Nếu M, N là các đa thức khác 0 thì: B≠0Phép cộng trừ 2 phân thức: Ta chỉ cộng trừ các phân thức có cùng mẫu... Tính chất : Hàm số y = ax2 xác định với mọi giá trị của xKhi a > 0 thì hàm
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP
Năm 2010-2011
A PHẦN ĐẠI SỐ
I, Phân tích đa thức thành nhân tử:
Phương pháp đặt nhân tử chung
Trong đa thức ta chọn ra nhân tử chung để đưa ra ngoài dấu ngoặc còn các nhân tử riêng thì viết vào trong dấu ngoặc theo công thức sau: Am + Bm - Cm = (A+B-C)m m được coi là nhân tử chung
Ví dụ; 5x2(x+1) - 3x(x+1)2 +7(x+1) = (x+1)[5x2-3x(x+1) + 7] nhân tử chung là (x + 1) 2xz)+(z-y)(x+y) = 2xz)-z)(x+y) = z)[2x-(x+y)] = z)(2x-x-y) = (y-z)(x-y) Ở đây để xuất hiện nhân tử chung ta phải thức hiện phép đổi dấu (do y-z) = -(z-y)
Bài tập áp dụng
phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a, 6x5-9x3; b, 4x(y -2z) -x2(2z-y)
Phương pháp sử dụng hằng đẵng thức: Trong phương này ta áp dụng các hằng đẵng
thức đáng nhớ vào bài toán nên phải học thuộc 7 hằng đẵng thức Trong quá trình làm toán phải làm xuất hiện hằng đẵng thức( có thể theo chiều ngược lại với hằng đẵng thức
đã học)
Ví dụ: phân tích thành nhân tử : a, x2 - 8x + 16 = x2 - 2x.4 + 42 = (x-4)2 b, 3 - x2 =
Cũng như trường hợp đặt nhân tử chung đôi lúc ta cũng phải thực hiện phép đổi dấu mới xuất hiện hằng đẵng thức
Bài tập áp dụng:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a, x4 -y4; b, 2xy - x2-y2; c, Chứng minh rằng hiệu các bình phương của 2 số lẽ liên tiếp thì chia hết cho 8
Một số phương pháp phân tích khác:
- Nhóm các hạng tử theo nhóm Việc nhóm các hạng tử phải làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẵng thức Ví dụ: phân tích x2 +4x - y2+4 nếu nhóm theo nhóm (x2- y2) +(4x +4) thì không thể tiếp tục phân tích được nửa nên phải thực hiện như sau nhóm (x2+4x +4) -y2 = (x+2)2- y2 = (x+2+y)(x+2-y)
- Thêm, bớt hạng tử: trong quá trình phân tích ta có thể thêm bà bớt một hạng tử để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẵng thức ví dụ phân tích thành nhân tử x5 +x +1= x5-x2+x2+x+1 = x2(x3-1)+(x2+x+1) = (x2+x+1) [x2(x-1)+1] = (x2+x+1) (x3
-x2+1) thêm vào và bớt đi hạng tử x2
- Ta cũng có thể tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẵng thức theo nhóm Ví dụ phân tích x2-5x + 6 = x2-2x-3x+6
=x(x-2)-3(x-2) = (x-2)(x-3) Tách -5x thành -2x và -3x
Một số bài tập áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, (x2+y2-2)2-(2xy-2)2; b, x4+4x2-5; c, x2+2xy +y2+2x +2y -3; d,(x-1)(x-3)(x-4)(x-6) -72; e, x2-x -6; f, x2+8x - 20
II, Phân thức đại số:
Định nghĩa: Biểu thức có dạng trong đó A, B là các đa thức và B ≠ 0 gọi là phân thức Tính chất:
Nếu hai phân thức ⇔ AD = BC
Trang 2Nếu M, N là các đa thức khác 0 thì: (B≠0)
Phép cộng (trừ) 2 phân thức: Ta chỉ cộng (trừ) các phân thức có cùng mẫu Nếu các phân thức khác mẫu thì phải qui đồng mẫu trước khi cộng (trừ) ; với M≠0
Phép nhân và phép phân thức: ;
Lưu ý:
- Trước khi thực hiện phép tính với các phân thức ta nên rút gọn các phân thức đó trước
- Khi giải các bài toán có liên quan đến giá trị các phân thức ta phải tìm điều kiện xác định của phân thức
Các ví dụ:
Thực hiện phép tính:
Cho H = hãy rút gọn và tĩnh để H =-3
Điều kiện xác định x ≠ ±1
Rút gọn:
Khi H =-3 hay ⇔ 3x2+10x +3 = 0 giải phương trình này ta được x1 =-3 và x2 = -1/3 Bài tập áp dụng:
1,Rút gọn các biểu thức sau: ;
2, cho :
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P là số nguyên
III, Căn thức:
Điều kiện tồn tại căn thức bậc 2: có nghĩa khi A ≥ 0
Ví dụ tìm điều kiện để các căn thức sau có nghĩa:a, có nghĩa khi 3x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2/3;
b, xác định với mọi x vì x2 ≥ 0; c, có nghĩa khi x2-5x + 6 ≥ 0 ⇔ (x-2)(x-3) ≥ 0 Ta nhân thấy (x-2)(x-3) không âm khi (x-2) và(x-3) cùng dấu với nhau hay hoặc kết hợp các điều trên thì có nghĩa khi x >3 hoặc x < 2
Bài tập áp dụng:
Tìm điều kiện để các căn thức sau có nghĩa:
a, ; b, ; c, ; d, ; e,
các phép tính về căn thức bậc 2:
1, Ta chỉ thực hiện được phép cộng, trừ căn thức khi các biểu thức dưới dấu căn bằng nhau lúc đó ta cộng ,trừ các hệ số ngoài dấu căn với nhau:
2, Nếu A, B, C là các biểu thức không âm thì và
khi B > 0
3, Các phép biến đổi đơn giản:
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
Đưa thừa số vào trong dấu căn: với A > 0; với A < 0
Trang 3Khử mẫu biểu thức lấy căn: với
Trục căn thức ở mẫu:
Dạng 1: (với B ≠ 0 và C > 0)
Dạng 2: hoặc (B ≥ 0; C ≥ 0; B ≠ C2; C ≠ B2)
Dạng 3: ( với B ≥ 0; C ≥ 0 B ≠ C)
Các ví dụ:
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
A =
3 − 2
6- 2 = 4
B = 0,5
0,04 5 0,36+
=0,5.0,2+5 0,6 = 3,1
C =
2 25 1 4
5 16 − 2 9
Bài 2: So sánh:
a) 3 và 2 + 2; ta áp dụng tính chất của bất đẳng thức Nếu a > b thì a + c > b + c viết 3
= 2 + 1 rồi so sánh 1 và 2 Khi so sánh 1 và 2 ta áp dụng nếu a > b > 0 thì a2 > b2
và a > b Do 1 < 2 nên 1 + 2 < 2 + 2 Vậy 3 < 2 + 2
b) -4 và -3- 2 Làm tương tự trên nhưng với 2 số âm số nào có giá trị tuyệt đối lớn
hơn thì số đó bé hơn nên ta so sánh 4 và 3+ 2 4 < 3+ 2nên -4 > -3- 2
Chú ý Để so sánh a và b ta có thể tính hiệu của a và b Nếu a - b > 0 thì a > b
Bài 3: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 5 8 7 18 5 4.2 7 9.2 5 2 .2 7 3 .2 5.2 2 7.3 2
2
= +
= +
A = 10 2+ 21 2 = 31 2
b) B = 3 2 5 18 4 8 2 2 5 9 .2 4 2 .2 3 2 5.3 2 4.2 2
2
−
= +
−
B = 3 2 - 15 2 + 8 2 = - 4 2
c) C = 3 18 32 4 2 162 3 3 .2 4 .2 9 .2 3.3 2 4 2 9 2
2 2
= +
+
−
C = 9 2 - 4 2 + 4 2 + 9 2 = 18 2
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a) (2 3 + 5) 3 − 60 = 2 3 3 + 5 3 − 2 2 15
= 6 + 15−2 15 =6− 15 b) ( 28 − 2 3 + 7) 7 + 84
= (2 7 − 2 3 + 7) 7 + 2 21 = 14 − 2 21 + 7 + 2 21 = 21
Trang 4c) 3
1 1 5 11
33 75 2 48
.
2
1
+
−
−
4 5 11
33 3 5 2 3 4 2
1
+
−
−
3
3 17 3
3 10 3 9 3
10 3 3 10 3
=
Bài 5: Trục căn thức ở mẫu:
Dạng 1
.
B
B A B
A
=
Với B > 0.
2 5 2 3
2 5 2 3
; b) 10
2 3 2 5
2 3 2 5
3 50
3 2 3
2
=
; d) 5
10 5
5 2 5
2 5
2
=
=
=
Dạng 2
( ). .( 2 ).
2
C B A C B
C B A C B
A
−
=
−
=
±
Với B > C2 a)
2
1 3 10 1
3
1 3 10 1 3
10
−
+
=
−
b)
( ) ( ) ( 13 )
3 2 5 5 12 25
3 2 5 5 3 2 5
3 2 5 5 3 2
5
5
2 2
+
=
−
+
=
−
+
=
−
c)
10 10 4 6
20 10 8 10
4
10 4 10 2 10
4
10
2
2 2
+
=
+
=
−
+
=
−
Dạng 3
( ) ( ) ( B C )
C B A C B
C B A C B
A
−
=
−
=
±
.
2 2
Với B > C ≥ 0
a)
5 6
5 6 2 5 6
−
+
=
−
b)
7 10
7 10 3 7 10
3
−
=
−
−
= +
c)
5
14 6 2 2 14
24
14 6 2 4 14 6
2
−
+
=
−
d)
b a
b a ab b
a
ab
−
+
=
−
2 2
Trang 5Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa:
a) 3 2
1
−
−
x
x
5
2 −
−
x
x
b
x 3 5 2
2
+
−
−
; d) −2x+3; e) x−3+ 5−3x f) 6 9
2 − x+
x
2 +
x
h) 2 3
4
−
−
x
i)
2
4
5
x
−
j)
2
4 4 1
15
x
x+
−
Bài 2: Thực hiện phép tính
a,
8 5 , 0 72
; b,
45 20 2
1 5
1
; c, 2 48−4 27+ 75+ 12
d, 80 + 20− 5−5 45; e,
50 4 , 0 08 , 0 2 200 1 ,
f, ( 28 − 12 − 7) 7 − 2 21
g, ( 8 − 3 2 + 10) 2 − 5
; h, ( 99− 18− 11) 11+3 22; i, (5 48 + 4 27 − 2 12): 3
Bài 3: Trục căn thức ở mẫu dạng 1
A, 10
5
; b, 5 8
3
; c, a
2
(a > 0); d, ; e, 5
x
; f, (a > 0) Bài 4: Trục căn thức ở mẫu dạng 2:
.a, ; b, ; c, 3 2
5
−
; d, 2 x −3
x
; e, Bài 5: Trục căn thức ở mẫu dạng 3:
a, 3 2
3 2 2
−
+
; b, 5 3
5
−
; c, ; d, Một số bài toán ôn luyện tổng hợp:
Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
Rút gọn biểu thức
Bài 1
3
2 +
− x
2
2
4 +
5
2 +
−
x
4
x
2 1
3
3 +
−
x
48 3
5
Trang 64) 5) 6)
23)
Bài 2
4) - 5) + 6)
Giải phương trình:
48 5 27 4
12
5 4 45 2
20
1 5
1 1 5
1
+
−
−
2 5
1 2
5
1
+
+
2 2
3 4
2
+
−
2 2 + +
8 7 7 ) 7 14 2
28
120 )
5
6
2
2 ( 2 3 ) )
2
1
2
2 ( 5 2 ) )
3
5
) 2 ( ) 12 (
4x+ x− 2 x≥
5 7
5 7 5 7
5 7
+
− +
− +
) 2 ( ) 4 4 (
( ) (2 )2
2 3 2
3 2 3
3 5 3
15
2
8 3
5 2
2 3
5 3
2 4 3
2
4
+
−
−
−
− +
+
5 1
2x− = x− 5 = 3 9 (x− 1 ) = 21 2x− 50 = 0
0 12
3x2 − = (x−3)2 =9 4x2 + 4x+ 1 = 6 ( 2x− 1 ) 2 = 3
Trang 79) 10) 11) 12)
Bài 1 Cho biểu thức : A = với ( x >0 và x ≠ 1)
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tính giá trị của biểu thức A tại
Bài 2 Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 )
a) Rút gọn biểu thức P;
b)Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1
Bài 3: Cho biểu thức A =
a)Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa;
b)Rút gọn biểu thức A;
c)Với giá trị nào của x thì A< -1
Bài 4: Cho biểu thức A = ( Với )
a) Rút gọn A;
b) Tìm x để A = - 1
Bài 5 : Cho biểu thức : B =
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B;
b) Tính giá trị của B với x =3;
c) Tìm giá trị của x để
Bài 6: Cho biểu thức : P =
a) Tìm TXĐ;
b) Rút gọn P;
c) Tìm x để P = 2
6
4x2 = 4 ( 1 −x) 2 − 6 = 0 3 x+1=2 3 3 − 2x = − 2
2 1
−
−
3 2 2
1 2
+ − + +
0; 1
x≥ x≠
x
x x
1 2
2 1
2
1
=
A
x
x x
x x
x
−
+ + +
+
−
+
4
5 2 2
2 2 1
Trang 8Bài 7: Cho biểu thức: Q = (
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q;
b) Tìm a để Q dương;
c) Tính giá trị của biểu thức biết a = 9- 4
Bài 8: Cho biểu thức: M =
a) Tìm ĐKXĐ của M;
b) Rút gọn M Tìm giá trị của a để M = - 4.
Bài 9 : Cho biểu thức : K =
a) Tìm x để K có nghĩa;
b) Rút gọn K;
c) Tìm x khi K= ;
d) Tìm giá trị lớn nhất của K
Bài 10 : Cho biểu thức: G=
a)Xác định x để G tồn tại;
b)Rút gọn biểu thức G;
c)Tính giá trị của G khi x = 0,16;
d)Tìm gía trị lớn nhất của G;
e)Tìm x ∈ Z để G nhận giá trị nguyên;
f)Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dương;
g)Tìm x để G nhận giá trị âm;
a)Rút gọn biểu thức trên;
b)Chứng minh rằng P > 0 với mọi x≥ 0 và x ≠ 1
Bài 12 : cho biểu thức Q=
) 1
2 2
1 (
: )
1 1
1
−
+
−
−
+
−
a a
a a
a
5
−
+
− +
−
−
1 1
2
1
a a a
a a a a
3 x
3 x 2 x 1
x 3 3 x 2 x
11 x 15
+
+
−
−
+
− +
−
2 1
2
1 x 2 x 1 x 2 x
2 x 1
x
2
+ +
+
−
−
−
2
1 x : x 1
1 1 x x
x 1
x x
2
−
+ + +
+
− +
+
−
+
−
−
+
1 1 a 1
1 a a 2 2
1 a
2 2
1
2 2
Trang 9a)Tìm a dể Q tồn tại;
b)Chứng minh rằng Q không phụ thuộc vào giá trị của a
Bài 13: Cho biểu thức :
A=
a)Rút gọn A
b)Tìm các số nguyên dương x để y = 625 và A < 0,2
Hàm số và đồ thị:
- Hàm số bậc nhất:
Định nghĩa: hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a ,b là các hệ số cho trước a ≠ 0
Tính chất: hàm số y = ax + b xác định với mọi x ∈ R Đồng biến khi a > 0 nghịch biến khi a < 0 Đồ thị của hàm số y = ax + b là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
a được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b Nếu a > 0 thì góc α tạo bởi đồ thị với trục ox là góc nhọn (α < 900) Nếu a < 0 thì góc tạo bởi đồ thị với ox là góc tù (900< α < 1800)
Để vẽ đồ thị hàm số y = ax + b ta xác định hai điểm của đồ thị bằng cách cho x nhận 2 giá trị x1, x2 để tìm y1, y2 Biễu diễn 2 điểm (x1, y1 ); (x2, y2 ) lên mp tọa độ rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm này Thông thường ta có thể xác định giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ bằng cách cho x = 0 tìm y và cho y = 0 tìm x rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm đã tìm
Các dạng bài tập:
1,Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số bậc nhất:
a, y = mx +3m + 1 chưa chắc là hàm số bậc nhất vì khi m = 0 thì dó là hàm hằng; b, y = 1/2 - 2x là hàm số bậc nhất vì ta có thể viết lại y = -2x + 1/2 a = -2 và b = 1/2 ; c, y =
x2 -3 không phải là hàm số bậc nhất vì biến x có bậc là 2; y = 1/x - 3 không là hàm số bậc nhất vì biến ở mẫu
2, Cho y = (a-1)x + 3 tìm a để hàm số trên đồng biến, nghịch biến Tìm a để đồ thị đi qua điểm M( 2; 5)
Giải: Hàm số đồng biến khi a-1 > 0 hay a > 1
Hàm số nghịch biến khi a - 1 < 0 hay a < 1
Đồ thị đi qua điểm M( 2;5) tương ứng khi x = 2 thì y bằng 5 hay (a - 1).2 + 3 = 5 ⇔ (a -1).2 = 2 ⇔ a-1 = 1 ⇔ a = 2
3, Cho đường thẳng d: y = ax + b Hãy xác định a; b để d đi qua A(-2; 3) và B(1;-2) Giải: Vì đồ thị đi qua A(-2;3) nên ta có -2a + b = 3; Vì đồ thị đi qua B(1;-2) nên ta có a + b = -2 Giải hệ phương trình ẩn là a và b ta được a = -5/3; b =-1/3 Vậy hàm số đã cho
là y = -5/3x - 1/3
- Hàm số bậc 2 y = ax2 ( a ≠ 0)
x
x x
x y xy
x y
xy
x
−
−
−
− +
+
1 2
2
2 2
3
( )
+
+
−
−
+ +
−
+
5 a 2 1 : a 16
2 a 4 4 a
a 4
a a 3
Trang 10Tính chất : Hàm số y = ax2 xác định với mọi giá trị của x
Khi a > 0 thì hàm số nghịch biến trong R- đồng biến trong R+
Khi a < 0 thì hàm số nghịch biến trong R+ đồng biến trong
R-Đồ thị hàm số y = ax2 là parabol đi qua gốc tọa độ và nhận oy làm trục đối xứng Hai nhánh của parabol quay lên khi a> 0 (0;0) là điểm thấp nhất (cực tiểu) Hai nhánh quay xuống khi a < 0 (0;0) là điểm cao nhất ( cực đại)
Quan hệ giữa parabol P: y = ax2 và đường thẳng d: y = mx + n Ta xét phương trình bậc
2 ax2 - mx - n = 0 Nếu phương trình này có 2 nghiệm thì d cắt P tại 2 điểm có hoành độ
là 2 nghiệm đó Nếu phương trình có nghiệm kép thì d tiếp xúc với P hoành độ của tiếp điểm là nghiệm của phương trình Nếu phương trình vô nghiệm thì d và P không giao nhau
Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn
A Lý thuyết
I Phương trình bậc nhất hai ẩn số:
1 Định nghĩa:
Phương trình bậc nhất hai ấn số là phương trình có dạng ax + by = c
(a, b, c là các hàng số a, b không đồng thời bằng 0)
2 Công thức nghiệm:
Phương trình bậc nhất hai ấn số ax + by = c có vô số nghiệm
- Nếu a, b ≠ 0 thì nghiệm tổng quát của phương trình
x ∈ R
y = -
c x b
a
+
Biểu diễn trên mặt thấy toạ độ, tập nghiệm của phương trình là đường thẳng ax + by = c
- Nếu a = c, b ≠ 0 (0x + by = c) thì nghiệm tổng quát của phương trình:
x ∈ R
y = - b
c
Biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ, tập nghiệm của phương trình là đúng thấy y = b
c
Song song với trục hoanh (c ≠ 0) và tuỳ trục hoành (c = c)
- Nếu a ≠ c, b = 0 (ax + 0y = c) thí nghiệm tổng quát của phương trình:
b
c y
K x
=
∈
Biểu diễn trên mặt phẳng tạo độ, tập nghiệm của phương trình là đường thẳng x = a
c
song song voi trục tung (c ≠ 0) và trùng với Oy (c = 0)
x = - a
c y a
b +
y ∈ k hoặc
Trang 11B Bài tập
Bài 1: Biết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn hình học tập nghiệm của các
phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ sau:
Giải:
a) Nghiệm tổng quát của phương trình
2x - y = 3 là : (x ∈ R; y = 2x – 3 )
Tập nghiệm của phương trình zx - y = 3 là đường thẳng y = 2x - 3 qua 2 điểm.A (0; -3);
B (1, -2)
b) Nghiệm tổng quát của phương trình x+y = 0 là: (x ∈ R; y = -x )
Tập nghiệm của phương trình x + y = c là đường thẳng y = -x qua góc O và A (1; -1) c) Nghiệm tổng quát của phương trình 0x + 2y = 4 là: ( x ∈ R; y = +2 )
Tập nghiệm của phương trình là đường thẳng y = +2 song song với trục hoanh
d) Nghiệm tổng quát của phương trình x + 0y = -1 là: ( x = -1; y ∈ R )
Tập nghiệm của phương trình x + 0y = -1 là đường thẳng x = -1 song song với trục Oy
Bài 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình tính.
|x| - y = 0
Giải:
+ Với x ≥ z nghiệm của phương trình là x = y = c là đ/ thẳng y = x qua O và A (2, l) + Với x < 0 tập nghiệm của phương trình là đường thẳng y =-x qua O và (-1 1)
Bài 3: Biểu diễn hình học tập nghiệm các phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ:
a) |x - 1| + y = 0
b) |x| - zy = 0
KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1.Khái niệm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
• Một hệ hai phương trình bậc nhất với hai ẩn số x và y là hệ phương trình có
dạng :
(I)
(1) (2)
ax by c
a x b y c
+ =
+ =
trong đó ax + by = c và a ’ x + b ’ y = c ’ là những phương trình bậc nhất hai ẩn
2 Minh họa hình học:
Gọi (d1), (d2) lần lượt là hai đường thẳng xác định bởi phương trình (1) và (2) trong hệ (I).Ta có :
• Nếu (d1) cắt (d2) thì hệ (I) có nghiệm duy nhất ;
• Nếu (d1) // (d2) thì hệ (I) vô nghiệm
• Nếu (d1) ≡ (d2) thì hệ (I) có vô số nghiệm
3 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số và phương pháp thế.
a) Để giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số, ta làm như sau:
• Nhân các vế của hai phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các
hệ số của x (hoặc y) trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau
