Bai tap so phucDSTH

Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác.. Tìm phần thực, phần ảo của z.. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị... Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình: a.. Chỉ có

Chuyên đề

SỐ PHỨC−ĐẠI SỐ TỔ HỢP

I SỐ PHỨC

A LÝ THUYẾT

I Dạng đại số ( vẫn còn nhớ )

II Dạng lượng giác của số phức

z=r ϕ+i ϕ (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b ∈ R, z ≠ 0)

* r= a2+b2 là môđun của z.

* ϕ là một acgumen của z thỏa

cos sin

a r b r

ϕ ϕ







1 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác Nếu z=r(cosϕ+isinϕ), z'=r' cos '( ϕ +isin 'ϕ )thì:

* z z '=r r ' cos (ϕ ϕ+ ')+isin(ϕ ϕ+ ') * cos( ') sin( ')

' '

z r

i

z = r  ϕ ϕ− + ϕ ϕ− 

2 Công thức Moivre: n N∈ * thì r(cosϕ+isinϕ)n =r n(cosnϕ+isinnϕ)

3 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

Căn bậc hai của số phức z =r(cosϕ+isinϕ) (r > 0) là cos sin

r ϕ +i ϕ

B BÀI TẬP

1 (ĐH_Khối A 2009)

Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2+2z+10=0 Tính giá trị biểu thức A= z1 2 + z2 2

ĐS: A=20

2 Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z2 −4z+ =11 0 Tính giá trị của biểu thức

2

1 2

A

z z

+

=

ĐS: A=11/4

3 (CĐ_Khối A 2009)

a Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2−i)z=8+i+(1+2i)z Tìm phần thực, phần ảo của z.

b Giải phương trình sau trên tập số phức: z i

i z

i z

2 7

3

−

−

−

ĐS: a a=2, b=−3

b z=1+2i, z=3+i

4 Tìm số phức z thoả mãn: z− + =2 i 2 Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị

ĐS: z= −2 2− +(1 2 ,)i z= +2 2− −(1 2)i.

5 (ĐH_Khối B 2009)

Tìm số phức z thỏa mãn z−(2+i) = 10 và z.z =25

ĐS: z=3+4i hoặc z=5

6 Tìm số phức z thỏa mãn:

( ) ( )

1

3

1 2

z

z i

z i

z i

 − =

 −



 +



HD: Gọi z=x+yi; (1)⇒x=y, (2)⇒y=1.

ĐS: z=1+i.

7 Giải phương trình:

4 1

z i

z i

+

ĐS: z∈{0;1;−1}

8 Giải phương trình: z2 + =z 0

HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z.

ĐS: z∈{0;i;−i}

9 Giải phương trình: z2 + =z 0

HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z.

ĐS: z=0, z=−1, 1 3

z = ± i

10 Giải phương trình: 4 3 2 1 0

2

z

z −z + + z + =

HD: Chia hai vế phương trình cho z2

ĐS: z=1±i, 1 1

2 2

z= − ± i

11 Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.

HD: Đặt thừa số chung

z= − z= ± i z= − ± i

12 Cho phương trình: (z + i)(z2−2mz+m2−2m)=0 Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương

trình:

a Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b Chỉ có đúng 1 nghiệm thực c Có ba nghiệm phức

13 Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận α làm nghiệm biết:

a α = 2−5i b α = −2−i 3 c α = 3 -i 2

14 Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:

a z3−iz2−2iz−2 = 0 b z3+(i−3)z2+(4−4i)z−7+4i = 0.

15 (ĐH_Khối D 2009)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện z−(3−4i) =2.

ĐS: (x−3)2+(y+4)2=4

16 Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 z i− = − +z z 2i

ĐS: 2

4

x

y=

17 Trong các số phức thỏa mãn 2 3 3

2

z− + i = Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

HD: *Gọi z=x+yi 2 3 3

2

z− + i = ⇒ … ⇒( ) (2 )2 9

4

x− + y+ =

* Vẽ hình ⇒|z|min ⇒z.

ĐS: 26 3 13 78 9 13

18 Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:

a ( )

10

9

(1 i)

3 i

+

HD: Sử dụng công thức Moivre

ĐS: a Phần thực 1

16

− , phần ảo bằng 0, b Phần thực 0, phần ảo bằng 128

19 Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20

HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN.

ĐS: phần thực −210, phần ảo: 210+1

II ĐẠI SỐ TỔ HỢP

A LÝ THUYẾT

1 Giai thừa: n!= n.(n−1)!=n.(n−1).(n−2) … 3.2.1, n≥0.

2 Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: ( )!

!

k n

n

A k

n = − , n≥k>0.

3 Số tổ hợp chập k của n phần tử: !( )!

!

k n k

n

C k

n = − , n≥k≥0.

4 Quy ước n!=0!=1.

n n n n n n n

n n

n n

n n n

b C ab C b a C b

a C b a C a C b

a+ = 0 + 1 − 1 + 2 − 2 2 ++ − 2 2 − 2 + − 1 − 1+ Công thức số hạng tổng quát: T k+1 =C n k a n−k b k, 0≤k≤n.

B BÀI TẬP

1 (CĐ_Khối D 2008)

Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của

18 5

1 2







x

x , (x>0).

ĐS: 6528

2 (ĐH_Khối D 2004)

Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của

7 4







x

x với x>0.

ĐS: 35

3 (ĐH_Khối A 2003)

Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của

n

x









3

1

, biết rằng 1 3 7( 3)

4 − + = +

+

n

n

(n nguyên dương, x>0, ( C là số tổ hợp chập k của n phần tử) n k

ĐS: 495

4 (ĐH_Khối D 2005)

Tính giá trị biểu thức ( 1)!

3 3

4 1

+

+

n

A A

4

2 3

2 2

2

1 + + + + + + =

dương, k

n

A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và k

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử)

ĐS:

4

3

=

M

5 (ĐH_Khối A 2006)

Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của

n

x









4

1

, biết rằng 1

220 1 2

2

1

2

1

1

2 + + + + + n+ = −

n n

C  , (n nguyên dương và C là số tổ hợp chập k của n phần tử) n k

ĐS: 210

6 (ĐH_Khối D 2008)

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2 1 2048

2

3 2

1

2 + + + n− =

n n

n

C là số tổ hợp chập k của n

phần tử)

ĐS: n=6

7 (ĐH_Khối D 2007)

Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1−2x)5+x2(1+3x)10

ĐS: 3320

8 (ĐH_Khối D 2003)

Với n là số nguyên dương, gọi a3n−3 là hệ số của x 3n−3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n (x+2) n

Tìm n để a3n−3=26n.

ĐS: n=5

9 (ĐH_Khối D 2002)

Tìm số nguyên dương n sao cho C n0+2C1n+4C n2 + + 2n n C n =243

ĐS: n=5

10 (ĐH_Khối B 2008)

n

k n

k

C n

2

1

1 1 1

=







 + +

+

+ + +

(n, k là các số nguyên dương, k≤n, C là số tổ hợp chập k n k của n phần tử).

11 (ĐH_Khối B 2007)

Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x) n, biết:

3nCn −3n−1C n+3n−2C n−3n−3C n + … +(−1)n C n =2048 (n là số nguyên dương, C là số tổ hợp chập k của n n k

phần tử)

ĐS: 22

12 (ĐH_Khối B 2006)

Cho tập A gồm n phần tử (n≥4) Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A Tìm k∈{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.

ĐS: k=9

13 (ĐH_Khối B 2003)

n

n n

n

n C

C C

1

1 2 3

1 2 2

1

2

3 1

2 0

+

− + +

− +

−

k của n phần tử).

ĐS:

1

2

+

+

n

n n

14 (ĐH_Khối B 2002)

Cho đa giác đều A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O) Biết rằng số tam giác có các đỉnh

là 3 trong 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2…An, tìm n.

ĐS: n=8

15 (ĐH_Khối A 2008)

Cho khai triển (1+2x) n =a0+a1x+ … +a n x n , trong đó n∈N* và các hệ số a0, a1,…a n thỏa mãn hệ thức

4096 2

2

1

0 + a + +a n n =

a  Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…a n

ĐS: a8=126720

16 (ĐH_Khối A 2007)

Chứng minh rằng 1 12 1 23 1 25 1 22 1 22 1

n n

+

 , (C là số tổ hợp chập k của n phần n k

tử)

17 (ĐH_Khối A 2005)

Tìm số nguyên dương n sao cho 2.2 3.2 4.2 (2 1).2 2 1 2005

1 2 2 4

1 2 3 3

1 2 2 2

1 2

1 1

+ +

+ +

k

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử).

ĐS: n=1002

18 (ĐH_Khối A 2004)

Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1−x)]8

ĐS: 238

19 (ĐH_Khối A 2002)

Cho khai triển nhị thức

n x n n

n x x

n n

x n x n

n x n

n x x

C C

C C







 +















 + +















 +









=









−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

3

1 3 2

1 1 3

1 2

1 1 2

1 0 3

2

1

2 2

2 2

2 2

2

(n là số nguyên dương) Biết rằng trong khai triển đó C n3 =5C1n và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.

ĐS: n=7, x=4

20 Cho số phức z=1+i.

a Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i) n

b Tính các tổng S1=1−C n +C n −C n+… S2=C n −C n +C n −…

21 Chứng minh rằng C1000–C1002+C1004–C1006+ … –C10098+C100100=–250

−o0o−