Cách giải toán lớp 12 ôn thi đại học

Giao điểm của 2 đường: Cho y=fx và y= gx - Ptrình hoành độ giao điểm là: fx = gx giải pt này được mấy nghiệm là có mấy giao điểm.. Các phương pháp tính tích phân: Tích phân của tích, th

GIẢI TÍCH 12

Bổ túc về đại số:

1 Phương trình bậc 2:

 ax 2 +bx+c=0 với x 1, x 2 là nghiệm thì ax 2 +bx+c = a(x-x 1 )(x-x 2 );

 ∆=b 2 -4ac (∆’=b’ 2 -ac với b’=b/2) thì = − ± ∆  = − ±a ∆ 

b x

a

b x

2

' '

2 1,22

, 1

 Nếu a+b+c=0 thì x 1 =1; x 2 =c/a; nếu a-b+c=0 thì x 1 =1; x 2 = -c/a;

S=x 1 +x 2 = - b/a; P=x 1 x 2 = c/a (đl Vieet)

0 ) (

0 2

1

α

α α

S

af x

0 ) (

0 2

1

α

α α

S

af x

x

3 Phương trình bậc ba: ax 3 +bx 2 +cx+d=0

 Nếu a+b+c+d=0 thì x 1 =1;

 Nếu a-b+c-d=0 thì x 1 = -1;

 Dùng Hoocner ax 3 +bx 2 +cx+d=(x-1)(ax 2 + βx + γ) = 0 với β=a+b; γ=β+c

4 Các công thức về lượng giác, cấp số và lôgarit:



);

2 cos 1 ( 2

1 cos

);

2 cos(

sin - );

2 sin(

cos

x x

x x

+

=

+

= +

 ( 1 cos 2 )

2

1 sin 2x= − x ; 1+tg 2 x=

x

2 cos

1

x

2 sin

1 cotg

q= =

(tgx)’ = cos12 x (tgu)’ = cosu'2 u

(cotgx)’ = −sin12x (cotgu)’ = −sinu2'u

II KHẢO SÁT HÀM SỐ:

1 Hàm bậc ba y = ax 3 +bx 2 +cx+d:

• Miền xác định D=R

• Tính y’= 3ax 2 +2bx+c

• y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có)

• Tính y’’ tìm 1 điểm uốn

'

'

y

a y

'

'

y

a y

- Để hs có cực trị trên D ⇔y’=0 có 2 n 0 phân biệt

- Để hs không có cực trị ⇔y’=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

- Hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đồ thị

- Chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu x i là cực trị thì giá trị cực trị là: y i =mx i +n

- Đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu.

- Đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau ⇔ ax 3 +bx 2 +cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc ⇔ y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox.

- Để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D ⇔y’=0 có 3 n 0 pb (hoặc 1 n 0 )

- Để hs có điểm uốn ⇔ y’’=0 có 2 n 0 pb

- Đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb ⇔∆>0; P>0; S>0.

- Đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc ⇔∆>0; P>0; S>0; x 2 = 9x 1 và sử dụng định lý Vieet.

bc ad y

• Bảng biến thiên

• Điểm đặc biệt (4điểm)

• Đồ thị

4 Hàm hữu tỷ:

e dx

x e

dx

c bx ax y

+ + +

= +

+ +

.

e dx

p nx mx e

dx

d

+

+ +

= +

− γ α

• y' = 0 tìm 2cực trị hoặc không có.

• TCĐ x= −d e vì lim→ − y =0

d e

- Đồ thị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng

- Có 2 cực trị hoặc không ⇔ y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu hoặc vô nghiệm.

- Nếu x i là cực trị thì giá trị cực trị là

d

b ax

y i = 2 i +

và đó cũng là đt qua 2 điểm cực trị.

- Đồ thị cắt ox tại 2 điểm phân biệt ⇔ ax 2 +bx+c=0 có 2 nghiệm pb

* CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS:

1 Phương trình tiếp tuyến: (pttt)

a Loại 1: pttt tại M(x 0, y 0 ) ∈ y=f(x)

y x x k x f

) ( '

) (

)

- Thay (2) vào (1) giải pt này tìm được x thay vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên.

2 Giao điểm của 2 đường: Cho y=f(x) và y= g(x)

- Ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này được mấy nghiệm là

có mấy giao điểm.

- Bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng f(x)=g(m)

Đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị.

) ( ) (

g x f

x g x f

từ đó tìm điểm tiếp xúc x

3 Đơn điệu: cho y=f(x) ; đặt g(x)=y’

d Trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m

> giá trị lớn nhất của h(x) (m<minh(x))

e đối với hàm có mxđ D=R\{x 0 } thì

• Tăng trên (α,+∞)⇔ y’≥0; x 0≤α

• Giảm trên (α,+∞)⇔ y’≤0; x 0≤α

4 Cực trị:

* y = f(x) có cực trị ⇔ y’= 0 có nghiệm và đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”≠0)

* y=f(x) có cực đại tại x 0⇔ ( )

0 '

0

0

x y

x y

* y=f(x) có cực tiểu tại x 0⇔ ( )

0 '

0

0

x y

x y

a

b T.Hợp 2: Hàm số 2/ /

b x a

c bx ax y

+

+ +

• Tính ( / /)2

b x a

x g y

0

/ / /

a

b g

III HÀM SÓ MŨ VÀ LOGARIT:

1 Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:

a n a m =a n+m ; n m

m

n

a a

VI NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN:

ΙΙΙ1 Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)

1 2

 ∫ dx= −Cotgx+c

x Sin2

1

 ∫e x.dx=e x +c

a

a dx

a x x

ln

1

 ∫ ( + ) = Sin(ax+b)+c

a dx b ax Cos . 1.

 ∫ ( + ) = − Cos(ax+b)+c

a dx b ax Sin . 1.

+b dx a tg ax b c ax

1

1 2

+b dx a Cotg ax b c ax

1

1 2

 ∫ + = e + +c

a dx

e ax b. 1. ax b

a

a m dx

a mx n mx n

ln

1

4 Các phương pháp tính tích phân: Tích phân của tích, thương phải đưa về

tích phân của một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức

a Phương pháp đổi biến số: =∫b [ϕ( ) ]ϕ ( ) ( )

a

x d x x

b t b x

=

= b

a

b a

t F dt t f

 Các dạng đặc biệt cơ bản:

1. =∫a +

x a

dx I

e x P b

a

x

).

u .

- Loại 2: B = ∫b +

a

dx b ax Ln x

P( ) ( ).

Phương pháp: Đặt u = Ln(ax+b) ⇒ dx

b ax

Áp dụng: B = [ ] −∫b

a

b

a v du v

) (

S ( ). + ∫β

α

dx x

f ).( +∫

β

b

dx x

a x

=

• HĐGĐ của hai đường (c 1 ) và (c 2 ) là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0

Lập luận giống phần số 1

• (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i

• (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i

• (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i

o Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực : 1,2

2

b x

C B

A

VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG

1 Tam giác thường:

a) S = 1ah

2 b) S = p(p a)(p b)(p c)− − − (Công thức Hê-rông)

c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)

2 Tam giác đều cạnh a:

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

4 Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):

a) S = 1

2a 2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2

5 Nửa tam giác đều:

a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30 o hoặc 60 o

A

VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

1 Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác

a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm

b) BG = 2

3BN

2 Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm

3 Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

4 Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

VIII HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau

Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác

đáy)

Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

2 Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều Có các mặt bên là những tam giác cân

bằng nhau Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy Các cạnh bên tạo

với mặt đáy các góc bằng nhau

G P

N M

C B

A

3 Đường thẳng d vuông góc với mp(α):

a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(α)

Tức là:

d a; d b

a ba,b

Nếu AH ⊥(α) thì d(A, (α)) = AH (với H ∈(α))

IX KHỐI ĐA DIỆN:

3 (diện tích đáy là đa giác)

4 Diện tích xq của hình nón tròn xoay:

S xq = Rlπ (R: bk đường tròn; l: đường sinh)

α

6 Diện tích xq của hình trụ tròn xoay:

S xq = 2 Rlπ (R: bk đường tròn; l: đường sinh)

7 Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh = πR2h ( h: chiều cao khối trụ)

2 1

1 3

1 3

3 2

3

,

b b

a

a b b

a a b b

a a b

2 2

1 1

b a

b a

b

a b

a 

II TOẠ ĐỘ ĐIỂM:

Trog không gian Oxyz cho A(x A;y A;z A) và B(x B;y B;z B)

1) AB =(x B − x A;y B −y A;z B −z A)

A B A

B A

=

+ +

=

+ +

=

3 3 3

C B A G

C B A G

C B A G

z z z z

y y y y

x x x x

4) G là trọng tâm tứ diện ABCD ⇔GA+GB+GC+GD= 0

=

+ + +

=

+ + +

=

4 4 4

D C B A G

D C B A G

D C

B A G

z z z z z

y y y y y

X x

x x x

5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k Ta có:

z

k

ky y

y

k

kx x

x

B A

M

B A

M

B A

M

1 1

2

z z z

y y y

x x x

A I

B A I

B A I

2 1

1 3

1 3

3 2

3

,

b b

a

a b b

a a b b

a a b

a 

2) Phương trình tổng quát của mp ( )α có dạng: Ax + By + Cz + D = 0

Với A2 +B2 +C2 ≠ 0 ; trong đó n=(A;B;C)là VTPT của mp ( )α

f Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc

g Vấn Đề 7: Viết phương trình mp ( )α đi qua các điểm là hình chiếu của

điểm M(x0 ;y0 ;z0) trên các trục toạ độ.

= + +

z

z y

y x x

h Vấn Đề 8: Viết phương trình mp ( )α đi qua điểm M0 và vuông góc với

= + +

+

0

0 2 2 2 2

1 1 1 1

D z C y B x A

D z C y B x A

t a y y

t a x x

3 0

2 0

1 0

y

y a

2

1 +a +a ≠

a

Qui ước: Nếu a i = 0 thì x – x 0 = 0

 Vấn Đề 1: Tìm VTCP của đường thẳng tổng quát.

= + +

+

0

0 2 2 2 2

1 1 1 1

D z C y B x A

D z C y B x A

P.Pháp: ∆ có VTCP là : = 1 2 

1 1 2 2

1 1 2 2

1

B A

B A A C

A C C B

C B

a

 Vấn Đề 2: Viết phương trình đường thẳng ∆:

P.Pháp:

• Cần biết VTCP a=(a1 ;a2 ;a3) và điểm M0(x0 ;y0 ;z0)∈∆

• Viết phương trình tham số theo công thức (2)

• Viết phương trình chính tắc theo công thức (3)

• Viết phương trình tổng quát thì từ phương trình chính tắc , ta có phương trình tổng quát:

z z x x

a

y

y a

x x

• Rút gọn về dạng (1)

Chú ý: Viết phương trình tổng quát về phương trình tham số Hoặc chính tắc

Ta tìm:

- VTCP u=(a1 ;a2 ;a3) bằng vấn đề 11

- Cho một ẩn bằng 0 Hoặc bằng một giá trị nào đó Giải hệ tìm x, y => z

- Có điểm thuộc đường thẳng

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 và có VTCP là n

• Viết phương trình chính tắc => Ptr tổng quát

 Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu của d trên mp ( )α

• Mp ( )β đi qua điểm M 0 ∈d

• Viết phương trình tổng quát của Mp ( )β

α

: :

 Vấn Đề 5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0(x0 ;y0 ;z0) và

P.Pháp:

• ∆ 1 có VTCP u1

• ∆ 2 có VTCP u2

• d vuông góc với ∆ 1 và ∆2 Nên d có VTCP là ud =[u1,u2]

 Vấn Đề 6: Viết pt đthẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường ∆ 1 và ∆2

P.Pháp:

• Thay toạ độ A vào phương trình ∆ 1 và ∆ 2 ⇒ A∉ ∆ 1 ,A∉ ∆ 2

• Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa ∆ 1

• Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa ∆ 2

 Vấn Đề 7: Viết pt đường thẳng d ⊂( )P cắt cả hai đường ∆ 1 và ∆2

 Vấn Đề 10: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc (P) và cắt hai

đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2

P.Pháp:

• Gọi ( )α là mặt phẳng chứa ∆ 1 và có một VTCP là n P ( VTPT của (P) )

• Gọi ( )β là mặt phẳng chứa ∆ 2 và có một VTCP là n P ( VTPT của (P) )

• Đường thẳng d =( ) ( )α ∩ β

 Vấn Đề 11: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0 vuông góc

P.Pháp:

• Gọi ( )α là mặt phẳng đi qua M 0 và vuông góc ∆ 1

• Gọi ( )β là mặt phẳng đi qua điểm M 0 và chứa ∆ 2

1 Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán kính R là:

• Viết phương trình mặt cầu: (x-a) 2 + (y-b) 2 + (z-c) 2 = R 2

 Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB

P.Pháp:

• Gọi I là trung điểm của AB Tính toạ độ I => I là tâm mặt cầu

• Bán kính R= 21 AB

• Viết phương trình mặt cầu

 Vấn Đề 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) và tiếp xúc

A

D Cz By

Ax I I I

+ +

+ + +

=

• Viết phương trình mặt cầu

 Vấn Đề 4: Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD

2 2

CI AI

BI AI

B A

D Cz By Ax M

d

+ +

+ + +

= α

3) Khoảng cách từ điểm M 1 đến đường thẳng d

• Lấy M 0∈d

• Tìm VTCP của đường thẳng d là u

• ( ) [ ]

u

u M

M d

M

 ,

4) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆ /

• Gọi u và u/ lần lượt là VTCP của ∆ và ∆ /

• ∆ đi qua điểm M 0 , / /

,

.

, ,

u u

M M u

2 2

2 1

2 3

2 2

2 1

3 3 2 2 1 1

.

.

b b b a a a

b a b a b a b

a

b a Cos

+ + +

+

+ +

2 Góc giữa hai đường thẳng (a) và (b):

• Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng (a) và (b) (0 ≤ ϕ ≤ 90 0)

• Đường thẳng (a) và (b) có VTCP lần lượt là : a=(a1 ,a2 ,a3);

2 1

2 3

2 2

2 1

3 3 2 2 1 1

.

.

b b b a a a

b a b a b a b

a

b a Cos

+ + +

+

+ +

/

C B A

CC BB

AA Cos

+ + +

+

+ +

= ϕ

4 Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng ( )α

u

• Gọi ϕ là góc nhọn giữa (d) và ( )α

C B A

Cc Bb Aa Sin

+ + +

+

+ +

= ϕ

5 Vị trí tương đối giữa mp ( )α và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R

P.Pháp:

• Tính d(I, ( )α )

• Nếu d(I, ( )α ) > R => ( )α không cắt (S)

• Nếu d(I, ( )α ) = R => ( )α tiếp xúc (S)

• Nếu d(I, ( )α ) < R => ( )α cắt (S) theo một đường tròn giao tuyến

có bán kính r = R2 −[d(I,( )α ) ]2

• Gọi d / là đường thẳng đi qua tâm I và d/ ⊥( )α

• Gọi { }H =d/ ∩( )α ⇒ H

là tâm đường tròn giao tuyến

6 Tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt cầu (S)

P.Pháp:

• Viết phương trình đường ∆ về dạng phương trình tham số

• Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta được phương trình () theo t

• Nếu ptr () vô nghiệm => ∆ không cắt mặt cầu (S)

• Nếu ptr () có nghiệm kép => ∆ cắt (S) tại một điểm

• Nếu ptr () có hai nghiệm => ∆ cắt (S) tại hai điểm Thế t = vào phương trình tham số của ∆ => Tọa độ giao điểm

 Vấn Đề 1: Tọa độ điểm M / đối xứng của M qua mặt phẳng ( )α

P.Pháp:

• Gọi M / (x / ; y / ; z / ) là điểm đối xứng của M qua ( )α

• Gọi d là đường thẳng đi qua M và d⊥( )α Nên d có VTCP là n

• Viết phương trình tham số của d

• Gọi{ }H =d∩( )α

• Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ( )

• Vì H là trung điểm của MM / => Tọa độ điểm M /

 Vấn Đề 2: Tìm tọa độ điểm M / đối xứng của M 0 qua đường thẳng d

2

/ 0

/ 0

/ 0

z z z

y y y

x x x

H H H

=> M /