Tìm điều kiện của a để hệ phơng trình có một nghiệm?. Biết rằng thời gian xuôi lâu hơn thời gian ngợc là 1 giờ và vận tốc xuôi lớn hơn tốc ngợc là 6km/h.. Đi đợc một nửa quãng đờng xe ng
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2009 - 2010
P hÇn I: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn vµ hƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn 1) Phương trình bậc nhất hai ẩn số
a) Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng : ax + by = c (1) ; trong đó
a , b và c là các số đã biết ( a ≠0 hoặc b ≠0 )
b) Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn số : (x0, y0) là nghiệm của (1)
ax ay c
Nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn :
Dạng 1 : ax + by = c ⇔by = -ax +c ⇔ y a x c
b b
= − +
Vậy nghiệm tổng quát :
x R
a c
b b
∈
= − +
Dạng 2 : ax +0y = c ⇔ax=c⇔ x c
a
= Vậy nghiệm tổng quát :
c x a
y R
=
∈
Dạng 3 : 0x +by = c ⇔by=c⇔ y c
b
= Vậy nghiệm tổng quát :
x R c y b
∈
=
2) Hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn
a) Hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng : ax by c a x b y c' ++ '= = '
(I) ,trong đó a ,a’, b,b’ và c,c’ là các số đã biết
b) Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghệm
c) Hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn (I) ( với a ,a’, b,b’ và c,c’ cùng khác 0 )
+ Có vô số nghiệm , nếu a a' = b b'=c c'
+ Vô nghiệm , nếu a a' =b b' ≠c c'
+ Có một nghịêm duy nhất , nếu a a' ≠ b b'
Các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
a/Phương pháp thế :
Bước 1 : Rút 1 ẩn chẳng hạn x từ 1 phương trình rồi thay vào phương trình kia Bước 2 : Giải phương trình có 1 ẩn là y
Trang 2Giáo viên biên soạn : Lâm Đại Đồng
Bửụực 3 : Thay giaự trũ cuỷa y vaứo bieồu thửực cuỷa x ủeồ tỡm x
b/Phửụng phaựp coọng :
Bửụực 1 : Bieỏn ủoồi 2 phửụng trỡnh cuỷa heọ sao cho heọ soỏ cuỷa x hoaởc y trong 2 phửụng trỡnh baống nhau hoaởc ủoỏi nhau
Bửụực 2 : + Neỏu heọ soỏ cuỷa x ( hoaởc y) baống nhau thỡ ta trửứ veỏ theo veỏ
+ Neỏu heọ soỏ cuỷa x ( hoaởc y) ủoỏi nhau thỡ ta coọng veỏ theo veỏ
Bửụực 3 : Giaỷi phửụng trỡnh moọt aồn vửứa tỡm ủửụùc
Bửụực 4 : Thay giaự trũ cuỷa aồn vửứa tỡm ủửụùc vaứo 1 trong hai phửụng trỡnh cuỷa heọ ủaừ cho ủeồ tỡm giaự trũ cuỷa aồn thửự 2
B
ài Tập:
Bài 1: Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng:
−
= +
−
= +
7 5 6
4 3 4 ,
y x
y x
= + +
= + +
0 2 4 3
0 1 16 12 ,
y x
y x
=
−
= +
15 3 7
27 6 5 ,
y x
y x c
Bài 2: Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế:
=
−
= +
3 3 5
11 2 ,
y x
y x
a
= +
=
−
23 2 5
5 3
,
y x
y x
b
−
= +
− +
=
−
−
1 ) 1 ( 7 ) 3 ( 5
2
1 2 5
1 5 ,
y x
y
x
Bài 3: Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thích hợp:
−
=
−
−
=
−
2 3 3 1
) 2 ( 2 3 1 ,
y x
x y
a
−
= +
− +
= +
− +
6 ) 3 ( 2 ) 2 ( 3
6 ) 3 ( 5 ) 2 ( 7 ,
y x y x
y x y
x b
=
−
= +
1 3 2
5 2 3
y x
c
−
=
−
+
=
− +
3
1 2
2 2
4 3
y y
x d
+
−
= +
−
− +
=
− +
) 4 )(
3 ( ) 7 )(
4 (
) 1 )(
2 ( ) 2 )(
5 ( ,
y x y
x
y x y
x e
Bài 4: Giải hệ phơng trình:
a,
=
−
− +
=
−
− +
3 4 5
2 2 1
y x y x
y x y
x b,
−
=
−
= +
7 2
13 4
2 2
2 2
y x
y x
c,
=
−
= +
4
2 5
3 2 2
x y
x xy
d,
=
−
−
−
=
− +
−
2 2 1
3
5 2 3 1 2
y x
y x
Bài 5: Cho hệ phơng trình:
= +
= +
a y ax
y x
2 1
a Giải hệ phơng trình với a = 3
b Tìm điều kiện của a để hệ phơng trình có một nghiệm ? có vô số nghiệm Bài 6:Cho hệ phơngn trình :
=
−
= +
3 2
6
by ax
b ay x
a Giải hệ phơng trình với a = b = 1
Trang 3b Tìm a, b để hệ phơng trình có nghiệm là (x=1; y= 0).
Bài 7: Cho hệ phơng trình :
= +
=
−
m y mx
y
a Giải hệ phơng trình với m = 1
b Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm là (x = 2; y = 1)
c Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
Phần II: ẹoà thũ haứm soỏ y = ax2 và phơng trình bậc hai một ẩn
1) ẹoà thũ haứm soỏ y = ax 2
a) ẹoà thũ haứm soỏ y = ax2 laứ moọt ủửụứng cong ủi qua goỏc toaù ủoọ vaứ nhaọn truùc Oy laứm truùc ủoỏi xửựng ,ủửụứng cong ủoự ủửụùc goùi laứ moọt Parabol vụựi ủổnh O
b)Tớnh bieỏn thieõn cuỷa y = ax 2
Haứm soỏ y = ax2 (a >0) Haứm soỏ y = ax2 ( a < 0)
Nghũch bieỏn khi x < 0
ẹoàng bieỏn khi x > 0
Giaự trũ nhoỷ nhaỏt y = 0 taùi x = 0
ẹoà thũ naốm phớa treõn truùc hoaứnh
O laứ ủieồm thaỏp nhaỏt cuỷa ủoà thũ
ẹoàng bieỏn khi x < 0
Nghũch bieỏn khi x < 0
Giaự trũ lụựn nhaỏt y = 0 taùi x = 0
ẹoà thũ naốm phớa dửụựi truùc hoaứnh
O laứ ủieồm cao nhaỏt cuỷa ủoà thũ
c) Caựch veừ ủoà thũ :
+ Laọp baỷng gớa trũ cuỷa haứm soỏ y = ax2
Cho x nhaọn caực giaự trũ -2,-1,0,1,2 … ta laàn lửụùt tớnh ủửụùc caực giaự trũ tửụng ửựng cuỷa y
= ax2
+ Veừ caực caởp ủieồm trong baỷng giaự trũ treõn cuứng heọ truùc toaù ủoọ vaứ noỏi caực ủieồm laùi vụựi nhau bụỷi ủửụứng trụn lieỏn neựt ta ủửụùc ủoà thũ cuỷa haứm soỏ y = ax2
(chuự yự :+a> 0 ủoà thũ quay leõn treõn
+a< 0 ủoà thũ quay xuoỏng dửụựi )
Bài tập
Bài 1:
a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm (- 2 ; -1) Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó
b) Gọi A và B là hai điểm lần lợt trên (P) có hoành độ lần lợt là 2 và - 4 Tìm toạ độ A và B từ đó suy ra phơng trình đờng thẳng AB
Bài 2: Cho hàm số x 2
2
1
y = −
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P)
Bài 3:
Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P): x 2
4
1
y = − và đờng thẳng (D): y = mx
- 2m - 1
a) Vẽ độ thị (P)
Trang 4Giáo viên biên soạn : Lâm Đại Đồng
b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)
c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P)
Bài 4: Cho hàm số x 2
2
1
y = −
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1 Viết phơng trình đờng thẳng MN
c) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng
MN và chỉ cắt (P) tại một điểm
2) Phửụng trỡnh baọc hai moọt aồn soỏ:
a) Phửụng trỡnh baọc hai moọt aồn soỏ laứ phửụng trỡnh coự daùng a x2 +bx + c = 0 (a ≠ 0) trong ủoự x laứ aồn soỏ ,a , b , c laứ caực heọ soỏ ủaừ cho
b) Vieỏt coõng thửực nghieọm toồng quaựt cuỷa phửụng trỡnh baọc hai:
Cho pt : a x2 +bx + c = 0 (a ≠ 0) với ∆= b 2 – 4ac
x1 =
a
b
2
∆ +
− ; x1 =
a
b
2
∆
−
−
=−2a b
c) Vieỏt coõng thửực nghieọm thu goùn cuỷa phửụng trỡnh baọc hai
Cho pt: a x2 +bx + c = 0 (a ≠ 0) ;b, = 2b; ∆’
= b ’2 – ac
• ∆’ > 0 phửụng trỡnh coự hai nghieọm phaõn bieọt:
x1 = − + ∆b' a ' ; x2 = − − ∆b' a '
• ∆’ =0 phửụng trỡnh coự nghieọm keựp :x1 = x2 =
b
a
'
−
d) Caực trửụứng hụùp nhaồm nghieọm ủaởc bieọt
- Neỏu phửụng trỡnh ax2 +bx + c = 0 coự a + b + c = 0 thỡ phửụng trỡnh coự hai nghieọm x1 = 1 ;x2 =a c
- Neỏu phửụng trỡnh ax2 +bx + c = 0 a - b + c = 0 thỡ phửụng trỡnh coự hai nghieọm x1 = -1 ;x2 = -a c
- Neỏu a vaứ c traựi daỏu thỡ phửụng trỡnh baọc hai luoõn coự hai nghieọm phaõn bieọt
Trang 5e) Phaựt bieồu ủũnh lyự VIET :
Neỏu x1 , x2 laứ hai nghieọm cuỷa phửụng trỡnh ax2 +bx + c = 0 (a ≠ 0) thỡ x1 +x2 = −a b ; x1 x2 = a c
f) Caựch tỡm hai soỏ bieỏt toồng vaứ tớch cuỷa chuựng:
Neỏu hai soỏ u vaứ v coự toồng u + v = S vaứ tớch u.v = P thỡ u vaứ v laứ hai nghieọm cuỷa phửụng trỡnh baọc hai: x2 –Sx +P =0
ẹK ủeồ coự 2 soỏ:S2 –4P ≥ 0
B
ài tập
Bài 1: Giải phơng trình:
a x2 – x – 20 = 0 e 2x2 + 7x + 3 = 0
b 2x2 – 3x – 2 = 0 g x2 – 4x + 3 = 0
c x2 + 3x – 10 = 0 h x2 – 2x – 8 = 0
d 2x2 – 7x + 12 = 0 k 2x2 – 3x + 5 = 0
Bài 2: Giải phơng trình:
a 3x2 + 8x + 4= 0 e x2 -3x – 10 = 0
b 5x2 – 6x – 8 = 0 g x2 +( 2+1)x+ 2 =0
c 3x2 – 14x + 8= 0 h 4x2 −4 3x+3=0
d x2 – 14x + 59 = 0 k 6x2 −5 2x+2=0
Bài 3: Giải phơng trình bằng phơng pháp nhẩm nghiệm:
a 2x2 – 3x + 1 = 0
b -2x2 + 3 x + 5 = 0
c 5x2 + 9x + 4 = 0
d 2x2 − 3 ( 1 + 2 )x+ 3 + 2 2 = 0
Bài 4: Giải phơng trình bằng phơng pháp nhẩm nghiệm nhanh nhất:
a x2 – 11x + 28 = 0
b 4x2 – 8x - 140 = 0
c x2 + 10x + 21 = 0
d 0.65x2 – 2.35x – 3 = 0
e 3x2 −x 3−(3+ 3)=0
g 2x2 +(1+ 2)x−3− 2 =0
Bài 5: Giải phơng trình:
a (2x -1)(x – 2) = 5 d (x + 5)2 = 4(x + 13)
b (3x – 2)(2x – 3) = 4 e (x + 3)(x – 3) = 7x - 19
c (x – 3)2 = 2(x + 9) g (2x + 7)(2x – 7) + 2(6x + 21) = 0 Bài 6: Tìm giá trị của m để phơng trình:
a 2x2 – 4x + m =0 có hai nghiệm phân biệt
b 3x2 – 2mx + 1 = 0 có nghiệm kép
c x2 – (2m + 3)x + m2 = 0 vô nghiệm
d x2 – 2mx + (m – 1)2 = 0 có hai nghiệm dơng
e x2 – 2(m – 1)x + m2 = 0 có hai nghiệm âm
Bài 7: Tìm m để phơng trình :
a 2x2 – 4x + m = 0 có hai nghiệm trái dấu
b 3x2 – 2mx + 1 = 0 có nghiệm kép
c x2 – (2m + 3)x + m2 = 0 vô nghiệm
d x2 – 2mx + (m – 1)2 = 0 có hai nghiệm dơng
Trang 6Giáo viên biên soạn : Lâm Đại Đồng
e x2 – 2(m – 1)x + m2 = 0 có hai nghiệm cùng âm
Bài 8: Xác định giá trị của m và tìm nghiệm của phơng trình biết rằng:
a Phơng trình: 2x2 – (m + 3)x – 5m = 0 có một nghiệm bằng 2
b Phơng trình: 4x2 + (2m + 1)x – m2 = 0 có một nghiệm bằng – 1
Bài 9: Cho phơng trình: 2x2 – 4x + m = 0 (1)
a Giải phơng trình với m = - 30
b Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c. Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm y1 , y2 là nghịch đảo hai nghiệm của phơng trình (1)
Bài 10: Cho phơng trình: (m – 2)x2 – 2mx + m – 4 = 0 (2)
a Với giá trị nào của m thì (2) là phơng trình bậc hai
b. Giải phơng trình khi m =
2
3
c Tìm m để phơngn trình có hai nghiệm phân biệt
Giải một số phơng trình băng cách quy về pt bậc hai
Dạng 1: Phơng trình trùng phơng.
Giải các phơng trình sau:
a) 4x4 + 7x2 – 2 = 0 ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0;
c) 2x4 + 5x2 + 2 = 0 ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – 9 =0
Dạng 2: Phơng trình có ẩn số ở mẫu.
Giải các phơng trình sau:
1 t
5t 2t t 1 t
t
c)
1 2x
3 x 3 x
1 2x
b)
6 1 x
3 x 2 x
x
a)
2 2
+
+
= +
−
−
+
= +
−
=
−
+ +
−
Dạng 3: Phơng trình tích.
Giải các phơng trình sau bằng cách đa về dạng tích hoặc đặt ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai:
Bài 1:
a) 2x3 – 7x2 + 5x = 0 ; b) 2x3 – x2 – 6x + 3 = 0 ;
c) x4 + x3 – 2x2 – x + 1 = 0 ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2
Phần III: Giải bài toán bằng cách lập hệ PT và lập phơng trình
A/ Kiến thức cần nhớ:
Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình- Hệ phơng trình
1 Lập phơng trình (Hệ phơng trình)
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
- Biểu diễn các đại lợng cha biết, đã biết qua ẩn để thiết lập phơng trình (Hệ phơng trình)
2 Giải phơng trình (Hệ phơng trình) thu đợc
3 Kết luận
B/ Bài tập:
I/ Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình:
Trang 71/ Ví dụ 1:
Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h Khi đi từ B về A ngời ấy chọn con
đờng khác dễ đi hơn và dài hơn con đờng cũ 6km, đi với vận tốc 12km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút Tính quãng đờng AB?
Giải
Gọi độ dài quãng đờng AB là x(km); ĐK: x>0 Khi đó:
Thời gian đi từ A đến B là
9
x(giờ) Thời gian đi từ B về A là 6
12
x+ (giờ)
Theo bài ra ta có phơng trình:
9
x+ 6
12
x+ = 1
3(20 phút =1
3giờ ) Giải ra ta đợc x = 30(t/m)
Vậy độ dài quãng đờng AB là 30 km
2/ Ví dụ 2:
Một ca nô xuôi dòng 45km rồi ngợc dòng 18km Biết rằng thời gian xuôi lâu hơn thời gian ngợc là 1 giờ và vận tốc xuôi lớn hơn tốc ngợc là 6km/h Tính vận tốc ca nô lúc ngợc dòng
Giải
Gọi vận tốc ca nô lúc ngợc dòng là x(km/h); ĐK: x>0 Khi đó:
Vận tốc xuôi dòng là: x+6 (km/h)
Thời gian xuôi dòng 45km là: 45
6
x+ (giờ)
Thời gian ngợc dòng 18km là: 18
x (giờ) Theo bài ra ta có phơng trình: 45
6
x+
-18
x = 1 2
1
2
12( / ) 9( / )
x t m
=
⇔ =
Vậy vận tốc ca nô lúc ngợc dòng là 12km/h hoặc 9 kh/h
3/ Ví dụ 3:
Theo kế hoạch một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng Đến ngày làm việc có 2 xe
bị hỏng nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn mới hết số hàng Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe?
Giải:
Gọi số xe lúc đầu của đội là x (xe); ĐK: x>2; x nguyên
Theo dự định mỗi xe phải chở: 120
x (tấn) Thực tế mỗi xe đã chở: 120
2
x− (tấn)
Theo bài ra ta có phơng trình: 120
2
x− -
120
x = 16
x2-2x-15 = 0
x1 = 5 (t/m); x2 = -3(loại)
Vậy số xe lúc đầu của đội là: 5 xe
4/ Ví dụ 4:
Trang 8Giáo viên biên soạn : Lâm Đại Đồng
Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1m Nếu tăng thêm cho chiều dài 1
4 của nó, thì diện tích hình chữ nhật đó tăng thêm 3 m2 Tính diện tích của hình chữ nhật lúc đầu
Giải
Gọi chiều rộng của HCN là x (m); ĐK: x>0 Khi đó:
Chiều dài của HCN là x+1(m)
Diện tích của HCN là: x(x+1)
Nếu tăng thêm cho chiều dài 1
4 của nó thì chiều dài mới là 5( 1)
4
x+
Diện tích mới là: x 5( 1)
4
x+
Theo bài ra ta có phơng trình: x 5( 1)
4
x+ - x(x+1) = 3
x2+x-12 = 0
x1 = 3(t/m); x2 = -4(loại)
Vậy : chiều rộng của HCN là 3 m; chiều dài của HCN là 4 m
Diện tích của HCN là 3.4 = 12m2
5/ Ví dụ 5:
Nhà trờng tổ chức cho 180 học sinh khối 9 đi tham quan Ngời ta dự tính : Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lợt hết số học sinh thì phải điều ít hơn nếu dùng loại xe nhỏ là 2 chiếc Biết rằng mỗi xe lớn có nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn, nếu loại
xe đó đợc huy động
Giải
Gọi số xe lớn là x(xe); ĐK: x>0; x nguyên Khi đó số xe nhỏ sẽ là: x+2 (xe)
Số chỗ ngồi của mỗi xe lớn là: 180
x
Số chỗ ngồi của mỗi xe nhỏ là: 180
2
x+
Theo bài ra ta có PT: 180
x - 180
2
x+ = 15
x2+2x-24 = 0
x1 = 4(t/m); x2 = -6(loại)
Vậy số xe lớn cần điều động là 4 xe
6/ Ví dụ 6:
Một tàu thuỷ chạy trên khúc sông dài 120 km, cả đi và về mất 6 giờ 45 phút Tính vận tốc tàu thuỷ khi nớc yên nặng, biết rằng vận tốc của dòng nớc là 4km/h
Giải
Gọi vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng là x(km/h) ĐK: x>4 Khi đó:
Vận tốc đi xuôi dòng là: x+4(km/h)
Vận tốc đi ngợc dòng là: x-4(km/h)
Thời gian tàu đi xuôi dòng là : 120
4
x+ (giờ)
Thời gian tàu đi ngợc dòng là : 120
4
x− (giờ)
Theo bài ra ta có PT: 120
4
x+ +
120 4
x− = 6
3 4
9x2-320x-144 = 0
Trang 9x1 = -4
9(loại); x2 = 36(t/m) Vậy vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng là 36km/h
7/ Ví dụ 7:
Một hình chữ nhật có đờng chéo bằng 13 m và chiều dài lớn hơn chièu rộng 7m Tính diện tích của hình chữ nhật đó
Giải
Gọi chiều rộng của HCN là x (m); ĐK : x>0 Khi đó:
Chiều dài của HCN là x+7 (m)
áp dụng định lí Pitago ta có PT: x2+(x+7)2 = 169
x1 = 5(t/m); x2 = -12(loại)
Vậy: chiều rộng của HCN là 5m; chiều dài của HCN là 12m
Diện tích của HCN là: 5.12 = 60m2
8/ Ví dụ 8:
Một ô tô chuyển động đều với vận tốc đã dự định để đi hết quãng đờng 120km trong một thời gian đã định Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nới đúng giờ,
xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h trên nửa còn lại của quãng đờng Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng
Giải
Gọi vận tốc đã định của ô tô là x(km/h); ĐK: x>2 Khi đó:
Thời gian dự định đi là: 120
x (giờ)
Đi đợc nửa quãng đờng tức là đi đợc 60km xe nghỉ 3 phút hay 1
20(giờ), nh vậy thời gian xe đi trên nửa quãng đờng đầu là 60
x Sau khi nghỉ, để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h tức là đi với vận tốc: (x+2) km/h, do đó trên nửa quãng đờng sau xe phải đi trong 60
2
x+ (giờ)
Theo bài ra ta có PT: 60
x + 60
2
x+ +
1
20 = 120
x
x2+2x-2400 = 0
x1 = 48(t/m); x2 = -50(loại)
Vậy thời gian xe lăn bánh trên đờng là: (60 60
48 50 + )(giờ) = 49 2 9
20 = 20(giờ)
9/ Ví dụ 9:
Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc và chảy đầy bể trong 2 giờ 55 phút Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất có thể chảy đầy bể nhanh hơn vời thứ hai trong 2 giờ Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?
Giải
Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là x(giờ); ĐK: x>3 Khi đó:
Vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong x-2(giờ)
Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy đợc: 1
x(bể) Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy đợc: 1
2
x− (bể)
Trong 1 giờ cả hai vòi chảy đợc: 12
35(bể); (2h55’ =35
12 h)
Trang 10Giáo viên biên soạn : Lâm Đại Đồng
Theo bài ra ta có PT: 1
x+ 1
2
x− =
12 35
6x2-47x+35 = 0
x1 = 7(t/m); x 2 = 5
6<3 loại Vậy: Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 7 giờ đầy bể
Vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 5 giờ đầy bể
10/ Ví dụ 10:
Một công nhân phải hoàn thành 50 sản phẩm trong một thời gian quy định Do tăng năng xuất 5 sản phẩm mỗi giờ nên ngời ấy đã hoàn thành kế hoạh sớm hơn thời gian quy
định 1 giờ 40 phút Tính số sản phẩm mỗi giờ phải làm theo dự định
Giải
Gọi số sản phẩm mỗi giờ phải làm theo dự định là x(sản phẩm); ĐK: x>0; x
nguyên.Khi đó:
Thời gian quy định là: 50
x (giờ) Thời gian thực tế đã làm là: 50
5
x+ (giờ)
Theo bài ra ta có PT: 50
x - 50
5
x+ =
5
3 ; (1 giờ 40 phút = 5
3giờ) x1 = 10(t/m); x2 = -15(loại)
Vậy số sản phẩm mỗi giờ phải làm theo dự định là 10 sản phẩm
Bài tập
Bài 1: Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy với vận tốc 35
km/h thì đến chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu
Bài 2: Một ngời đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trớc Sau
khi đợc
3
1 quãng đờng AB ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng còn lại Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đờng, biết rằng ngời đó đến B sớm hơn dự định
24 phút
Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại
ng-ợc từ B trở về A Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngng-ợc 1 giờ 20 phút Tính khoảng cách giữa hai bến A và B Biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc xuôi và lúc ngợc bằng nhau
Bài 4: Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngợc về 36 km Biết thời gian xuôi
dòng sông nhiều hơn thời gian ngợc dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngợc dòng là 6 km/h Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngợc dòng
Bài 5: Hai ngời thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong Nừu
ngời thứ nhất làm trong 5 giờ và ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai ngời chỉ làm đợc ắ công việc Hỏi một làm công việc đó trong mấy giờ thì xong?
Bài 6: Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì đợc
5
4 hồ Nếu vòi A chảy trong 3 giờ và vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì đợc
2
1 hồ Hỏi nếu chảy một mình mỗI vòi chảy trong bao lâu mới đầy hồ
Bài 7: Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể Nếu mỗi vòi chảy một
mình cho đầy bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể?