Chứng minh N là số chính phương.. Chứng minh: trong 17 điểm có ít nhất hai điểm mà khoảng cách không vượt quá 1.. b Cho hình bình hành ABCD kẻ 17 đường thẳng bất kì thoả mãn chia ABCD th
Trang 1TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2008 -2009
BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh: a) n2 + 1 không chia hết cho 3 với bất kì số nguyên nào?
b) 3099 + 61100 chia hết cho 31?
c) 7120 – 1 chia hết cho 143?
d) 11n+2 + 122n+1 không chia hết cho 133 với bất kì số tự nhiên nào?
e) 43101 + 23101 chia hết cho 66?
1 2 3 n
S k k k k Chứng minh rằng: S 1 6
Bài 2: a) Cho: A 111 1 888 8 1 2n n Chứng minh A là số chính phương?
b) Cho: 111 15
n
A ; 111 19
n
B Chứng minh AB + 4 là số chính phương.
c) Cho: 111 1
n
2
1000 011 2
n
Chứng minh AB + 4 là số chính phương
d) Cho: 111 155 55 1
n n
N Chứng minh N là số chính phương
Bài 3: Chứng minh rằng:
a) Với ; ;a b c Z thoả:ab bc ca 1 thì: 2 2 2
a b c là số chính phương
b) Vớia Z thì:a1 a 2 a 3 a 41 là số chính phương
Bài 4: Chứng minh: Nếu n=1 và 2n +1 là các số chính phương thì n chia hết cho 24
Bài 5: a) Cho tam giác đều cạnh bằng 4 lấy 17 điểm bất kì Chứng minh: trong 17 điểm có ít nhất hai
điểm mà khoảng cách không vượt quá 1
b) Cho hình bình hành ABCD kẻ 17 đường thẳng bất kì thoả mãn chia ABCD thành hai hình
thang có tỉ số diện tích bằng 1/3 Có ít nhất bao nhiêu đường thẳng đồng qui (5 đường)
Bài 6: Cho A = p4 (p là số nguyên tố) Tìm p để tổng các ước dương của A là một số chính phương
Bài 7: * Tìm n N thoả:
a) 2n 24 27
là số chính phương b) n22n200 là số chính phương
c) n 2 1234 là số chính phương d) n3 n2 n 2 là một số nguyên tố
* Tìm x Z thoả: x x. 1 x 7 x 8 là số chính phương
Bài 8: Tìm x R và n N thoả:x2 2x 4n 2n 1 2 0
Bài 9: Tìm x N thoả:2x 8 3 4x 133 4x 2x 53
Bài 10: Cho:a4m8n9 ;p b m 4n4 ;p c m 7n8p Chứng minh rằng:
p m n a b c
Bài 11: Chứng minh rằng:x y 5 x5y5 x y hoặc x y 0
Bài 12: Cho a2 b2 1 Tính: A2a6 b63a4b4
Bài 13: Chứng minh rằng: M x x y x y x 2yy4là số chính phương với mọi ;x y Z
Bài 14: Chứng minh: (Sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp)
a) 1 2 3 4 1
2
n n
1 2 3 4
6
c) 1 3 5 2n1 n2 d) 13233343 n3 1 2 3 n2
e) 1.2 2.3 3.4 . 1 1 2
3
f) 1.1! + 2.2! + 3.3! +… + n.n! = (n+1)! – 1
Trang 2TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2008 -2009
Bài 15:Cho a0;b0;c0 Chứng minh:
3
a b a b
Bài 16: Cho a b 2 Chứng minh: a4b4 2
Bài 17: Cho n N n ; 2 Chứng minh: 2 2 2 2
2 3 4 n
Bài 18:Chứng minh:
a b a b với ;a b 0
với a;b; c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó
Bài 19: Cho a b c 1 Chứng minh: 1
2
ab bc ca
Bài 20:Chứng minh:
a) a2b2c2 ab bc ca b) a2b2c2d2 2a b c d
c) 3(a2b2c2)a b c 2
Bài 21: Cho a b c d 2 Chứng minh: a2b2c2d2 1
Bài 22: Chứng minh:
1x 1y 1x y Với x y ; 1 b) 2 2 2
1x 1y 1z 1x y z Với x y z ; ; 1
Bài 23:Cho *
n N Chứng minh:
n n
32n1 2 n2 2 n3 2 n1 4n1
Bài 26:Chứng minh:
b c a
Bài 27: Cho:a1a2a3 a n k Chứng minh: 2 2 2 2 2
n
Bài 28: Cho a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
b c c a a b
b) 1 ; 1 ; 1
b c c a a b củng là độ dài ba cạnh của một tam giác
c) a b c a2 b c a b2 c a b c2 3abc
a b c b c a c a b a b c
Bài 29: Cho ba số dương a;b;c Chứng minh rằng:
a) 1 1 1 9
a b c Với a + b + c =1
b c c a a b
Bài 30: Cho ; ;a b c0;a b c 3.Chứng minh rằng:
Trang 3TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2008 -2009
Bài 31: Tìm giá trị lớn nhất của :
a) A = x2 4x12 x2 2x3 b) C x y y
5 với x; y
c) G = xy + yz + zx với x + y + z = 3
Bài 32: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a) C = 2 1
1 x x Với 0 < x < 1 b) F = x2 + 2y2 + 3z2 -2xy + 2xz - 2x -2y - 8z + 2008 c) A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5
d) M x 2004 x 2005 HD: Xét M trong các khoảng: x 2004 ; 2004 x 2005 ; 2005 x
e) N 2x 12 3 2x 1 2 HD: Xét N trong các khoảng: ; 21
2
1
x x
Bài 33: a) Cho ba số a,b,c 0 Tìm GTNN của A b a c c b a a c b
b) Cho ba số a,b,c 0 và a2 b2 c2 1 Tìm GTNN của
b a
c a c
b c b
a B
3 3 3
(HD: Aùp dụng kết quả câu a với
2
1 2
2 2
b a
c c a c
b b c b
a a
3
3
b c
Bài 34: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức :
a) P = 222 7 3
2 10
7
1
x
d) A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5 e)
e) A = (x4 + 1)(y4 + 1) Biết x,y 0 và x + y = 10 (HD: Đặt xy = t)
Bài 35:Giải các phương trình sau:
a) x2 1y2 2z2 8 32xyz
b) x2 2x 3 x2 x 1x4 x2 4
y x xy
Bài 36: Cho ABCvuông cân có cạnh huyền BC a Các điểm D; E theo thứ tự thuộc các cạnh
AC
AB, Vẽ DH BC;EK BC,H,KBC Tính diện tích lớn nhất của tứ giác DEHK khi D; E
thay đổi vị trí trên các cạnh AB, AC
Bài 37:Cho đoạn thẳng AB và đường thẳng d song song với nhau Từ điểm M ( M và d khác phía đối
với AB ) sao cho các tia MA; MBtạo với d tam giác có diện tích nhỏ nhất
Bài 38:Giải các phương trình nghiệm nguyên;
a/ 2 2
x y x b/ 2 2 2
x y z xy x z c/ 2
x xy
d/ 3
x y z
g/ 3 3 3
x y z h/ 2 2
x y
Bài 39:Giải các phương trình nghiệm nguyên dương:
a/ x y z t x y z t b/ 1 1 1x yz 19951 c/ x y. z x. y z. 3
z y x
d/ x y 1 x y z e/ 2 2
19x 28y 729
g/ xy x 2y3 h/ 2 2 2
x y z xy yz z i/ 2 2
3
x xy y
j/ 6x2 5y2 74 k/ 2
x x x x y
l/ 2
x xy y x m/ 2 2
2x 2y 2xy x y 10 0
Bài 40:Chứng tỏ phương trình sau vô nghiệm: 3 3 3
2000
x y z x y z
Bài 41: Tìm số nguyên tố p sao cho 4p + 1 là số chính phương
Trang 4TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2008 -2009
Tìm số nguyên a lớn nhất để: T 427 410164a là một số chính phương
Tìm tất cả bộ ba số nguyên dương x; y; z thoả: 5xyz x 5y7z10
Tìm các số nguyên dương x; y; z thoả: 2xy1z x 1 y1