Phương trình mũ - GT 12

GV: NGUYỄN VĂN QUÝ... BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1.. Phương trình mũ cơ bản I... Phương pháp lôgarit hoá:Để giải phương trình dạng hoặc dạng ta lấy lôgarit hai vế với

GV: NGUYỄN VĂN QUÝ

KIỂM TRA BÀI CŨ

Câu 1: Hãy nêu các tính chất của luỹ thừa với số mũ thực ?

Câu 2: Tìm giá trị của x thoả mãn: a)

b)

3x = 27

Hướng dẫn

b)

g) Nếu a >1 thì Nếu a<1 thì

,

α β

Câu 1: Các tính chất của luỹ thừa với số mũ thực là:

Cho a,b là các số thực dương và là các số thực tuỳ ý Khi đó ta

có:

a) c)

d)

.

a aα β = aα β+

( ) ( ) aα β = aβ α = ( ) a αβ

a

a a

α

α β β

−

= ( ) a b α = a bα. α

α α

α

  =

 ÷

 

0 1; a1

aα > aβ ⇔ α β >

aα > aβ ⇔ α β <

1

8 2

x

  =

 ÷

 

3

3x = 27 ⇔ 3x = ⇔ = 3 x 3 Câu 2: a)

b) 1 3

8

x = ⇔ x = − ⇔ = − x

Hãy tìm cách giải tổng quát của phương trình

ax = b ?

BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1 Phương trình mũ cơ bản

I Phương trình mũ

Ví dụ 1: Tìm các phương trình mũ trong các phương trình sau:

Trả lời Trả lời

2

) 2 3 d) e 1 ) 3 2 e) 1 ) 4 3 1 f) x 3

x x

a b c

π







loga b aα b

⇒

⇒

Là pt mũ cơ bản

Không là pt mũ cơ bản

log

x

a

a = ⇔ = b x b

Định nghĩa:Là pt có dạng ax = b (1) ( a > 0; a ≠ 1 )

Hãy nhắc lại

định nghĩa lôgarit ?

Thay trong biểu thức trên bởi x

ta được gì ?α

Định nghĩa phương trình mũ: là phương trình có chứa ẩn ở mũ

Ví dụ:

) 2x 3x 5

c + =

) 9x 2.3x 3 0

a + − = d ) x3 = 5 ) 2x 5



 ⇒



không

là pt mũ

Từ minh hoạ bằng đồ thị trên ta có phương pháp sau giải phương trình (1):

log

x

a

a = ⇔ = b x b

0

b ≤

loga

0

b >

Ví dụ 2: Giải phương trình:

Tức là phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

+ Nếu thì

+ Nếu thì phương trình vô nghiệm

( )

2x+ + 2x− = 15 *

Hướng dẫn:

( ) * 2.2 1 2 15

2

2) Cách giải một số phương trình mũ đơn giản

a) Đưa về cùng cơ số

( ) ( ) ( ) ( )

2

x=log 6

⇔

5

2

x

Tập xác định: R

Vậy phương trình có nghiệm x=log 62

Tổng quát

f x

a

f x

Đặc biệt: ax = aα ⇔ = x α

Phương pháp:

⇔ − = − −

1

x

⇔ =

Hướng dẫn

Đưa về cùng cơ số 3/2 ta có:

Vậy pt có nghiệm duy nhất x =

1

Tập xác định: R

  =  

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Đưa về cùng cơ số

Bước 3: Đưa về 2 số mũ bằng nhau:

sau đó giải tiếp pt này và tìm x Bước 4: Kết luận nghiệm

Ví dụ 4: Giải phương trình 2x+1 + + 2x 2x−1 = 28

Hướng dẫn:

TXĐ: R

Đưa về cùng cơ số 2 ta có: 1

2

2

x

3

Ví dụ 3: Giải phương trình: ( ) 5 7 2 1

1,5

3

x

−  

=  ÷  

} }

b) Đặt ẩn phụ:

Ví dụ 5: Giải phương trình sau: 9x − 4.3x − 45 0 =

Hướng dẫn:

Tập xác định: R

Đặt t = 3x Điều kiện: t > 0

2 4 45 0

t − t − =

9

t

⇔ =

9 5

t t

=



⇔  = − 

2

x

⇔ =

Ta có phương trình

(Thoả mãn) (Loại)

3x 9

Vậy phương trình có nghiệm x = 2

Phương pháp:

Bước 1: Tìm TXĐ

Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều

kiện của ẩn phụ nếu có Từ đó

ta có phương trình đại số ẩn t

Bước 3: Giải phương trình với

ẩn phụ tìm giá trị t thoả mãn điều kiện

Bước 4: Từ đó tìm x theo t

Bước 5: Kết luận nghiệm

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

} }

Ví dụ 6: Giải phương trình 1 2

2

x + =x

Hướng dẫn Tập xác định: R

Đặt t = 2x

2

1

2 t + = t

0

t >

2 2 8 0

⇔ + − =

ĐK: Ta có phương trình

2 4

t t

=



⇔  = − 

2

t

⇔ =

2x 2

⇒ =

(Thoả mãn) (Loại)

1

x

⇔ =

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

Bài toán sẽ giải như thế nào nếu các biểu thức mũ không thể đưa

về cùng cơ số ?

c) Lôgarit hoá:

Hướng dẫn:

Lấy lôgarit hai vế theo cơ số 3 hai vế ta có

( 2 )

⇔ + =

2

3

log 2 0

x x

⇔ + =

Tập xác định: R

3

x x

⇔ + =

3

0

x x

=



⇔  +  =

3

0 1 log 2

x x

=





⇔  = −



2

0 log 3

x x

=



⇔  = − 

Vậy nghiệm của phương trình

Ví dụ 8: Giải phương trình 2x2− 1 = 3x+ 1

log 2x − = log 3x+

( x 1 ) ( x 1 ) ( x 1 log 3 ) 2

2

2

⇔ − = +

Hướng dẫn

Txđ: R

Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ta có

( x 1 ) ( x 1 log 32 ) 0

2

1

1 log 3

x x

= −



Phương pháp lôgarit hoá:

Để giải phương trình dạng hoặc dạng ta lấy lôgarit hai vế với cơ số bất kì Nhưng thông thường ta nên lấy lôgarit với cơ số a hoặc b

( ) ( )

f x g x

( ) ( )

f

.

x g x

a b = c

Cụ thể như sau:

f x

a = b < ≠ a ⇔ f x ( ) = loga b

a)

Tóm tắt bài học:

Học sinh cần nắm chắc các kiến thức cơ bản sau:

2) Các cách giải phương trình mũ đơn giản

1) Định nghĩa phương trình mũ và trình mũ cơ bản

a) Đưa về cùng cơ số

) A x B x

( ) ) a f x

b

b) Đặt ẩn phụ:Đặt t = ax với điều kiện dẫn tới 1 phương trình đại số.Giải ra tìm t từ đó suy ra x

0

t >

c) Lôgarit hoá: Lâý lôgarit hai vế với cơ số nào đó đưa pt mũ

về phương trình đại số

HOẠT ĐỘNG CỦNG CỐ

Bài 1:Giải các phương trình sau:

Bài 2: Tìm phương pháp giải phù hợp cho các phương trình

sau: 2 4 2

Hướng dẫn:

3

t

t

=



x x

x x

2

2

2 5 1

2 1

a − =

⇒

⇒

⇒

PP lôgarit hoá

PP Đặt ẩn phụ

PP Đưa về cùng cơ số