 3 3 2 32 5 3

x

x x

32

2

351

x

x x

1

−+

7)

)2)(

17

3 2+

54

−

+

x x

10)

54

1

2 −

65

1

2 − x−

169

1

2 − x+

x

Trang: 1

Trang 2

ltđh14)

34

x Cos

+

2 2) Sin3x.Cos3x 3)

14

4

12

4x− Cos x+

Cos

4) (3 – 2Cosx)2 5) Sin4x 6) Cos33x

7) Sin5x.Cos2x 8) (2tgx – 5)2 9) (3 – Sin2x)(2 + 5Cos2x) 10) Cos4x 11) (2Cos23x – 1)Sin23x

12) Cosx.Cos3x.Cos5x 13) Sin3x.Cos3x

14) (tg2x – 3)(2Cotg2 + 5) 15)

23

16) (3 – tgx)(5 + 4Cotgx) 17) Sin2x.Cos4x 18) Cos6x

1)

2

83

10) (2x+ 1−5x− 1)10−x

Bài 5 : Tính tích phân các hàm số sau đây :

1)

82

35

2 − −

+

x x

x

2)

252

73

2 − +

−

x x

x

3)

)1)(

4(

12

2+

−

+

x x

x

4)

22

12

3 + x −x−

x x

12

x

7)

)4)(

1(

1

5 3++

+

x x

x

9)

)2)(

1)(

1(

13

−

−+

++

x x x

x x

1)

96

17

2 − +

+

x x

x

2)2(

x

Trang 3

2+

−

+

x x

x

1)

103

25

2 − +

−

x x

1

2 −x +

)1)(

1(

122

2

+

−

−+

x x

7)

2

753

2

2 3

+

+++

x

x x x

8)

)82()2)(

1(

1572 2

3

+

−+

−

+

−

x x x

x

x x

VẤN ĐỀ 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

4 ) ∫3( + )

1 x 4 dx 5) ∫2 +

22

2

dx x

x 6) ∫−2 +

2 x 1 dx . 7) ∫−3 −

2x x . dx 12) ∫2 ( )

1

2 (a 1)x a dx x

π

dx tgx x Cos

19) 3

dx Sin x Cos x

π

2 3

2 4

Trang 4

ltđh21)

3 3

2 6

dx Sin x Cos x

π π

Cosx dx Cosx

với t ∈ R1) Tính J(t) 2) Tìm MinJ(t)

ln

y= x+ x +a thì y' 21 2

=+ (a> 0)

Trang 5

VẤN ĐỀ 3 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SO Á

1)

63

13

2++

+

x x

36

2+

x

58

833

2++

+

x x x

4)

9

10 3 6

2+

−

x

x x

2+

+

x x

Trang: 5

Trang 6

5)

1

3 0

.(3 1)

x dx

x+

2 4

21

1

dx x

51

x

dx x

9)

1 2

x

dx x

−+

(2 5)6

0

6 3

5(1 x ) dx x

Sin

Trang 7

7)

12

3+

x Cos

x Cos 9) Sin7x.Cos2x

10)

x Cos SinxCosx

x

1+

1

12)

x Cos

x Sin

6

2

13) Sin 3x Cosx 14)

x Sin x

7

1+15) Cos2x.Sin3x 16)

x Sin4

1

17)

x Cos

x Cos Sinx

2

31

18) Cos 5x Sinx 19)

Cosx x Sin

1

x Cos x Sin2 21

21)

x Cos x Sin

Cosx Sinx

4 4

Cosx Sinx

−

+

25)

Cosx b Sinx

1+ 26) Sin4x.Cos5x27) Sin2x.Cos4x 28)

x Cos

x Sin Six

2

3

x Sin

x Cos

4 2

Sinx x Sin

x Cos

+2 3

33)

Cosx Sinx x

Sin

x Cos

.42

2

Cosx Sinx

2

3 43

.+

0 1 3

π

dx Cosx

0 3

π

dx Cosx x

0 1 4

π

dx Cosx Sinx . 6) ∫2 +

∫π 9) 2(Cos x Sin x).dx

0

3 3

dx x Sin

Sinx Cosx

12) ∫2 ++ ++

67

π

dx Cosx Sinx

Cosx

Trang: 7

Trang 8

Cos 14) ∫2 +

π

dx x Cos

Cosx 15) ∫2 − −

0

27

11

π

dx x Cos Sinx Cosx

dx x

tg

19) ∫π + −

0 1 Sin2x dx

Sinx Cosx

20) ∫4 +

01 21

π

dx x Sin 21) ∫2 +

0

3

2 )1

(2

π

dx x Sin x

22) ∫2 +

0

3)1

(

π

dx Cosx Cosx

0

4 4

4

π

dx x Cos x Sin

x Sin

24) ∫2 +

0

6 6

6

π

dx x Cos x

Sin

x Sin 25) ∫0π

3x.Cos5x.dx Cos 26) ∫4 +

01

π

tgx dx

27) ∫4 + +

0 3

)2(

π

Cosx Sinx

dx Cosx Sinx 28) ∫4

0 2 3

π

dx x Cos

1

π π

dx Cosx Sinx

x Cos x Sin

33)∫4 +

0

2

21

π

dx x Cos

dx Cotgx x

Sin

Sinx x Sin

35) ∫1

0

4x Cosx

Sin dx

0

3)(

.4

π

Cosx Sinx

dx

0

21

.4

π

x Cos

dx x Sin

π

x Sin Sinx

dx Sin x

π π

+ có thể biểu diễn

Trang 9

dưới dạng :h(x) =( ) Sinx

Cosx B Sinx

Cosx A

π

dx x h

Bài 8: Xác định A , B , C sao cho :

x x Cotg2 1

6)

1

1+

−

x

e e

x

e e

1+

x x

x

ln1

ln+13) (2ex +3)2.ex

x

ln

.

21

e dx e

Trang 10

ltđh10) ∫e + dx

x x

x

1

2 )ln1

12) ∫2

1 2

ln

dx x x

13) ∫1 ++

0

2

21

)1

(

dx e

dx x

.ln

0

2 1)ln(

e

dx e

1

(

21

2 − ++

++

x x

x

2)

1

11

13

x

3)

1

1+

x x

4)

11

)53)(

2(

13

2

++

⋅+

+

x x

1+

x x

1212

1+

−

11

1++

2

x

−+

1)

54

1

2 + x+

143

1

2 + −

182

43

2 + +

−

x x x

Trang 11

2 − +

+

x x

x

6)

34

1)

32)

1

2 +

x x

4)

33)

1

(

23

2 + ++

+

x x x

x

5)

x x

12

3 x −

x

7)

1

0 3 2

31

x

dx x

1

dx x

x

14) ∫2 −

21

x

dx x

2

dx x

x x

18) ∫3 ++

0

21

1

dx x x

Trang: 11

Trang 12

ltñh19) ∫2 +

x

21) ∫1 + +

21

)(

x

dx x x

x x

dx x

32) −∫

+2

21

1

dx x

x

36)

1 63

01

x dx x

+

1 2 0

33

Trang 13

BÀI TẬP

CÓ HƯỚNG DẪN

sin(ln x)dxx

dx

x

HD: đặt t = x3+2 ⇒t2 = x +23 ⇒2tdt=3x dx;2

Trang: 13

Trang 14

ltñh

 ⇒x dx = 2

3

2tdt

2

dt = 10

33

0 t

e = (e 1)2

dx

; Đs: 2

Trang 15

2; ) Đs:

8π

2; ) Đs:

12π

) Đs:

16π

2; ) Đs:

123π

2; ) Đs:

2π

31 I =∫2 −

a

xa

2; )

32 I = ∫π3π

3

2 dxxcos

xsin

x

; HD: Đặt: sin

2cos

−

π

2

32

33314

Trang 16

ltñh

36 I =

6cos x

4sin x

xcosxsin

39 I = ∫ππ3

6

2 2

xsin.xcos

xcos

40 I =∫ππ2

22

xcos

x

sin

dx

; Đs: (3 3)3

xsin

; Đs: 12HD: Đặt t = 1+cos2x ⇒dt = -2cosxsinxdx= -sin2xđx

11

xcos

; Đs : 34

xsin

cos

xsin

47 I =∫π4 +

0 1

xcosxsin

xcos

; Đs: ln23

Trang 17

xcos.xsin

2

π

;2π))⇒dt =

ucos

du2

 Đổi cận: t 0 1

u 0

4π

 J = ∫π4

2

ucos

du.u

xcos

xsin

xcos

Trang 18

e)x

58 I = ∫π2 +

0

31

xcos

xsin

; Đs: 2

59 I = ∫π2 +

0

31

xsin

xcos

xsin

; Đs:

4

3

2 −e

; Đs:( )

2

12

4xcos x sin xsin x)dx

21

0 (sin6xcos5x cos6xsin5x)dx; Đs:

21

1+π

Trang 19

0

2xdxcos

80 I = ∫0π

4xdx

sin ; Đs :

83π

3 2

−

Trang: 19

Trang 20

92 I =∫5 −

22xln(x 1)dx; Đs:

24ln4-227

2

5ln5- ln2 –

23

100 I =∫π4

0

2

dx)xsin( ; Đs: 2

101 HD: Biến đổi: I = ∫π4

0

2

dxx

)xsin(

3 2

xsinx

; đặt u =3 x

103 I =∫ππ3

6

2 dxxcos

)xln(sin

; Đs:

64

Trang 21

1 ln110’ I =

3

2 2

++x 1C+ =

2 2

−+ 1

x 1+ = 2

1

x

-1x

xsinx

; HD: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần:

dxdv

xsinx

Trang 22

ltñhđặt : t = tg2x ⇒

dt =

2

2cosdx2 x =( tg x)dx

22

1+ 2

= t dx

2 ) 1 ( + 2 ⇒dx = 2dt2

1 t+Tính : 1+cos1 x =

2 2

1

1 1 1

1 1 1 1

t t t

+

− +

1 2 1

t

+ =1+2t2Vậy: ∫1dx+x=∫ ++ dt

t

2 2

x(1 cos x)tg dx

2 2 cos 2

π

dx x tg x

π

dx x cox

x x

115 Cho I =∫cos x cos 2xdx2 và

J =∫ sin x cos 2xdx2 ; Tính I+J và I-J từ đó suy ra I,J

Trang 23

Đề ĐH 2004 Khối A

Tính tích phân I = ∫12 + − dx

1x1

1t

−1 0

1t

22tt

=2

1 0

13

12t

141

=

4 32

5ln41

Đề ĐH 2004 Khối B

Tính tích phân: I =∫1e + dx

x

xln.xln31

Trang: 23

Trang 24

dxxx

1x2

1x

12

=3ln6 −2ln2 −( )3

21xlnx

xsin21

HD: I =∫π4 +

xsin1

x2cos

Đặt t = 1+sin2x ⇒dt = 2cos2xdx ⇒ cos2xdx= 21dt

x

0e (e 1)

)e(

dx x xĐặt t = ex ta có:

Trang 25

11

2+e

eln

VẤN ĐỀ 5 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

11) 3 x ln x 12) ln(x+ x2 +1) 13) ex.Cosx14) (x2 + 2x + 3)Cosx 15) e2x.Cosx 16) Cos(lnx)

20) Cos2(lnx) 21) x ln x

22)

x Cos

x

x Sin

x

2

21

1ln

x

x x

x

+

++

)1(

.+

dx

x.

Trang: 25

Trang 26

ltñh7) ∫2

0

3

4 Cos x Sin x dx

10)∫1 ( )

0

2 x dx Sin

e x π 11) ∫e x+ xdx

1

ln)

22

0

2 1) (

π

dx Sinx

−

+1

1

2)

(e x2 Sinx e x x dx 21)∫1

0

2 e dx

x x

22)∫4

0

.2.5

π

dx x Sin

e x 23) ∫4

0

2

π

dx x tg

0

)1

ln(

π

dx Cosx

0 2

π

dx x Cos

Sinx x

27) ∫2

0

3

2

π

dx x Cos Sinx

.1

1

π

dx e Cosx Sinx x

32)

2 2

2 1

.( 2)

ln

e

x dx x

dx x Sin

4

1 dx

x

Sinx x

Trang 27

π π

dx x Sin

Cosx x

VẤN ĐỀ 6 TÍCH PHÂN LIÊN KẾT

1) I =∫(a.Sin2αx+bCos2αx)dx và J =∫(a.Cos2αx+bSin2αx)dx

2) I =∫Cos2x.Cos2xdx

và J =∫Sin2x.Cos2xdx

3) I =∫Cos(lnx)dx và J =∫Sin(lnx)dx

4) I =∫e2x.Cos2xdx và J =∫e2x.Sin2xdx

Cosx Sinx

Sinx

Cosx Sinx

Cosx J

1) Tính: I = ∫2 −

0

.3

π

dx x Sin

e x và J = ∫2 −

0

.3

π

dx x Cos

x Cos

x Sin J

4) Tính : I = 2 4 4 4

0

cos

cos sin

x dx

Trang 28

ltđh6) Tính I = 2

∫8) Tính : 2 2

∫

1) Cho hàm số g(x) = Sinx.Sin2x.Cos5x

a) Tìm họ nguyên hàm của hàm số g(x)

π π

dx e

x g

x

2) Tìm họ nguyên hàm của hàm số:

1 ( )

x Sin

Sinx x

Trang 29

8) Tìm họ nguyên hàm của hàm số :f x x x x x

cos sin

cos sin ) (

+

−

= 9) Tìm họ nguyên hàm :

x x

f

cos sin

cos )

(

+

= 2 (ĐHNT – 99 – 2000)10) a) Xác định A , B sao cho : 2 3 2

VẤN ĐỀ 7 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

Bài 1: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [-a, a] (a> 0) Chứng minh rằng:

1/ Nếu f là hàm chẳn thì :∫−a = ∫

a

dx x f dx

x f

dx x

−

++

= 11

3

2 1 dx

x x

Trang 30

) ( )

( )

dx Cosx

+

= 22

221

π π

dx Sinx x

2

π π

dx Sinx f dx Sinx

x Cos

x Sin J

Bài 6: Cho f là hàm số liên tục trên [a,b] và f(a+b-x) = f(x)

dx x b a f dx

x

f( ) ( ) Suy ra: ∫b f x dx=∫b f b−x dx

) ( )

trong hai trường hợp p = q và p ≠ q

2) Cho các số thực a1 , a2 , a3 , …, an

Trang 31

Giả sử a1.cosx + a2.cos2x + …+an.cosnx = 0 với mọi x ∈[0 ; 2π].Hãy sử dụng kết qủa trên để tính a1 , a2 , a3 , …, an.(ĐHQG – 99-2000)

+

2 0

4 4

dx x

x dx

x x

x

sincos

sinsin

coscos

Từ đó tính : ∫2 +

0

4 4

4

π

dx x x

x

sincos

0

.Cosnx dx Sinmx Sinnx dx

+

++

xdx

1)1(

Bài 12: Chứng minh rằng :

4

2 0

π

=+

x Sin x Cos

x Cos

n n

,

Chứng minh rằng : m.I(m,n) = (n – 1).I(m + 1,n – 1) ( 2 ≤ m , n ∈ Z )

1 0

! !(1 )

( x n e x x2 dx

(n = 1,2,…)

Trang: 31

Trang 32

ltđh

0

0)(Sinx nx dx

2 3)(

π π

dx x f I

VẤN ĐỀ 8 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

516

π

ππ

x Cos

dx

2/

27

41

01 0

22

π π

Sinxdx xdx

Sin

5/ ∫2 < ∫

0

2 0

2 6

xdx Sin xdx

1

2 2

1

dx e dx

ππ

x x dx

9

2

x dx

−

≤ 4

3 4

234

x dx

π

3213

3

Cosx x

Cos dx

Trang 33

15) < ∫3 <

14

π

dx x

Sinx

112

π

dx x Cotgx

0

4 2

2

e dx

x e e

2

26

1

dx x

6

ππ

x x dx

21)

1

2

2 0

1

dx x

x tg t

tg

3 3 3 24

J

1

2ln)

( với t > 1Tính J(t) theo t , từ đó suy ra rằng : J(t) < 2 , ∀t > 1 (ĐHQG-KA-1997)

+

= 20

2 4

12

π

Sin

t biếnđổicách

dx x Sin

x Sin I

2) Tính = ∫2 +

0

412

π

thứcđẳng bất minhchứngvà

dx x Cos

x Sin J

Trang: 33

Trang 34

ltđh

++

2 0

Cos

Cosx Sinx

))(

(

0

n n

I Sin x dx

π

=∫ ( n ≥ 0 )1) Chứng minh rằng : 2

12

là một hàm hằng

0

n n

I tg x dx

π

=∫ ( n ≥ 0 )1) Chứng minh rằng :I n >I n+1

2) Tìm hệ thức liên hệ I và n I n+2

∫ ( n ≥ 0 )1) Tính I1

2) Với n > 1 , hãy tìm công thức biểu diển I qua n I n−1

n ( n ≥ 0 )1) Tìm hệ thức liên hệ In+1 và In

2) Chứng minh : In+1 ≤ In và Lim n→∞ I n =0 (ĐHQG-KA-1996)

I

1)(ln với n là số nguyên dương

Trang 35

1) Tìm hệ thức liên hệ In+1 và In Tính I1 và I2

n

e I I

∞

→ +1 ≤ ≤ +1 và tính (ĐHQG-KA-1997)

0

2 dx e x

e n

I n

)( −

0

2) 1

π

dx x tg x

n

1) Tính I2 2) CMR:

242

>

n n

n

Bài 15: Cho

1 0

n n

I =∫x −x dx ( n ≥ 0 )3) Chứng minh rằng : 1

)(.Sin x dx x

Trang 36

ltđh

Bài 18: Tính

0 ( 1)

x x

dt Lim

x dx Lim

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

1) (C) : y = x2 – 4x + 3 ; trục Ox ; hai đường thẳng x = 0 và x = 4.2) (C) : y = x – x2 và trục Ox

3) (C) : y = – x2 + 4x – 3 và các tiếp tuyến với đường cong này tại cácđiểm A(0,–3) và B(3,0)

4) (C) : y = Sinx ; trục Ox ; hai đường thẳng x=π2 và

Trang 37

9) (C) : x = 4 – y2 ; trục Oy ; hai đường thẳng y = –2 và y = 2.

10) (C) : x = y2+ 4y ; trục Oy

11) (C) : y=Sin2x.Cos3x , y = 0 và x = 0 , x =

2

π12) x y+ =0 , 2

−

−+

3) (C) : y2 = 2x và đường tròn tâm O bán kính R

4) (C1) : x2 + y2 = 4 và (C2) : x2 + y2 = 4x (phần chung)

5) ax=y2 , ay x= 2 với a>0 cho trước

Bài 4: Cho ( ) :P y x= 2 Hai điểm A, B di động trên (P) : AB = 2

1) Tìm tập hợp trung điểm I của AB

2) Xác định A , B sao cho diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi AB và (P) đạt giá trị lớn nhất

Bài 5: Xét hình có diện tích chắn bởi ( ) :P y x= 2 và đường thẳng có hệ số

Trang: 37

Trang 38

ltđhgóc k đi qua điểm (1,4)A Xác định k để diện tích đó lớn nhất.

Bài 6: Xét hình có diện tích chắn bởi ( ) :P y x= 2 và đường thẳng có hệ số góc k đi qua điểm trong A x y của (P) (Tức là điểm A với tọa độ ( , )0 0thỏa mãn điều kiện 2

3) Tính diện tích tam giác cong giới hạn bởi (P) và 2 tiếp tuyến nói trên

1) Khảo sát biến thiên hàm số

2) Tính diện tích tam giác cong chắn bởi trục hoành , đồ thị (C) và đường thẳng x = 1

Bài 9: Parabol( ) :P y2 =2x chia diện tích của hình tròn tâm O(0,0) bán kính

R = 2 2 theo tỉ số nào

Bài 10: Cho A là một điểm tùy ý trên ( ) :P y= px2 (p > 0) (D) là một đường thẳng song song với tiếp tuyến tại A của (P) , (D) cắt (P) tại hai điểm

M , N Hãy so sánh diện tích tam giác AMN và diện tích của hình hắn phía trên bởi (D) và phía dưới bởi (P)

; a x

) x ( g y : ) ' C (

) x ( y : ) C (

là S = ∫b −

a

dx ) x ( g ) x (

1.Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i: ệ ẳ ớ ạ ở

a) (C): y = 3x4 – 4x2 + 5 ; Ox ; x = 1; x = 2

Trang 39

+ 3x + 7 h)(C): y = x2 – 4x + 2 ; ti p tuy n v i ế ế ớ

a)(C): y = ;ti m c n xiên và 2 đ ng th ng x = 2;x = 4ệ ậ ườ ẳ

b)(C): y = ;ti m c n xiên và 2 đ ng th ng x = 0;x = – 1ệ ậ ườ ẳ

c)(C): y = – x2 + 2x + 3 và 2 ti p tuy n t i 2 đi m A(0;3); B(3;0)ế ế ạ ể

d)(C): y = x2 – 2x + 2 và các ti p tuy n xu t phát t đi m A(3/2;– 1)ế ế ấ ừ ể

e) y = ex ; y =1 ; x = 2 f) y = (x – 1)(x + 2)(x – 3) ;y = 0

Trang: 39

Trang 40

di n tích b ng nhauệ ằ

Bài 1: Tính thể tích các vật thể tạo nên khi quay quanh Ox hình phẳng S với

S được giới hạn bởi:

1) (C) : y = 2x – x2 và trục Ox

2) S là (E) : 22 + 22 =1

b

y a x

3) S là x2 + (y – b)2 = a2

Trang 41

2

x=π 17) y x e= x, x = 1 , y = 0 (0≤ ≤x 1)

18) Hình tròn x2+ −(y b)2≤a2 , với 0 a b< ≤ 2

Bài 2: Cho hình phẳng D giới hạn bởi y2 = (4 – x)3 và y2 = 4x

1) Tính diện tích miền D

2) Tính thể tích tròn xoay do D quay quanh Ox

Bài 3: Gọi (D) là miền giới hạn bởi các đường y= − +3x 10 ,y=1 và parabol ( ) :P y x= 2 (x>0).Tính vật thể tròn xoay do ta quay (D) quanh trục Ox tạo nên (Miền (D) nằm ngoài (P))

Bài 4: Gọi miền giới hạn bởi các đường y = 0 , ( ) :P y=2x x− 2 là (D) Tính thể tích vật thể được tạo thành do ta quay (D) :

1) Quanh trục Ox

2) Quanh trục Oy

Bài 5: Cho hình tròn có tâm I(2 , 0) , bán kính R = 1 , quay quanh trục Oy

Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo nên

Trang: 41

Trang 42

)x(y:)C(

là V = π∫b[ ]

a

2dx.)x(

1.Tính th tích hình tròn xoay do các hình sau t o thành khi quay quanh tr c Ox:ể ạ ụ a)y = sinx ; y = 0 ;x = 0 ; x = π/2 b) y = cos2x ; y = 0 ;x = 0 ; x = π/4 c)y = ; y = 0 ; x = 0 ; x = π/2

Định dạng
Số trang	42
Dung lượng	2,1 MB