Các dạng toán lớp 12 ôn thi đại học

Phần 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Bài 1.1: Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số Tìm TXĐ Tính y’.. Tìm các điểm tới hạn.. Lập bảng biến thiên Kết luận.. Bài 1.2: Tìm m để h

Phần 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Bài 1.1: Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Tìm TXĐ

Tính y’ Tìm các điểm tới hạn

Lập bảng biến thiên

Kết luận

Bài 1.2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R hoặc trên từng

khoảng của tập xác định

Tìm TXĐ

Tính y’

Hàm số ĐB trên R y' 0, x R

0 0

a

(Hàm số nghịch biến trên R  y' 0, x R

0 0

a

Từ đó suy ra điều kiện của m

Bài 1.3: Tìm m để hàm bậc 3 đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a,b)

* Cách 1:

+ Hàm số ĐB trên (a,b)  y' 0, x a b,

 y' 0, x a b, ( vì y’liên tục tại x = a và x =b)

 g(x) h(m) , x a b,

min

a b

(*) + Tính g’(x) Cho g’(x) = 0 tìm nghiệm x0 a b,

Tính g x0 ,g a g b, =>

min , g x

a b

+ Từ (*) suy ra điều kiện của m

* Cách 2: (thường dùng khi tham số m có bậc 2)

+ Hàm số ĐB trên (a,b)  y' 0, x a b,

Có 2 trường hợp :

* TH1 :

0 ' 0,

0

a suy ra m

* TH2 : y’ = f(x) =0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa …….(điều kiện về x1, x2 để hàm số ĐB trên (a,b) – xem phần so sánh các số với nghiệm của tam thức bậc hai ) Suy ra m

Kết hợp hai trường hợp trên ta được đáp số m cần tìm

Bài 1.4: Tìm m để hàm số ĐB , NB trên đoạn có độ dài bằng d

+ Tìm TXĐ

+ Tính y’

+ Hàm số có khoảng ĐB, NB  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

0

0

a .suy ra m (*)

+ Biến đổi x1 x2 d

thành

1 2 4 1 2

Dùng định lí Viet đưa pt trên về pt theo m

Giải pt tìm m , so với đk (*) để được m cần tìm

Bài 1 5 : Chứng minh bất đẳng thức P(x) > Q(x), x a b, bằng cách sử dụng tính đơn điệu

(Chuyển vế đưa BĐT về dạng : f(x) = P(x) – Q(x) >0 )

Xét hàm số f(x) = P(x) – Q(x) liên tục trên [a,b)

Tính f '( )x Chứng tỏ f x'( ) 0, x [ , )a b

Hàm số đồng biến trên [a,b)

Suy ra đpcm

-

Phần 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài 2.1: Tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

+ Tìm TXĐ

+ Tính y’ Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có)

+Lập bảng biến thiên

+ Kết luận : Hàm số đạt cực đại tại x =… và yCĐ = …

Hàm số đạt cực tiểu tại x =… và yCT = …

Quy tắc 2 ( thường dùng đối với hàm lượng giác):

+ Tìm TXĐ

+ Tính y’ Cho y’ = 0 tìm các nghiệm xi

+ Tính y”

Tính y”(xi)

+Kết luận :

y”(xi) >0 => hs đạt CT tại xi và yCT =…

y”(xi) <0 => hs đạt CĐ tại xi và yCĐ =…

Bài 2.2: Tìm m để hàm số có ( ko có )cưc trị

(Lưu ý : hàm số có cực trị khi y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua nghiệm đó)

Tìm TXĐ

Tính y’

Hàm bậc ba có cực trị ( hoặc có CĐ, CT hoặc có 2 cực trị)  pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt



' 0 0

y

a suy ra m

- Hàm b3 ko có cực trị  y’=0 có n0 kép hoặc vô n0

Hàm

2 1

b

b có cực trị  pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt khác x0 ( với x0 là nghiệm ở mẫu)

0

g

g x

( với g(x) = tử số của y’ ) Giải hệ tìm m

Bài 2.3 : Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x0

Tìm TXĐ

Tính y’

Cách 1:

Hàm số đạt cực trị tại x = x0 => y’(x0) = 0 tìm m

Với mỗi giá trị m tìm được, ta thay vào y’ lập bảng biến thiên Dựa vào BBT kết luận m đó có thỏa ycbt không

Cách 2 : Hàm số đạt cực trị tại x = x0

0 0

" 0

y x

y x

Giải hệ tìm m

Bài 2.4 : Tìm m để hàm số đạt cực đại ( CT ) tại x = x0

Tìm TXĐ

Tính y’ , y”

Hàm số đạt cực đại tại x = x0 

0 0

" 0

y x

y x

(Hàm số đạt cực tiểu tại x0 

0 0

" 0

y x

y x

) Giải hệ tìm m

Bài 2.5 : Tìm m để hàm số bậc 3 có hai cực trị (hoặc có cực đại và cực tiểu) thỏa điều kiện K ( đk về x1, x2)

+ Tìm TXĐ

+ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu (*)

+ Hoành độ cực đại và cực tiểu là nghiệm của pt y’ = 0

(Ta có thể suy ra các hoành độ này hoặc tổng , tích của các hoành độ)

+ Tìm m để cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện K

So với điều kiện (*) để được m thỏa ycbt

Bài 2.6 : Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 có hai điểm cực trị thỏa đk K cho trước ( VD: đt qua 2 cực trị vuông góc hoặc song song với đt cho trước,….)

+ Tìm TXĐ

+ Tính y’

+ Tìm m để hàm số có 2 cực trị (*)

+ Lấy y chia y’ ta được : y = y’.g(x) + (ax + b)

Gọi M x y1 1 , 1 ,M2 x y2 , 2 là các điểm cực trị

=> y x' 1 0

và y x' 2 0

Suy ra : y1 ax1 b,

y2 ax2 b

Do đó : đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là dm : y = ax +b

+ Tìm m thỏa điều kiện K

+ So với (*) kết luận m cần tìm

Bài 2 7 : Cực trị của hàm trùng phương y ax4 bx2 c a 0

+ TXĐ : D = R

+ Tính y’ = 4ax3 +2bx

2

0

x y

Hàm số luôn đạt cực trị tại x = 0

Hàm số có 3 cực trị  y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

 pt (*) có 2 nghiệm phận biệt khác 0

 a.b <0

Hàm số có 2 CĐ và 1 CT

 y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a<0



0 0

a

b Hàm số có 2 CT và 1 CĐ

 y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a>0



0 0

a b

Hàm số có đúng 1 cực trị

 pt (*) vô nghịêm hoặc có nghiệm kép bằng 0



0

a b b

Lưu ý : Khi đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B ,C và A thuộc Oy thì tam giác ABC

cân tại A

Phần 3: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ

Bài 3.1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a,b)

Xét hàm số trên (a,b)

Tính y’

Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có )

Lập bảng biến thiên

Dựa vào BBT kết luận

max , min

,

a b

Bài 3.2 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b]

Xét hàm số trên [a,b]

Tính y’

Cho y’ = 0 tìm các nghiệm xi [ , ]a b

Tính y x i ,y a ,y b

Kết luận [ , ]max , mina b y [ , ]a b y

Bài 3.3 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b] hoặc trên R, với f(x) là hàm lượng giác phức tạp

Biến đổi f(x) về cùng một hàm số lượng giác của cùng một cung

Đặt t = HSLG đó điều kiện của t t [ , ]

Ta được : g(t) = …

Tính g’(t) Cho g’(t) = 0 tìm các nghiệm ti [ , ]

Tính g( ti) , g ,g

Suy ra :

[ , ] [ , ]

[ , ] [ , ]

a b

a b

Bài 3.4 : tìm m để hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN ) bằng d trên [a,b]

Xét hàm số y = f(x) trên [a,b]

Tính y’ cho y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có )

Xét dấu y’ trên [a,b] ( thông thường ta cần chứng tỏ y’ >0 (hoặc y’ <0) với mọi x thuộc [a,b] => hàm số luôn ĐB (hoặc luôn NB) trên [a,b] )

Suy ra

max [ , ]a b y ( hoặc

min [ , ]a b y) Cho

max

[ , ]a b y= d (hoặc [ , ]mina b y=d ) tìm m

Phần 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bài 4.1 : Khảo sát hàm bậc 3 , bậc 4 trùng phương

B1 : Tập xác định : D = R

B2: Tính y’ Cho y’ = 0 tìm nghiệm

B3 : Giới hạn : xlim y

và xlim y

B4: Bảng biến thiên

Kết luận : Đồng biến , nghịch biến , cực đại, cực tiểu

B5: Bảng giá trị : ( 5 điểm đặc biệt)

B6 : Vẽ đồ thị

( Nhận xét : Đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương nhận Oy làm trục đối xứng)

Bài 4.2 : Khảo sát hàm

1

1

B1 : Tập xác định : D = \

d c



B2: Tính y’.Nhận xét y’>0 hoặc y’ <0,

d x c

B3 : Giới hạn và tiệm cận :

+ xlim y y0

y = y0

là tiệm cận ngang

+

lim

d x

c

y

và

lim

d x c

y

(- hoặc+ )

d x

c là tiệm cận đứng

B4: Bảng biến thiên

Kết luận :

Hàm số đồng biến , nghịch biến trên từng khoảng xác định

Hàm số không có cực trị

B5 : Bảng giá trị : ( 4 điểm đặc biệt)

B6 : Vẽ đồ thị

Bài 4.3 : Dựa vào đồ thị (C):y f x đã vẽ, biện luận theo m số nghiệm của phương trình F m x, 0(1)

Đưa pt (1) về dạng : f x g m

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d : y = g(m) ( nằm ngang)

Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của (C)và d

Dựa vào đố thị, lập bảng biện luận và kết luận

g(m) m Số nghiệm pt (1)

-

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

* Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Pt tiếp tuyến của (C) tại điểm M x y0 , 0

có dạng :

y y0 f ' x0 x x0

* Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C1) và (C2)

(C1) tiếp xúc với (C2) ' '

f x g x

f x g x

có n0

Bài 4.4 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) tại điểm M x y0 , 0

Tìm x0, y0

Tính y’ => y’(x0)

Pt tiếp tuyến của (C) tại M x y0 , 0 có dạng :

0 ' 0 0

Bài 4.5 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k Cách 1:

Gọi M x y0 , 0

là tiếp điểm

Tiếp tuyến d cần tìm có dạng: y k x x 0 y0

d có hệ số góc k => y x' 0

= k

Giải tìm x0 suy ra y0 = y(x0)

Suy ra Pt tiếp tuyến d

Cách 2: Dùng đk tiếp xúc

+ Pt tiếp tuyến d có dạng : y = kx +b

+ d tiếp xúc với (C)  '

f x kx b

f x k

có nghiệm + Giải hệ tìm b Viết pttt d

Lưu ý : Hệ số góc của tiếp tuyến có thể được cho gián tiếp như sau :

+ d song song với : y k x b2 2=> k = k2

+ d vuông góc với : y k x b2 2

=> 2

1

k k

+ d tạo với : y k x b2 2

một góc thì

0 0 2

1 2

1

k k

+d tạo với chiều dương của trục hoành 1 góc thì k = tan

Bài 4.6 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A (xA, yA)

Cách 1:

Gọi d là tiếp tuyến qua A (xA, yA) và có hệ số góc k Suy ra : d :

d tiếp xúc với (C)  hệ pt sau có nghiệm :

( ) '

f x k

Giải hệ tìm x ( pp thế) => k Viết pttt

Cách 2: tìm tọa độ tiếp điểm :

Gọi M0 x y0 , 0 là tiếp điểm.Khi đó y0 f x0

Pt tiếp tuyến d tại M có dạng :

y y0 y x' 0 x x0

Vì d qua A(xA, yA) nên : y A y0 y x' 0 x A x0

Giải pt tìm x0 Từ đó viết pttt

Bài 4.7: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đường:

Cho 2 hàm số y = f(x, m) và y = g(x, m) có đồ thị lần lượt là C1 , C2 Biện luận theo m số giao điểm của (C1) và (C2):

* B1 : Lập pt hoành độ giao điểm của C1

và C2

f(x,m) = g(x, m) (1)

* B2: Biện luận theo m số giao điểm của C1 và C2

Chú ý :

* Nếu (1) là pt bậc hai thì ở bước 2 ta làm như sau:

- Tính

- Biện luận theo => số nghiệm pt (1) => Số giao điểm của C1

và C2

* Nếu (1) là pt bậc 3 thì ở bước 2 t a làm như sau :

- Đoán 1 nghiệm của pt ( giả sử pt có nghiệm x = a)

- Thực hiện phép chia đa thức ( Sơ đồ Hoocne) Ta có:

(1)  (x-a)(Ax2 +Bx + C) = 0

- Tính , Biện luận theo => Số nghiệm pt(2) => số nghiệm pt (1)

Bài 4.8 : Nghiệm của pt bậc ba:

Số n0 của pt b3 bằng số giao điểm của (C) với trục Ox

Pt bậc 3 Đồ thị của hàm số và trục

hoành

Nếu

Có 3 nghiệm tạo

thành cấp số

cộng

Cắt tại 3 điểm cách đều nhau (hay 3 điểm lập thành CSC)

f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và điểm uốn nằm trên trục Ox

Có 3 n0 đơn

phân biệt

Cắt nhau tại 3 điểm phân biệt

f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và yCĐ yCT <0

Có 1 n0 kép, 1

n0 đơn

Tiếp xúc nhau tại 1 điểm

và cắt nhau tại 1 điểm

f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và yCĐ yCT = 0

Có duy nhất 1 n0

đơn

Cắt nhau tại 1 điểm Có 2 trường hợp :

* f ’(x) = 0 có n0 kép hoặc vô n0

* f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và yCĐ yCT >0 Định lí Viet về pt bậc 3:

1 2 3

1 2 2 3 1 3

1 2 3

b

a c

a d

x x x

a

Bài 4.9 : Tìm những điểm trên đồ thị hàm hữu tỉ

P x y

Q x có tọa độ nguyên

* Phân tích

Q x Q x , với A(x) là đa thức , a 

* Tọa đô điểm trên đồ thị nguyên  x nguyên và a là bội của Q(x)

* Thử lại các giá trị m tìm được => Kết luận

Bài 4.10 :Tìm điểm cố định của họ đồ thị

(Cm): y = f(x,m)

Cách 1:

Gọi M(x0, y0) là điểm cố định của họ đồ thị (Cm)

0 0 m , 0 0 ,

có n0 m Biến đổi pt theo ẩn m

Áp dụng đk pt có n0 m  các hệ số đồng thời bằng 0 giải tìm x0, y0 =>

Kết luận

Lưu ý :* ax + b = 0 , m 

0 0

a b

2

0

0

a

c

Cách 2:

Gọi M(x0, y0) là điểm cố định của họ đồ thị (Cm)

M x y0 0 C m , m y0 f x m0 , , m (*)

Đặt F(m) = f(x0,m)

F(m) = y0 không đổi => F’(m) = 0 Giải pt tìm x0

Thay vào (*) tìm y0 Kết luận điểm cố định

Bài 4.11: Đồ thị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Cho đồ thị (C) : y = f(x) Dựa vào đồ thị (C) , vẽ đồ thị (C’) :

a) y f x , b) y f x( )

Vẽ đồ thị (C) : y = f(x)

Đồ thị hàm số y f x( )

Ta có:

( )

+Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên trục hoành

+Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành Suy ra đồ thị hàm số y f x( )

Đồ thị hàm số y f x( )

Ta có: y f x( )là hàm số chẳn và

( )

f x x +Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung

+Bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái trục tung

Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung qua trục tung

Suy ra đồ thị hàm số y f x( )