Tìm trên H điểm M sao cho tổng khoảng cách đến 2 trục tọa độ là nhỏ nhất.. Đờng vuông góc với tiếp tuyến của parabol tại P cắt parabol tại điểm thứ hai là Q.. Tìm tọa độ của P sao cho độ
Trang 1Bài tập Casio Bài 1.
Cho đồ thị (H):y x 1
x 1
−
= + Tìm trên (H) điểm M sao cho tổng khoảng cách đến 2 trục tọa
độ là nhỏ nhất
Bài 2.
∀ ∈Ơ đặt f(n) = ( n2 + n + 1)2 + 1 và ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
n
f 1 f 3 f 2n 1 a
f 2 f 4 f 2n
−
= Tính 2009a2008
Bài 3.
Trên parabol x2 = y cho điểm P không trùng với O Đờng vuông góc với tiếp tuyến của parabol tại P cắt parabol tại điểm thứ hai là Q Tìm tọa độ của P sao cho độ dài PQ là nhỏ nhất
Bài 4 Giải gần đúng phơng trình: x x2
e sin x 3 0
2
Bài 5.
Tính
Bài 6.
Trong tam giác ABC Các đoạn PQ, RS, TU
t-ơng ứng song song với AB, BC, CA Chúng cắt
nhau tại X, Y, Z (hình vẽ) Biết rằng mỗi đoạn
PQ, RS, TU chia tam giác ABC thành hai phần
có diện tích bằng nhau và diện tích tam giác
XYZ bằng 1 Tính diện tích tam giác ABC
Z Y
X A
P
Q
U
T
Bài 7.
Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất thỏa mẫn 2 tính chất sau:
a/ Có chữ số tận cùng bằng 6
b/ Nếu bỏ chữ số 6 ở cuối cùng và đặt chữ số 6 lên trớc các chữ số còn lại ta đợc một số gấp 4 lần số ban đầu
Bài 8.
Cho tứ diện ABCD có AB = 3, CD = 4, các cạnh còn lại đều bằng 5 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Bài 9.
Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm x, y thỏa mãn PT
x3 + 8x + 73y4 = x2 + 1680
Bài 10.
Cho hai đờng tròn (O1, R1) và (O2, R2) cắt nhau Biết rằng O2 nằm trên đờng tròn O1 và diện tích phần chung của hai hình tròn này bằng nửa diện tích hình tròn (O1, R1) Tính tỷ số
R1/R2
Trang 2Hớng dẫn giải.
Bài 1.
Gọi M(x,y) trên (H), đặt d M( ) x y x x 1
x 1
−
= + = +
+ Do M 1;0( ) ⇒d M( ) =1 nên ta chỉ xét trong trờng hợp x 1 0 x 1
y 1
<
⇔ < <
<
Khi đó d M( ) x 1 x x 1 2 2 2 2 2
−
Vậy min d(M) = 2( 2 1 khi) 0 x 1 1 x 2 1
x 1
x 1
< <
+
,
Tọa độ M( 2 1;1− − 2)
Bài 2.
Ta có f(n) = [(n2 + 1) + n]2 +1 = (n2 + 1)( n2 + 2n + 2) Từ đó
2
n
4n 4n 2 4n 1
a
Vậy 2009a2008 = 0,0002
Bài 3.
Gọi P(p; p2), Q(q; q2)
PT đờng PQ là 1 ( ) 2
2p
= − − + từ đó, hoành độ của Q là q p 1
2p
= − −
2
5
2p 1 4p 1 0 p
Vậy tìm đợc 2 điểm P lầ 1 1;
2 2
±
Bài 4
Đặt ( ) x x2
f x e sin x 3
2
= − + − Tính f’(x), f’’(x) và có f’(0)=0, f’’(x)>0 ∀ ∈x Ă nên f’(x) đồng biến trên R Bảng biến thiên:
x −∞ 0 +∞
f’(x) - 0 +
f(x) +∞ +∞
-2
PT có đúng 2 nghiệm x1, x2 với x1∈ −( 2;0), x2∈( )0;2 - KT bằng máy tính
Trang 3Giải bằng MT, ta có Kq x1 ≈ −1.9691; x2 ≈1,1736.
Bài 5.
*
Ơ
Vậy S 2007 1 1 2007,9995
2008
Bài 6
Đặt AB=x, theo gt ta có
2
PQ
Vì các tam giác PCQ, UTB, ASR
đồng dạng, cùng diện tích nên chúng
bằng nhau Do đó
2x x 2
PX YQ
2
x 2 4x 2x 2 3x 2 4x
XY
−
Z Y
X A
P
Q
U
T
Hai tam giác XYZ và ABC đồng dạng, nên
2 2
Bài 7.
Gọi số cần tìm là a a a 6 Theo bài ra 1 2 n 6a a a1 2 n =4 a a a 6 Đặt a a a a1 2 n = 1 2 n ta có
6.10 + =a 4 10a 6+ ⇒2 10 −4 =13a⇒10 −4 13M
Thử trực tiếp bằng máy với n = 1, 2, 3,…ta đợc n=5 Nh thế a = 15384 và số phải tìm là 153846
Bài 8.
Ta có EF là đoạn vuông góc
chung của AB và CD; Tâm O của
m/c ngoại tiếp ABCD nằm trên
EF Gọi R là bk m/c ngoại tiếp, ta
có 2 2 9 2 2
OE R ; OF R 4
4
EF2= AF2 – AE2= AD2-DF2-AE2
=25 9 4 75
− − = (*)
Mặt khác EF = EO + OF nên
2
4
= − + − ữữ
Từ (*), (**) ta có
2
R ≈10,1047⇒ ≈R 3.1788
F
E
A
B
C
D O
I
Trang 4Bài 9.
73
Dễ thấy − +x3 x2 −8x 1 0+ < ∀ ≥ ⇒ ≤x 1 0 y4 ≤23⇒ =y 0, 1, 2
Dùng máy tính thử với y = 0, 1, 2 ta đợc các giá trị (x, y) = (12; 0), (8; 1)
Bài 10.
Gọi x (rad) là số đo góc O1O2A,
0 x
2
π
< <
từ đó R2= 2R1cosx.
Dt(qO2AB) = 2 2 2
R x 4R x cos x= Dt(O2mA) = =
2
1
1
2x R sin 2x
2 π − − 2 π −
Diện tích phần chung của hai đờng tròn là
S =
4R x cos x R+ π −2x −R sin π −2x
Theo bài ra ta có
A
m
x
R2
R1
B
K
1 4R x cos x R 2x R sin 2x R
2
4x cos x 2x sin 2x 2x cos2x sin 2x 0 0 x
Dùng máy tính giải gần đúng PT, ta đợc x và từ đó tìm đợc 1
2
0,8630
R =2 cosx ≈