Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó d.. Viết phương trình mặt phẳng g đi qua các điểm A, B và vuông góc với mặt phẳnga.. Viết phương trì
Trang 1Phơng pháp tọa đọ trong không gian Bài 1 hệ tọa độ trong không gian
Bài tập 1 Trong Oxyz, cho 4 điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1).
a) Tỡm tọa độ và độ dài của cỏc vectơ sau: uuur uuur uuur uuur rAB BC CD CD u, , , , = 2uuurAB−3CDuuur−4uuurDA b) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Tỡm tọa độ của M, N,
P, Q.
c)Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giỏc Tỡm tọa độ trọng G tõm của
∆ABC.
d) Tỡm tọa độ điểm E sao cho tứ giỏc ABCE là hỡnh bỡnh hành Tớnh diện tớch của hỡnh bỡnh hành ABCE.
e) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D khụng đồng phẳng Tớnh thể tớch của tứ diện ABCD.
f) Tớnh tớnh độ dài đường cao hạ từ cỏc đỉnh tương ứng của tứ diện ABCD.
g) Tỡm cụsin gúc tạo bởi cỏc cạnh đối diện của tứ diện
h) Tỡm tọa độ điểm B’ đối xứng với B qua điểm D.
i) Tỡm tọa độ của điểm K nằm trờn trục Oz để ∆ADK vuụng tại K.
Bài tập 2 Cho 3 điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4) và C(x; y; 6) Tỡm x, y để A, B, C thẳng
hàng
Bài tập 3 Trong khụng gian Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;0 ,) (B −1;2;1 ,) (C 2; 1;3− )
a) Tỡm tọa độ hỡnh chiếu của cỏc điểm A, B, C trờn cỏc trục tọa độ, trờn cỏc mặt tọa
độ
b) Tỡm tọa độ của cỏc điểm đối xứng với A (B, C) qua cỏc mp tọa độ
c) Tỡm tọa độ của cỏc điểm đối xứng với A (B, C) qua cỏc trục tọa độ.
d) Tỡm tọa độ của điểm đối xứng với A (B, C) qua gốc tọa độ
e) Tỡm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua C.
Bài tập 4 Trong kg Oxyz, cho 3 điểm A(1;2;1 ,) (B 5;3;4 ,) (C 8; 3;2 − ).
a) CMr: ∆ABC vuụng tại B.
b) Tớnh diện tớch của ∆ABC
c) Tớnh bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp ∆ABC
d) Tớnh bỏn kớnh đường trũn nội tiếp ∆ABC
Bài tập 5 Trong kg Oxyz, cho 3 điểm A(1;0;0 ,) (B 0;0;1 ,) (C 2;1;1) Tớnh cỏc gúc của
∆ABC
Bài tập 6 Trong kg Oxyz, cho 4 điểm A(1; 1;1 , − ) (B 1;3;1 ,) (C 4;3;1 ,) (D 4; 1;1 − )
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là cỏc đỉnh của một hỡnh chữ nhật
b) Tớnh độ dài cỏc đường chộo, xỏc định toạ độ của tõm hỡnh chữ nhật đú
c) Tớnh cụsin của gúc giữa hai vectơ uuurAC và uuurBD
Bài tập 7 Trong kg Oxyz, cho hỡnh hộp ABCD.A’B’C’D’, biết ( 1;1;2 , 1;0;1 ,) ( ) ( 1;1;0 , ' 2; 1; 2) ( )
Trang 2Bµi tËp to¸n h×nh gi¶i tÝch_12
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp
b) Tính diện tích toàn phần của hình hộp
c) Tính thể tích V của hình hộp.
d) Tính độ dài đườngcao của hình hộp kẻ từ A’.
Trong kg Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A x y z C x y z( 1 1 1; ; ,) ( 3 3 3; ; ,) ( , , ,)
2 2 2 ' ; ; ,
B x y z
4 4 4
' ; ;
D x y z Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp
Bài tập 8 Trong kg Oxyz, cho 4 điểm A(5;3; 1 ,− ) (B 2;3; 4 ,− ) (C 1;2;0 ,) (D 3;1; 2− )
a)CMr: a1/ 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
1 Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc.
2 Hình chóp D.ABC là hình chóp đều.
b) Tìm tọa độ chân đường cao H của hình chóp D.ABC
Bài tập 9 Trong kg Oxyz, cho 4 điểm A(1;0;0 ,) (B 0;1;0 ,) (C 0;0;1 ,) (D − 2;1; 2 − )
a)CMr 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện.
b) Tìm góc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện
c)Tính thể tích của tứ diện (Theo 4 công thức)
d) Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ A.
e)Tìm M∈Oz sao cho 4 điểm M, A, B, C đồng phẳng.
f) Tìm N∈Oy sao cho ∆NAD vuông tại N.
g) Tìm P∈Oxy sao cho P cách đều 3 điểm A, B, C
Bµi 2 ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng Bài t p 1 ậ Trong kg Oxyz, cho M(1;−3;1).
a) Viết pt mặt phẳng (α) qua M và có VTPT nr=(2; 1;1− )
b) Viết pt mặt phẳng (β) qua M và véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (β) vuông góc với 2 véc-tơ uuur1 =(1;0; 2− ) và uuru2 = − −( 1; 3;4)
Bài t p 2 ậ Trong Oxyz, cho A(3;2;1), B(−1;0;2), C(1;−3;1).
a) Viết pt mặt phẳng (ABC).
b) Viết pt mặt trung trực của đoạn AB.
c) Viết pt mp qua A và vuông góc với BC.
d) Viết pt mp qua B và vuông góc với Oz.
e) Gọi A1, A2, A3 lần lượt là hình chiếu của A trên các trục Ox, Oy,Oz Viết pt mặt phẳng (P) qua A1, A2, A3
Bài tập 3 Trong kg Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;0 ,) (B − 1;2;1 ,) (C 2; 1;3 − )
a) CMr: A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b) Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c) Tìm M sao cho uuurAM+2uuurBA=3CMuuur
d) Viết pt mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng BC.
Trang 3Bài t p 4 ậ Trong kg Oxyz, cho A(0; 2; 0) và mặt phẳng (α): 2x+3y− − =4z 2 0 a) Viết pt mp (β) qua A và song song với mặt phẳng (α)
b) Viết pt mp ( g) qua OA và vuông góc với mặt phẳng (α)
Bài t p 5 ậ Trong kg Oxyz, cho A(−1;1;2), B(0;−1;3) và mặt phẳng
(α): 3 x − 2 y z + + = 4 0 Viết pt mặt phẳng (β) qua A, B và vuông góc với mặt phẳng
(α)
Bài t p 6 ậ Trong Oxyz, cho A(2;3;0) Viết pt mặt phẳng (α) qua A, song song Oy và
vuông góc với mặt phẳng (β): 3x y− + 4z+ = 6 0
Bài t p 7 ậ Trong Oxyz, cho A(1; -1;-2), B(3; 1; 1) và (α): x – 2y + 3z -5 = 0 Viết pt
mặt phẳng (β) qua A, B và (β) ⊥(α)
Bài t p 8 ậ Trong Oxyz, cho (α): 3 x − 2 y z + + = 4 0, (β): 3x y− +4z+ =6 0 Lập
pt mặt phẳng (γ) qua giao tuyến của (α), (β) và qua A(2;1;−1)
Bài t p 9 ậ Trong Oxyz, cho (α): x y z+ − + =4 0, (β): 3x−2y z+ − =1 0 Lập pt mặt phẳng (δ) qua giao tuyến của (α), (β) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (γ):
2x− + − =3y z 1 0
Bài t p 10 ậ Lập pt mp đi qua gốc tọa độ và vuông góc với 2 mp:(α):
7 0
x y z− + − = , (β): 3x+ 2y− 12z+ = 5 0
Bài tập 11 Trong Oxyz, cho A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) và D(-1; 1; -2).
a Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC.
b Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c Viết phương trình mặt phẳng (β) qua B và song song với (α): 3x – 2y + z +7 = 0
d Viết phương trình mặt phẳng (P) qua AC và song song với BD.
e Tính S∆ABC
f Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
g Tính VABCD
h Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD.
Bài tập 12 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; -1; 1), B (-2; 1; 3), C (4; -5;
-2) và D (-1; 1; -2).
a Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua B.
b Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Suy ra ABCD là một tứ diện
c Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm và bán kính của
nó
d Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
e Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD
f Tính góc giữa AB và CD.
Bài tập 13 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; -1; -2), B(3; 1; 1) và mặt
phẳng (a) :x - 2y - 2z - 5 = 0
a Viết phương trình mặt phẳng ( b) song song với mặt phẳng( a) và cách ( a) một khoảng bằng 5
Trang 4Bµi tËp to¸n h×nh gi¶i tÝch_12
b Viết phương trình mặt phẳng ( g) đi qua các điểm A, B và vuông góc với mặt
phẳng(a)
c Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Bài tập 14 Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2;
3) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy)
Bài tập 15 Viết phương trình mặt cầu đi qua 2 điểm A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) và có
tâm thuộc trục Oz.
Bài tập 16 Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1;
2), D(2; 2; 1).
Bài tập 17 Cho mặt mặt phẳng (a) : 3x - 2y + 6z + 14 = 0 và mặt cầu
(S) :x2 + y2 + z2 - 2(x y z+ + ) - 22 = 0 Chứng minh rằng(a) cắt (S) theo một đường tròn (C) Xác định tâm và bán kính của (C)
Bài tập 18 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (3; 0; 1), B (2; 1; -1), C (0; -7;
0) và D (2; -1; 3).
a Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với CD
b CMr bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
c Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và song song với CD.
d Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm và bán kính của
nó
e Tính thể tích khối tứ diện ABCD
f Tính góc giữa các vectơ A Cuuur và BDuur
g Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MAuuur + MBuuur + MCuuur + MDuuur = 8
Bài tập 19 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (5; 0; 4), B (5; 1; 3) và mặt
phẳng ( a) :x - 2y + 3z - 6 = 0
a Viết phương trình mặt phẳng ( b) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng( a)
b Viết phương trình mặt phẳng ( g) đi qua các điểm A, B và vuông góc với mặt
phẳng( a)
c Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với ( a)
d Tìm các giao điểm A, B, C của ( a với các trục Ox, Oy, Oz Tính thể tích khối tứ )
diện OABC
Trang 5Bài 3 phơng trình đờng thẳng
Bài t p 1 ậ Lập pt tham số của đường thẳng (đt) ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) ∆ qua 2 điểm A(2;−3;5) và B(1;−2;3)
b) ∆ qua điểm A(1;−1;3) và ssong với BC, biết B(1;2;0), C(−1;1;2)
c) ∆ qua điểm A(−1;0;2) và ∆ vuụng với mp(α): x y z− + − =7 0
d) Tỡm ptct của ∆ biết ∆ cú phương trỡnh tham số là: 1
2
x t
y t z
=
= −
= −
e) Tỡm phương trỡnh tham số của ∆ biết ∆ cú ptct là: = − = +
−
Bài tập 2 Cho 2 điểm A(-1; 6; 6), B(3; -6; -2) và C(x; y; 6) Tỡm điểm M thuộc
mp(Oxy) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Bài t p 3 ậ Lập pt mp qua điểm A, và đt ∆ , biết A(4;−2;3), ∆: 1 2 2
x− = y+ = z−
Bài tập 4 Cho
=
= − +
= −
16
x t
−5= −2 = −3 ' :
d’.Viết ptmp chứa d và d’.
Bài tập 5 Cho
= +
= −
= −
5 2
5
và
= +
= − −
= −
3 2 '
CMr: d)/d’ Viết ptmp chứa d và d’.
Bài tập 6 Cho
=
= +
= +
6 3
x t
và
= +
= − +
= −
a CMr: d và d’ chộo nhau.
b Lập pt mp qua O và song song với d và d’.
Bài t p 7 ậ Lập pt mp(α) chứa đt ∆:
=
= +
=
4 3 7 2 2
z t
và vuụng gúc với mp(P):
x− y z+ + =
Bài tập 8 Cho A(3;2;1) và đt d: = = +3
a) Viết pt mp (α) đi qua A và chứa d
Trang 6Bµi tËp to¸n h×nh gi¶i tÝch_12
b) Viết pt đt d’ qua A, vuông góc d, và cắt d.
Bài t p 9 ậ Cho d: 1 1 2
x+ = y− = z− , (P):x y z− − − =1 0 Viết ptct của đt ∆ qua
A(1;1;−2), ∆ // (P) và ∆ ⊥ d.
Bài t p 10 ậ Viết ptđt ∆ qua A(0;1;1), ∆ ⊥ d1: 1 2
x− = y+ = z
và cắt d2:
= −
= +
= +
1 1
2
x
Bài tập 11 Viết ptct đt qua M(1;5;0) và cắt cả 2 đt d1:
=
= −
= − +
1 1 1
4
1 2
x t
và d2:
= −
= +
=
2 2 2
2 3 3
Bài tập 12 Cho đường thẳng d:
= +
= +
= +
12 4
9 3 1
và mp(P): 3x+5y z− − =2 0.
a) Tìm toạ độ giao điểm của d và (P)
b) Viết ptmp (P’) qua M(1; 2; -1) và vuông góc với d Tính khoảng cách từ M đến d c) Viết pt hình chiếu d’ của d lên mp(P).
d) Tính góc giữa d và (P)
e) Cho điểm B(1; 0; -1), hãy tìm tọa độ điểm B’ sao cho (P) là mp trung trực của đoạn
thẳng BB’.
f) Viết ptđt ∆ nằm trong (P) vuông góc và cắt d
Bài t p 13 ậ Cho d:
=
= − +
= −
11 2 16
x t
(t∈ ¡ ) và ∆: 5 2 6
x− = y− = z−
a) Tìm VTCP của d.
b) CM d và ∆ cùng nằm trong một mp Viết pt mp đó Tìm giao điểm I của d và ∆.
Bài tập 14 Cho 2 đt d1: 1 1 3
x+ = y− =z−
− và d2:
x = y− = z+
a) Hãy xét vị trí tương đối của d1, d2
b) Tìm tọa độ giao điểm I của d1, d2
c) Lập phương trình tổng quát của mp chứa d1, d2
Bài tập 15 Cho 2 đường thẳng d1: 2 3 4
x− = y− = z+
− và d2:
x+ = y− = z−
Tìm ptct của đường vuông góc chung của 2 đt d1, d2 Tìm tọa độ giao điểm H, K của d lần lượt với d1, d2
Trang 7Bài tập 16 Cho 2 đt chéo nhau có pt là m:
1
4 2 3
x
=
= − +
= +
3
3 2 2
x u
z
= −
= +
= −
a) Tình khoảng cách giữa 2 đt m, n.
b) Viết pt đường vuông góc chung của 2 đt m, n.
Bài tập 17 Cho 2 đt d:
2 1 2
z t
= +
= −
=
và d’:
= −
=
=
2 2 ' 3 '
y
z t a) Cm d, d’ chéo nhau Tính khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau.
b) Lập pt đường vuông góc chung của d, d’ Tìm tọa độ giao điểm của đương vuông góc chung với d, d’.
c) Viết phương trình tổng quát của mp cách đều d và d’.
Bài tập 18 Cho 3 đt d1: 2 2 1
x− = y+ = z−
x− = y− = z−
− ; d3:
x+ = y+ = z−
− − Lập pt đt d cắt d1, d2 và ssong với d3
Bài tập 19 Hãy viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(0,1,1) vuông góc
với đường thẳng
1 1
2 3
x− = + = và cắt đường thẳng
1 1 3
x
= −
= +
= +
Bài tập 20 Trong kg Oxyz, cho 2 đường thẳng d và d’ lần lượt có các pt
:
−
1 2 ' : 2
3
= +
= +
= −
và mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2-
2x - 4y + 2z - 6 = 0.
a) Chứng minh d và d’ chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với đường thẳng d.
c) Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’ Tìm toạ độ các chân
đường vuông góc chung ấy
d) Tính khoảng cách từ điểm M(1,2,3) đến đường thẳng d’.
e) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm N(-1,0,1).
Bài tập 21 Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng
1
9 2
3 1
7 :
−
=
−
=
x
3
1 2
1 7
3 :
2
−
−
=
−
=
−
x
của d1 và d2
Trang 8Bµi tËp to¸n h×nh gi¶i tÝch_12
Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu: x2 + y2 + z2 - 10x + 2y + 26z - 113 =
0 và song song với 2 đường thẳng
2
13 3
1 2
5 : 1
+
=
−
−
=
x
d + = + = −
−
Bài tập 22 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng ( ∆ ), ( ∆ ' ) lần
lượt có phương trình
3
4
z
= +
=
,
2 ' :
2 2
y t
= − +
= +
a) Chứng minh rằng: ( ∆ ), ( ∆ ' ) chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa ( ∆ ), ( ∆ ' )
c) Viết phương trình đường vuông góc chung giữa ( ∆ ), ( ∆ ' )
Bài tập 23 Thiết lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d:
4 1
1 1
x = + =
−
−
và tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z -67 = 0.
Bài tập 24 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2-2x-6y-4z=0
1.Xác định tâm và bán kính mặt cầu
2.Gọi A, B,C là giao điểm (khác O) của (S) với các trục Ox, Oy, Oz Tính khoảng
cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (ABC)
( )P : 2x+2y z m+ − 2 −3m=0(m tham sè) và mặt cầu
( ) ( ) (2 ) (2 )2
S x− + +y + −z = Tìm m để (P) tiếp xúc với (S) Với m vừa
tìm được, hãy xác định tọa độ của tiếp điểm của (P) và (S)
Bài tập 26 Trong không gian cho Oxyz, cho 2 đường thẳng: 1
3
x
z t
=
= −
=
,
2
1 2 '
1 2 '
= −
= +
= +
a)Chứng minh rằng d1 không cắt d2 nhưng d1 vuông góc d2
b) Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa d1, ( α ) vuông góc d2, mặt phẳng( β ) chứa
d2 và ( β )vuông góc d1
c)Tìm giao điểm của d2 và ( α ) , d1 và ( β ) Suy ra phương trình mặt cầu có bán kính
nhỏ nhất tiếp xúc với d1, d2
Bài tập 27 Cho mặt phẳng ( α ): 6x+3y+2z-6=0
a) Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A(1,1,2) lên mặt phẳng ( α )
b) Tìm toạ độ điểm đối xứng A’ của A qua ( α )
Bài tập 28 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 6x + 4y - 2z - 86 = 0 và mặt phẳng ( α ): 2x
- 2y - z + 9 = 0.
a) Định tâm và bán kính mặt cầu
Trang 9b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua tâm mặt cầu và vuông góc với ( α ).
c) Chứng tỏ ( α ) cắt mặt cầu (S) Xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyến.
Bài tập 29 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) qua đi gốc toạ độ O và 3 điểm
A(2,0,0), B(0,-1,0), C(0,0,3).
a Xác dịnh tâm và bán kính mặt cầu (S)
b Lập phương trình mặt phẳng ( α ) qua A, B, C.
c Lập phương trình đường tròn giao tuyến của (S) và ( α ) Tính bán kính đường tròn này
Bài tập 30 Cho đường thẳng
1
1 3
9 4
12 : ) ( x− = y− = z−
3x+5y-z-2=0
a) Chứng minh (d) cắt ( α ) Tìm giao điểm của chúng.
b) Viết phương trình mặt phẳng ( β ) qua M(1;2;1) và ( β ) ⊥d
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng ( α ).
Bài tập 31 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1
3
x t
z t
= +
∆ = − +
= −
và
5
4 1
3 2
1 :
2
−
=
+
=
−
−
a.Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai đường
thẳng ∆ 1 , ∆ 2
b.Viết phương trình mặt phẳng song song với 2 đường thẳng ∆ 1 , ∆2và cách đều
1
∆ , ∆ 2
Bài tập 32 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng ( α ): 3x - 2y +
5z + 6 = 0
a Chứng tỏ A nằm trên ( α ).
b Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và d ⊥ ( α )
c Tính sin của góc tạo bởi OA và ( α ).
Bài tập 33 Trong không gian Oxyz, cho A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1), D(5;3;-1).
a Viết phương trình của mặt phẳng (ABC).
b Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
c Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC).
Bài tập 34 Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A, B, C, D có toạ độ xác định bởi các
hệ thức: A(2;4;-1), OB→ =→i+4→j−→k, C=(2,4,3), OD→ =2→i+2→j−→k
a Chứng minh rằng AB⊥ AC, AC ⊥ AD, AD⊥ AB.Tính thể tích khối tứ diện
ABCD.
b Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung ∆ của hai đường thẳng
AB và CD Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (ABD).
c Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D Viết phương trình tiếp
diện ( α ) của mặt cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD).
Trang 10Bµi tËp to¸n h×nh gi¶i tÝch_12
Bài tập 35 Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho 4 điểm: A(0;1;0), B(2;3;1),
C(-2;2;2), D(1;-1;2).
a Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện Tính thể tích tứ diện đó.
b Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 3 điểm B, C, D Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho OM + AM nhỏ nhất.
c Gọi (S) là mặt cầu tâm A tiếp xúc mp (P) Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt cầu (S)
và mp (P)
BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập 1 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D
b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1, CD1, A1D1 Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1N
Bài tập 2 Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC);
AC = AD = 4 cm ; AB = 3 cm; BC = 5 cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD)
Bài tập 3 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D
b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1, CD1, A1D1 Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1N
Bài tập 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
+ = = +
−
và mặt phẳng (P) : 2x y z+ − − =5 0
a) Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại A Tìm tọa độ điểm A
b) Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua A , nằm trong (P) và vuông góc với (d)
Bài tập 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) và hai mặt phẳng
(P) :2x y− + + =3z 1 0 và (Q) : x y z + − + = 5 0
a) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q)
b) Viết phương trình mặt phẳng ( R ) đi qua giao tuyến (d) của (P) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (T) : 3x y− + =1 0
Bài tập 6 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng
(P): 2x - y + 2 = 0 và đường th ng dẳ m: ( ) ( )
= + + + +
=
− +
− + +
0 2 4 1 2
0 1 1
1 2
m z m mx
m y m x
m
Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P)
Bài tập 7 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz, cho hai mặt
phẳng (P): x - y + z + 5 = 0 và (Q): 2x + y + 2z + 1 = 0 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại M(1; - 1; -1)
Bài tập 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :
+ = + = −
và mặt phẳng (P) : x + 2 y z − + = 5 0
a Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P)