Chuyên đề ôn thi đại học toàn tập môn toán

Chuyên đề ôn thi đại học HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Phần 1: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 1 CHỦ ĐỀ 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ 1 CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ CỰC TRỊ VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ 3 CHỦ ĐỀ 3: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ (C): y = f(x) 4 CHỦ ĐỀ 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f(x) 5 CHỦ ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐỒ THỊ 5 CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐCONG y = f(x) 7 CHỦ ĐỀ 7: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT: F(x, m) = 0 BẰNG ĐỒ THỊ 9 CHỦ ĐỀ 8: ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 9 CHỦ ĐỀ 9: BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA (C) VỚI TRỤC HOÀNH 11 CHỦ ĐỀ 10: BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH 14 CHỦ ĐỀ 11: TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ 15 MỘT SỐ BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH: 15

Phần 1: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

CHỦ ĐỀ 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ

Hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b)

( ) 0

.( ) 0

0

( ) 0( )

x x

++ 7) y =

3x2.(x - 5)

8) y = x - 6.3x2

9) y = 2

21

- 19) y = cosx − sinx 20) y = sin 2x 2) Chứng minh bất đẳng thức:

a) CMR: với mọi m hàm số đã cho luôn có cực trị

b) Hãy xác định m sao cho khoảng cách từ các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất

9) Cho hàm số y =x4 - 2mx2 + 2m +m4 Tìm m để hàm số luôn có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của

tam giác đều

10) Tìm m để hàm số y =x4 + (m - 1)x2 + -1 m có một cực trị

11) Cho hàm số y =x4 - 2mx2 + m Xác định m để hàm số có CĐ, CT thoả mãn

a) Lập thành một tam giác đều b) Lập thành một tam giác vuông

c) Lập thành một tam giác có diện tích bằng 4

12) Cho hàm số

2

21

a) Hàm số có cực trị b) Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thoả mãn x1 + x2 = 4x1x2

c) Hàm số có cực đại, cực tiểu có hoành độ dương

- Xác định m để hàm số có cực trị Với m vừa tìm được hãy viết phương

trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

x =

là điểm cực đại

a) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu

b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng (0 ; 2)

20) Cho hàm số: y = 2

31

x x

++ a) Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số

b) Tùy theo m, biện luận số nghiệm của pt: x + 3 = m x + 2 1

x

++ a) Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số

b) Tùy theo m, biện luận số nghiệm của pt: x + m = m x +2 1

22) Tìm a để hàm số: y = x4 + 8ax3 + 3(1+ 2 )a x2- 4 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

23) Xác định hàm số a sao cho hàm số: y = −2x + 2 + a x2 - 4x + 5 có cực đại

24) Cho hàm số: f(x) = x n +(c- x)n trong đó c > 0, n là một số nguyên dương lớn hơn 1

a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số

b) Từ kết quả trên hãy chứng minh: ( 2 ) 2

n n n

£

với a b, Î ¡ ;a+ b³ 0,n Î ¢+. Xét xem đẳng thức khi nào xảy ra

25) CMR pt: (n + 1)x n+2 - 3(n + 2)x n+1 + a n+2 = không có nghiệm khi n chẵn và a > 3.0

26) Biện luận theo a số nghiệm của pt:

CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ CỰC TRỊ VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ

* HÀM BẬC BA:

Để Hs có cực trị thì y′ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt: x x1; 2(Dy¢> 0)

Chia f(x) cho f′(x) ta được y = f x( )= f x q x/( ) ( )+ a x + b

* HÀM HỮU TỈ:

0( ) 0

b

x

g x a

ì ¢

ïD >

ï-

1 2 2

ïïïïîSuy ra: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: 1

2ax b y

a) Chứng minh rằng với mọi m, hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

b) Định m để giá trị cực đại và giá cực tiểu có cùng dấu

c) Viết p.trình đường thẳng qua 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị

a) Các số a, b thỏa mãn điều kiện gì để hàm số có cực đại và cực tiểu.

b) Chứng minh với mọi a, b p.trình:(x +a)3 + (x + b)3- x3 = không thể có 3 nghiệm phân biệt.0

CHỦ ĐỀ 3: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ (C): y = f(x)

1/ Phương pháp tìm tiệm cận: Đứng; Ngang; Xiên.

2/ BÀI TẬP:

36) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:

x mx y

có tiệm cận vuông góc với tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0

39) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm trên đồ thị hàm số:

40) Cho hàm số:

2

11

B2: Giới hạn- Tiệm cận (nếu có)

B3: Chiều biến thiên: (Tìm y′; nghiệm của y′; lập bảng biến thiên)

B4: Điểm uốn (Tìm y′′; xét dấu y′′ ; suy ra khoảng lồi lõm và điểm uốn)

B5: Vẽ đồ thị: (Tìm điểm đặc biệt, vẽ tiệm cận, vẽ đồ thị hs, nx dạng đồ thị)

CHỦ ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐỒ THỊ

Cho 2 đường: (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)

Pt hoành độ giao điểm của hai đường là: f(x) = g(x) (*)

Số nghiệm của Pt (*) là số giao điểm của hai đường (C1) & (C2)

Điều kiện tiếp xúc: Để (C1) tiếp xúc (C2 ), điều kiện là hệ pt:

( ) ( )( ) ( )

43) Cho (C): y = x4− (m2+ 10)x2 + 9 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs với m = 0

b) CMR với m ¹ 0, đồ thị luôn cắt Ox tại 4 điểm phân biệt Trong các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (−3; 3) và có hai điểm nằm ngoài khoảng (−3; 3)

(44) Cho (C m ): y = 2x3+ 3(m – 3)x2+ 11 – 3m

a) Tìm pt các đường thẳng qua A(19/12; 4) và tiếp xúc với đồ thị (C2) của hs

b) Tìm m để (C m ) có 2 cực trị, đồng thời các điểm cực trị M1; M2 và B(0;−1) thẳng hàng

(45) Cho (C): y = 2x3− x2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Tìm m để (d): y = m cắt (C) tại ba điểm có hoành độ x1; x2; x3 Tính tổng:

x x

++ a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx – m + 5 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A x y( ; ), ( ; )1 1 B x y2 2

a) Tìm m để tiệm cận xiên đi qua điểm M(2; 0) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs với m tìm được.

b) Tìm m để đường thẳng y = x – 1 luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A x y( ; ), ( ; )1 1 B x y2 2

b) Gọi A là điểm cực đại của (C) Tìm m để đường thẳng (d): x + 2y – 2m = 0 cắt (C) tại hai điểm B; C

sao cho DABC vuông ở A.

b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A; B sao choDOAB có diện tích bằng

109(đvdt)

CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI Đ/CONG y = f(x)

1 Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hs: y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C) và (C’).

(C) tiếp xúc với (C’)

( ) ( )'( ) '( )

ïî có nghiệm x0 (x0 là hoành độ tiếp điểm)

2 Các dạng bài tập về Phương trình tiếp tuyến (pttt):

Dạng 1: Viết pttt với (C): y = f(x) tại điểm M x y0( ; )0 0

(55) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thi (C) của

a Hàm số y =x3- 3x2 + 2, biết tiếp tuyến vuông góc với D : 3x- 5y - 4 =0

b Hàm số y =x4 + x2- 2, biết tiếp tuyến song song với D: 6x + y - 1=0

x y x

x y x

+

=

a Viết pttt đi qua điểm O(0; 0) với đồ thị của hàm số.

b Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.

+ Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có tiếp tuyến vuông góc với

đường phân giác của góc phần tư thứ nhất?

b Tìm các điểm trên đồ thị của hàm số

c Cho hàm số y =x3 - 3 ,( )x C Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó

1) Kẻ được 1 tiếp tuyến với (C) ; 2) Kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) ; 3) Kẻ được 3 tiếp tuyến với (C)

d Cho hàm số y =x4- 2x2 - 1,( )C Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó

d1 Kẻ được 1 tiếp tuyến với (C) d2 Kẻ được 2 tiếp tuyến với (C)

d3 Kẻ được 3 tiếp tuyến với (C) d4 Kẻ được 4 tiếp tuyến với (C)

b) Gọi M là điểm thuộc (C m ) có hoành độ bằng – 1 Tìm m để tiếp tuyến của (C m ) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0.

(59) Cho hs y = 4x3 - 3x + 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) tại điểm A(−

b) Gọi M là điểm thuộc (C) có hoành độ x M =a.

Tìm a để tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt (C) tại hai điểm khác M.

(61) Cho hs: y = 2x3 - 3x2- 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) CMR qua điểm A(−

2

27 ; −1) ta kẻ được ba tiếp tuyến với (C), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

(62) Cho hs: y = x3 + 3x2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Tìm trên trục hoành các điểm từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với (C); trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

(63) Cho hs: y = x3- 3x2 + 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Lập Pttt với (C) đi qua điểm A(

vuông góc với nhau

(65) Cho hs: y = - x3 + 3x2 - 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Tìm điểm MÎ (C) sao cho qua M ta kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với (C)

(66) Cho hs: y =

21

x x

+a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Viết Pttt (D) với (C) tại điểm A(a ; y) với a¹ −1

-c) Tính khoảng cách từ M(−1 ; 1) tới (D) Tìm a để khoảng cách đó lớn nhất

(67) Cho hs: y =

31

x x

++ a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Tiếp tuyến tại điểm SÎ (C) cắt hai tiệm cận tại P và Q Chứng minh S là trung điểm của PQ

2x 2m

+

b) Tìm m để đồ thị cắt Ox tại 2 điểm và hai tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.

CHỦ ĐỀ 7: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT: F(x, m) = 0 BẰNG ĐỒ THỊ

* Chú ý: Số nghiệm của pt: f(x) = g(x) là số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x)

(70) Cho hs: y = x3- 2x2 + x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm và xét dấu các nghiệm của Pt:

CHỦ ĐỀ 8: ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Từ đồ thị (C) của hàm số y = f x( ), suy ra:

1 Đồ thị hàm số (C 1 ): y1 = f x( )

Ta có y1 = f x( )= f(- x)

: đây là hàm số chẵn nên (C1) nhận trục tung làm trục đối xứng.

Đồ thị (C1) được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách:

• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy

• Bỏ phần đồ thị (C) bên trái trục Oy và lấy đối xứng phần bên phải của (C) qua trục Oy.

2 Đồ thị hàm số (C 2 ): y1 = f x( )

Ta có:

neáuneáu

1

( ) 0( ) 0

1) ở phía trên của trục Ox

Đồ thị (C2) được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách:

Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục Ox Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox và lấy đối xứng của phần đồ thị này qua trục Ox

3 Đồ thị hàm số y1 = f x( )

Nếu y1 ³ 0Þ y1 = f x( ) : (C )3 º (C)

ở trên trục Ox.

Nếu y1 £ 0=> y1 = - f x( ) : (C )3 đối xứng với (C) ở trên trục Ox qua Ox.

Đồ thị (C3) được suy ra từ (C) bằng cách

Giữ nguyên phần đồ thị của (C) ở phía trên Ox Bỏ phần đồ thị ở dưới Ox và lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở trên trục Ox qua trục Ox.

4 Cho hàm số

( )( )

P x y

Q x

=

có đồ thị (C)

a Vẽ đồ thị (C1 ):

neáuneáu

Đồ thị (C1) được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách:

Phần đồ thị (C) ở miền Q x >( ) 0 giữ nguyênBỏ phần đồ thị (C) ở miền Q x <( ) 0 và lấy đối xứng của phần này qua trục Ox.

b Vẽ đồ thị (C2 ):

neáuneáu

= =íïï

-<

ïïïî

Đồ thị (C2) được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách:

Phần đồ thị (C) ở miền ( )P x ³ 0 giữ nguyênBỏ phần đồ thị (C) ở miền ( )P x £ và lấy đối xứng của phần này qua trục Ox.0

a) Tìm m để hs có cực tiểu tại x = 2 khảo sát và vẽ đồ thị với m tìm được

b) Biện luận số nghiệm của Pt: (x2− 2x – 2) x - 1 = k theo tham số k.

(77) Cho hs: y =

1

x x

+a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

+-

b) Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là các số nguyên

-CHỦ ĐỀ 9: BIỆN LUẬN SỚ GIAO ĐIỂM CỦA (C) VỚI TRỤC HOÀNH

PP2: - Đốn nhận x0 là một nghiệm của f(x; m) = 0 (1)

- Chia f(x; m) cho (x − x0) đưa (1) về dạng: (x − x0).g(x) = 0 ;

trong đĩ g(x) là một tam thức bậc hai thỏa 0

0( ) 0

g x

ìï >Dïí

PP2: - Đốn nhận x0>0 là một nghiệm của f(x; m) = 0 (1)

- Chia f(x; m) cho (x − x0) đưa (1) về dạng: (x − x0).g(x) = 0;

trong đĩ g(x) là một tam thức bậc hai thỏa: 0

000( ) 0

P S

g x

ìï >Dïï

3 Tìm m để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cĩ hồnh độ âm

có hai nghiệm x 1 2

4 (C) cắt Ox tại 3 điểm có hoành đợ lớn hơn a

có hai nghiệm x 1 2

* (C) cắt Ox tại 3 điểm có hoành đợ nhỏ hơn a

có hai nghiệm x1 2

* (C) cắt Ox tại 3 điểm, trong đó có hai điểm có hoành đợ âm

có hai nghiệm x1 2

a y x

* (C) cắt Ox tại 3 điở̉m, trong đó hai điở̉m có hoành đự̀ dương

coỳ hai nghieồm x1 2

a y x

PP2: - Đoõn nhận x0 lỏ một nghiệm của f(x; m) = 0 (1)

- Chia f(x; m) cho (x − x0) đưa (1) về dạng: (x − x0).g(x) = 0 ;

trong đụ g(x) lỏ một tam thức bậc hai thỏa

ởớ đủ =

í ởủợởủ >

PP2: - Đoõn nhận x0 lỏ một nghiệm của f(x; m) = 0 (1)

- Chia f(x; m) cho (x - x0) đưa (1) về dạng: (x - x0).g(x) = 0 ;

trong đụ g(x) lỏ một tam thức bậc hai thỏa

hoaỡc

0

00

( ) 0

g x

ớủ =Dủ

<

D ợủủù = Giải hệ tớm m

7 Tớm m để (C) có hai điở̉m cực trị M x y1( ; );1 1 M x y2( ; )2 2

nằm khác phía đừ́i với đường thẳng (d):

8 Tớm m để hàm sừ́ đạt cực trị tại x x1; 2

thỏa mãn hợ̉ thức F x x =( ; )1 2 0 (1)

• Điở̀u kiợ̉n đở̉ hàm sừ́ có cực đại, cực tiở̉u là:

0

y đ= có hai nghiợ̉m phón biợ̉t x x1; 2

00

y

a

đ

ớủ Ỉủ

b

a c

x x

a

F x x

ớủủ + = ủủ

-ủủ

í ợủủ

ủủủủủù

• Giải hợ̉ suy ra m So sánh điở̀u kiợ̉n nhọ́n hay loại giá trị của m

Chú ý: Để tính ymax;ymin

ta nởn làm theo thứ tự sau:

Viở́t phương trình đường thẳng đi qua hai điở̉m cực trị của hàm sừ́ y =a x + b

• Hàm số có 3 cực trị ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ a.b < 0

• Hàm số có 1 cực trị ⇔ (2) VN hoặc có 1 nghiệm bằng 0 hoặc có một nghiệm kép

m

-x3+ mx2+ (3m – 2)x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

b Tìm m để pt: x3+ 3x2− 9x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt

(81) a Tìm m để hs: y = x3− 3x2− 9x + m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp

số cộng Tìm cấp số cộng đó

b Tìm a, b để pt: x3+ ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng Tìm CSC đó.

(82) a Giả sử pt: x3− x2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt CMR: a2 + 3b > 0

d Tìm a để pt: x3− x2 + 18ax – 2a = 0 có 3 nghiệm dương phân biệt

b Tìm a để pt: x3− 3x2+ a = 0 có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm lớn hơn 1

c Cho HS: y = x3 − 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x – 4m(m + 1) (C m ) Tìm m để (C m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1

e Cho HS: y = x3− 3mx2 + 3(m2− 1)x – m2 + 1 (Cm ) Tìm m để (C m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

(83) Cho HS: y = x3 − mx2+ (2m + 1)x – (m + 2) (C m ) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A(1; 0); B; C thỏa: (OA/OB)2 + (OA/OC)2 = 19/48

(85) Cho HS: y = 2x3− 3(m + 2)x2+ 6(m + 1)x – 3m + 6 (C m)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = −1 b) Tìm m để (C m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

(86) Cho hs: y = (x + a)3 + (x + b)3− x3 (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi a = 1, b = 2

b) Tìm điều kiện đối với a, b để hs (1) có cực đại cực tiểu

c) CMR " a, b phương trình (x + a)3 + (x + b)3− x3= 0 không thể có 3 nghiệm phân biệt

(87) Cho hs: y = x4− 2(m + 1)x2+ 3(m – 1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0

b) Tìm m để đồ thị hs cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng Tìm cấp

số cộng đó

(88) Cho hs: y = − x4+ 2(m + 1)x2− 2m – 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0

b) Tìm m để đồ thị hs cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng Tìm cấp

+

=+ a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Tìm điểm MÎ (C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận bé nhất.

(90) Cho hs:

11

x y x

+

=- a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) CMR đường thẳng 2x – y + m = 0 luôn cắt đồ thị tại hai điểm A, B trên 2 nhánh của (C)

c) Tìm m để đoạn AB ngắn nhất

(91) Cho hs:

11

x y x

-=+ a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Tìm điểm MÎ (C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai trục tọa độ bé nhất

(92) Cho hs: y =

2

x x

- a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

-b) Tìm điểm MÎ (C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai trục tọa độ bé nhất

- a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)- b) Tìm điểm MÎ (C) và cách đều hai trục tọa độ

(94) Cho hs: y =

1

x x

+- a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Tìm điểm MÎ (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (D): y = 1 − x/3 đạt giá trị bé nhất

Trong trường hợp này, chứng minh (D) song song với tiếp tuyến của (C) tại M.

(95) Cho hs: y = x3+ 3x2− 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Gọi A, B là hai điểm cực trị của (C) Tìm m để tổng k/c từ A và B đến đường thẳng

(D): 3mx + 3y + 2m + 2 = 0 đạt GTLN, NN

CHỦ ĐỀ 11: TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ

1 Kiến thức liên quan:

- Tập D được gọi là đối xứng nếu x Î D thì –x Î D

- Hàm số y = f(x) được gọi là hs chẵn nếu thỏa 2 ĐK:

x x

e/ y = x4−4x3−2x2+12x −1 có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 Tìm giao của đồ thị với trục hoành

g/ y = x4−4x3+ 8x + 3 có trục đối xứng là đường thẳng x = 1 Tìm giao của đồ thị với trục hoành

(98) Cho hs: y =

11

x x

+ a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

-b) CMR đường thẳng (d): y = x + 2 là trục đối xứng của (C)

Tìm m để (D2 ) cắt (C) tại hai điểm A; B đối xứng nhau qua (D1)

MỘT SỐ BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH:

+ với m là tham số thực

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b Tìm các giá trị của tham số m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) tạo với nhau một góc bằng 45o

HD: b Tìm hai đường tiệm cận:

1 2

2

=

Câu 2: (B08) Cho hàm số y =4x3- 6x2 + 1 (2)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (2), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(− 1;− 9)

Câu 3: (D08) Cho hàm số y =x3 - 3x2 + 4 (3)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (3)

b Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc (k > −3) đều cắt đồ thị (C) tại ba

điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

HD: b) Gọi d là đường thẳng đi qua I và có hệ số góc k

Lập phương trình hoành độ giao điểm của d với (C)

Điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có ba nghiệm thỏa điều kiện x A + x B =2x I

+ với m là tham số thực.

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = − 1

b Tìm tham số m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời hai điểm cực trị của đồ thị cùng với góc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O

HD:b) – Tìm hai điểm cực trị A; B ; - Giải phương trình OA OB =. 0

uuur uuur

⇒ m là giá trị cần tìm.

Câu 5: (B07) Cho hàm số

3 3 2 3( 2 1) 3 2 1 (1),

y = - x + x + m - x- m

m là tham số

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

b Tìm tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ

HD: b) Tìm hai điểm cực trị A; B Giải phương trình OA =OB ⇒ m là giá trị cần tìm.

Câu 6: (D07) Cho hàm số

21

x y

x

=+ (1)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng ¼.

HD: Gọi M x y( ; )0 0 Î ( )C ⇒ tọa độ điểm A, B ⇒

2A O OB = 4 ⇒ điểm M Câu 7: (A06) a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =2x3- 9x2 + 12x- 4

b Tìm tham số m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt

2x - 9x + 12x =m HD: Vẽ đồ thị của hs

b) Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thi

Câu 9: (D06) Cho hàm số y =x3 - 3x + 2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M(3; 20) và có hệ số góc là m Tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại ba

điểm phân biệt

Câu 10: (A05) Cho hàm số

1(1),

m =

b) Tìm m để hàm số (1) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng

12

HD:b) – Tìm điểm cực tiểu ; - Tìm tiệm cận xiên của (C m ) ⇒ ( , ) d M d =1 / 2

Câu 11: (B05) Cho hàm số

2

(1)1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (Cm) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách hai điểm đó bằng 20

Câu 12(D05) Cho hàm số

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2

b Gọi M là điểm thuộc (C m ) có hoành độ bằng – 1 Tìm m để tiếp tuyến của (C m ) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0.

Câu 13: (A04) Cho hàm số

(1)2( 1)

-a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b Tìm tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm A, B sao cho AB = 1

Câu 14: (B04) Cho hàm số

1

2 3 (1)3

y = x - x + x

a) Khảo vẽ đồ thị của hàm số (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến D của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng D là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

HD:b) - Tìm tiếp tuyến D - Gọi M x y( ; )0 0 Î ( )C

, chứng minh

/ 0

( )

f x ³ hsgD

Câu 15: (D04) Cho hàm số y =x3 - 3mx2 + 9x + 1(1)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2

b Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1

Câu 16(A03) Cho hàm số

2

(1)1

-a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = −1

b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương Câu 17(B03) Cho hàm số y =x3- 3x2 + m(1)

a Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

b Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2

HD: a) Gọi A(x;y) => B(−x; −y) Vì A,B thuộc (C) suy ra hệ pt ⇒ m

Câu 18: (D03) Cho hàm số

(1)2

- a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b) Tìm m để đường thẳng dm: y =mx + 2- 2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt

Câu 19: (DBA03) Cho hàm số

-a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b Tìm m để phương trình

2

2x - 4x - 3+ 2m x - 1 =0

có hai nghiệm phân biệt

Câu 20: (DBA03) Cho hàm số

b Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.

Câu 21(DBB03) Cho hàm số

1

x y x

-=

- (1)

b Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

c Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.

Câu 22: (DBD03) cho hàm số

(1)3

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (1;+ ¥ )

HDb): ĐK y/ ³ 0 x" ³ 1 ; Đs: min ( )1 2, 1 2 16

x g x m x m

³ ³ " ³ < => £

Câu 23: (DBA04) Cho hàm số y =x4 - 2m x2 2 + 1(1)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông cân.

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.

HDb) ĐK: y =/ 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa: x1 < 0< x2 < => P < 0

Phần 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HS

I PP sử dụng Đạo hàm:

1/ Tìm GTLN; GTNN của hs y = f(x) liên tục trên [a; b]:

- Tìm y′ và các nghiệm x i Î [a; b] của pt y′ = 0

- Tính f(a); f(b); f(x i ), từ đó suy ra GTLN; GTNN của hs y = f(x) trên [a; b]

d/ y = x4+ (1 – x)4 e/ y = 41- x + 41+ x f/ y = 3cos2x +6|sin x|

g/ y = cos3x + 2cos2x + 3cosx – 2 trên [0 ;

23

p

] h/ y = sin2x + 2sinx trên [0 ;

32

+ + HD: thay b = 1 – a, tìm maxC(a); minC(a)

(4) Cho 2 số thực a, b > 0 thỏa: a + b = 1 Tìm GTNN của biểu thức:

(7) Giả sử x, y là nghiệm của hệ pt:

xy a

ìï + =ïïí

ïïî Tìm a để biểu thức F = x2

+ y2 a) đạt GTLN; b) đạt GTNN

(11) Cho đường cong (C): y = x +2 9 và đường thẳng (D): 4x – 5y – 32 = 0 Tìm tọa độ MÎ (C) để

khoảng cách d(M; D) ngắn nhất

11

4 3x

+

và A(0;1) Tìm MÎ (C) để độ dài đoạn AM ngắn nhất

(13) Cho pt: x4− 2x2− 2a + 2 = 0 Tìm GTNN của a để pt có nghiệm

(14) Tìm tất cả các giá trị của m để PT sau có nghiệm: x4+ mx3+ x2+ mx + 1 = 0

(15) Tìm tất cả các giá trị của m để BPT sau nghiệm đúng với mọi x: sin4x + cos4x + sinx.cosx ³ m

(16) Tìm tất cả các giá trị của m để BPT sau nghiệm đúng "x ³ 2: x3

(18) Cho pt: (x – 3)(x + 1) + 4(x – 3)

13

x x

+

- = m (1) a) Giải pt khi m = −3 b) Tìm m để pt (1) có nghiệm

(19) Cho pt: 2x2- (m + 2)x + 8 = 2 − x (1)

a) Giải pt khi m = 7 b) Tìm m để pt (1) có nghiệm

(20) Cho BPT: 2x + 1 ³ a.( x - 1+ 1)

(1)

a) Giải Bpt khi a = 1 b) Tìm a để Bpt (1) có nghiệm

(21) Cho Bpt: cos2x + (m − 1)cosx + 3m – 2 ³ 0

a) Tìm m để Bpt có nghiệm b) Tìm m để Bpt nghiệm đúng với mọi x

(22) Tìm tất cả các giá trị của m để BPT sau có nghiệm 4 x− m.2 x + m + 3 £ 0

(23) Tìm tất cả các giá trị của m để PT sau vô nghiệm

a)

2 2

- a) Giải pt khi a = 0 b) Tìm a để pt có nghiệm duy nhất

(25) Cho Pt: cos4x + 6sinx.cosx = m

a) Giải pt khi m = 1 b) Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt trên đoạn éêë0; / 4p ùúû

(26) Trong tất cả các khối nón có đường sinh bằng a, tìm khối nón có thể tích lớn nhất Tính đường cao khối

nón đó

II PP dùng Miền giá trị hàm:

• B1: Xem y = f(x) là phương trình ẩn x và tham số y

• B2: Tìm điều kiện của y để phương trình y = f(x) có nghiệm

• B3: Kết luận min y và max y.

* Hs y =

2 2

¢ + ¢ + ¢ có TXĐ: D = ¡ được biến đổi về dạng: Ax2+ Bx + C = 0 (1)

- Với A = 0, tìm nghiệm x của pt (1)

- Với A ¹ 0, ĐK để Pt có nghiệm là D³ 0, suy ra m£ y£ M

minmax

* Hs y = f(sinx ;cosx) có TXĐ D = ¡ và được biến đổi về dạng a.cosx + b.sinx = c (2)

ĐK để Pt (2) có nghiệm là a2 +b2 ³ c2 Từ đó suy ra m £ y £ M

minmax

* BÀI TẬP:

(27) Tìm GTLN; GTNN của hs:

a) y = 2

11

2x x + b

a x

+

- + có GTLN bằng 5 và GTNN bằng 1

(29) Tìm m để hs y =

cos sin 3cos 2 sin 4

(31) Cho pt: sin2x + (m – 1)sin2x – (m + 1)cos2x = m

a) Giải pt khi m = −2 b) Tìm m để pt có nghiệm

x + a trên miền (−a; +¥ )

(35) Cho 2 số x, y thỏa 0 £ x £ 1 ; 0 £ y £ 2 Tìm GTLN của biểu thức: M = (1 − x)(2 − y)(4x + y)

(36) Cho 2 số dương x, y thỏa x + y = 2 Tìm GTNN của biểu thức: N = 3 x+ 3y + 1

(37) Cho 3 số dương a, b, c thỏa a + b + c = 1 Tìm GTLN của biểu thức: P =

11

(40) Cho 3 số không âm a, b, c thỏa a + b + c = 1 Tìm GTLN của biểu thức:

IV PP dùng Lũy thừa với số mũ chẵn:

1/ Nếu f(x) = C + A 2n + B 2m , trong đó C là hằng số; n, mÎ ¢ ⇒ f(x) ³ C ⇒ minf(x) = C ⇔

00

A B

ìï =ïí

ïî

2/ Nếu f(x) = C− A2n− B2m , trong đó C là hằng số; n, mÎ ¢ ⇒ f(x) £ C ⇒ maxf(x) = C ⇔

00

A B

ìï =ïí

ïî

* BÀI TẬP:

(42) Tìm GTNN của biểu thức: A = 2x2+ 2y2+ 2xy – 2x + 2y + 1

(43) Tìm GTLN của biểu thức: B = 4 − 5x2− 2y2+ 2xy + 8x + 2y

(44) Tìm GTNN của biểu thức: C = 4sin3x + cos2x – cos6x + 5

(45) Tìm GTNN của biểu thức: D = cosx + cosy +

1

2 cos(x + y) −

112

Phần 3: P.TRÌNH VÀ BẤT P.TRÌNH SIÊU VIỆT

* CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1 Định nghĩa và các công thức của luỹ thừa, logarít

2 Tính chất của hàm số mũ và hàm lôgarít

3 Các phương trình và bất phương trình mũ và lôgarít

Trường hợp: a x < m, loga x < m xét tương tự như các trường hợp trên

 Phương pháp đưa về cùng cơ số:

=

.Khi biến đổi phương trình về dạng: a f x ( )2 + b f x ( )+ c = ( > 0) với 0 f x( )=m g x( ) hoặc ( ) logm ( )

, ta đặt t = f(x) để đưa phương trình hay BPT về bậc hai ẩn t.

 Phương pháp Lôgarit hoá:

Phương pháp Lôgarit hoá rất có hiệu quả khi hai vế của phương trình có dạng tích các luỹ thừa

Hoặc lấy lôgarit hai vế của pt hay bpt theo cơ số b.

 Phương pháp nhẩm nghiệm và c/m duy nhất nghiệm:

Sử dụng tính chất của hàm số mũ: Nếu PT có 1 nghiệm x0, một vế của PT là đồng biến , còn một

vế là nghịch biến (hoặc là hàm hằng) thì nghiệm x0 là duy nhất

* BÀI TẬP:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) 2x2- x+ 8 =41- 3x 2)

2 6 5 2

2x- x- =16 2 3) 2 5x+1 x 2.102x+5

= 4) 2 3 5x x-1 x-2 12

=5) 7 3x +1− 5x +2= 3x +4− 5x +3 6) 3x +1+ 3x -2− 3x -3+ 3x -4= 750; 7) 2x + 2x-1 + 2x-2 =3x - 3x-1+ 3x-2

-= 5005) 5x x+18x = 100 6) 3x 8 2

10)

2.4-x - 6-x = 3.9- x 11) 3x+ 33 2x- = 6 12) ( )5

3 x+ ( )10 10

3 x = 84

Bài 6: Giải các phương trình sau:

1) log5x =log (5 x + 6)- log (5 x + 2)

2) log5x + log25x =log0.2 3

3)

2

log (2x x - 5x + 4)=24)

1 1

( 5 2) ( 5 2)

x

x x

+

+

-£-

+

5

2

x x

Baì 9: Giải các hệ phương trình mũ và lôgarit

x y

a) Giải bất phương trình khi

169

m = b) Định m để bất phương trình thoả "x Î ¡

Phần 4: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHỦ ĐỀ 1: BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

0 1ln

cos sinsin cos

tancos

cotsin

u u

u u

du

u c u

ò ò ò ò

ò

1cos(kx b dx) sin(kx b) C

k

ò

1sin(kx b dx) cos(kx b) C

1cot( )sin ( )

dx

k

kx b dx

1ln2

ò

CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

DẠNG 1: Xét tích phân

( )

b a

I =òf x dx Phương pháp: * Đặt x =y( )t Þ dx =y¢( )t dt

* Đổi cận:

a b

dx b

dx c

I =òf x dx Phương pháp: * Đặt t =u x( )Þ dt =u x dx¢( )

* Đổi cận:

a b

udv = é ùê úuv - vdu

2/ Tìm các nguyên hàm sau

3/ Tìm nguyên hàm của hàm số

a) f x( )=sin 2 cosx x biết rằng nguyên hàm này bằng 0 khi x 3

4

3

x x

++ ; f(x) = 2 2

dx x

ị

d/

8

3 2 1

dx x

ị

e/

2 2

2

dx x

x dx x

p p

4

cot xdx

p p

p p

+

cos 2x 1dx

p p

+

ò

g/

3 2

21

x dx x

e dx e

ò

d/

1 8 2

e dx Y

e dx C

14

dx F

21

f x - g x dx

ị

2/ Thể tích vật thể trịn xoay:

* Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường: y = f(x); y = 0; x = a; x = b quay xung quanh trục hồnh ta

được một khối trịn xoay Thể tích KTX đĩ được tính theo cơng thức: V =

2

( )

b a

f x dx

pịéêë ùúû

* Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường: x = g(y); x = 0; y = a; y = b quay xung quanh trục tung ta được

một khối trịn xoay Thể tích KTX đĩ được tính theo cơng thức: V =

2

( )

b a

f y dy

pịéêë ùúû

* BÀI TẬP:

1/ Cho hàm số y = f(x) = x3 –3x +2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), đường thẳng (D): y = x + 2, x = −1, x = 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến (D1) với (C) tại điểm có hoành độ bằng –2 và phương trình tiếp tuyến (D2) với

(C) tại điểm uốn I của (C)

d/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), (D1) và x = −1

e/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), (D1) và (D2)

2/ Cho hàm số y = f(x) = −x3 + 3x2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) với trục Ox

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P): y = x2

d/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), (P): y = x2, x = 1, x = 3

e/ Viết phương trình tiếp tuyến (D) với (C) tại điểm A(3; 0) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (C), (D) và x = 2, x = 4

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = x3 ; x + y = 2 và trục hoành b) y = 2x – x2 ; x + y = 0

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox

c) Cho hình phẳng trên quay xung quanh trục hồnh Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành

6/ Cho hs: y =

44

x

-a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C); tiệm cận ngang, trục Oy và tiếp tuyến với (C) qua A(2; 0).

c Cho hình phẳng trên quay xung quanh trục hồnh Tính thể tích KTX tạo thành

7/ Cho hs: y =

1

x x

+-a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và 2 trục tọa độ

c) Cho hình phẳng trên quay xung quanh trục tung Tính thể tích KTX tạo thành

8/ Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = sin6x + cos6x ; y = 0 ; x = 8

p ; x = 4

p

xung quanh trục hồnh

9/ Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = x − e x ; y = 0; x = 0 và đường thẳng x = ln2 xung quanh trục hồnh

10/ Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = e x-1 ; y = e ; x = 0 xung quanh trục tung

Phần 5: BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC) Tính

khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng SA =

62

a

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA

= a Gọi E là trung điểm của cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ S đến đường thẳng BE.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) và SA = a Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của AB

1 Chứng minh IO ^ (A BCD)

2 Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM.

Bài 4: Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và AC = 2a, cạnh SA vuông góc với mặt

phẳng (ABC) và SA = a.

1 Chứng minh (SA B)^ (SBC) Tính khoảng từ A đến (SBC)

2 Gọi O là trong điểm của AC Tính khoảng cách từ O đến (SBC)

Bài 5: Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a, BC = a 3, SA vuông góc với

mp(ABC), SA = 2a Gọi M là trung điểm của AB.

1 Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

2 Tính đường cao AK của tam giác AMC

3 Tính góc j giữa hai mặt phẳng (SMC) và (ABC)

4 Tính khoảng cách từ A đến (SMC)

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp(ABCD) và SA = a Dựng

và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng:

a) SA và AD b) SC và BD c) SB và CD

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a 2 Gọi I và J lần

lượt là trung điểm của AD và BC

1 Chứng minh (SIJ)^ (SBC)

2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB

Bài 8: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ D

đến BC là a Gọi H là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH.

1 Chứng minh BC ^ (A DH) và DH = a

2 Chứng minh DI ^ (A BC)

3 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc A bằng 60o, đ.cao SO = a

1 Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) 2.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB

Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = b, cạnh SA vuông góc với

đáy và SA = 2a Gọi M là trung điểm của SC Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.

Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và góc BA C =· 120 ,°

cạnh bên BB' = a Gọi I là trung điểm CC' Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).

Bài 12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng f

(0o < f < 90o)

Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC).

Bài 13: Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và

góc BDC =· 90 ° Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD theo a và b.

Bài 14: Cho tứ diện ABCD cóDABC vuông tại A, AD vuông góc với (ABC) và AD = a, AC = b, AB = c

1) Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c