chuyên đề thể tích trong hình học không gian

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH Bài 1 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B,cạnh SAABC... Cho hình vuông ABCD có cạnh a, các nửa đường thẳng Ax và Cy vuông góc với mặt phẳng ABC

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH Bài 1

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B,cạnh

SA(ABC) Từ A kẻ ADSB và AE SC Biết AB = a, BC = b, SA = c.Tính thể tích của khối chóp S.ADE?

 Phân tích - tìm lời giải

AD,AE là các đường cao trong tam giác SAB,SAC

Tính đường cao:

ABC vuông tại B nên ABBC

Giả thiết cho : SA(ABC)  SABC BC(ABC)ADBC

AD là đường cao trong tam giác SAB

Diện tích tam giác ADE:

DE = AE2AD2 =

2 2

c b(a b c ).(a c )

3

b.c(c a b )(a c ).VSABC

=

3

b.c(c a b )(a c ).

Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh

a.Cạnh SA(ABC), góc BAC 120 0 Tìm thể tích của khối chóp S.ABC?

A

B

C D

S

 Trình bày lời giải:

Xét hai tam giác vuông SAB và SAC có:

SA chung

SB = SC

=> SAB = SAC (c.c) => AB = AC => ABC là tam giác cân

Gọi D là trung điểm của BC ta có :

tan CAD = CD

AD => AD =

2 3tan CADDiện tích đáy:

2 ABC

SD là đường cao trong tam giác đều SBC cạnh a nên : SD = a 3

 Tổng quát hóa ta có bài toán sau:

Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, góc

0BAC (0  90 ) Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a và ?

Một cách hoàn toàn tương tự ta có lời giải như sau:

SD tại N Tính thể tích của khối chóp S.ABMN?

 Nghiên cứu lời giải

Gọi V1 là thể tích khối đa diện nằm dưới (ABMN): V1 = VS.ABMN

Khi đó:

VS.ABCD = VS.ABMN + VABCMN hay V = V1 + VS.ABMN

Bài 4

Cho hình vuông ABCD có cạnh a, các nửa đường thẳng Ax và Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía so với mặt phẳng đáy Lấy điểm MA trên Ax, lấy NC trên Cy Đặt AM = m ; BN = n

Tính thể tích của khối chóp B.AMNC theo a, m, n?

 Trình bày lời giải

Theo giả thiết ta có: CN(ABCD)  CNCB, O là tâm đáy nên

OBAC  OB(ACMN)hay OB là đường cao

 Nghiên cứu lời giải

Nhận thấy do AM AB, AMAD, ABAD nên ta đưa vào hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A(0;0;0), B(a;0;0), M(0;0;m), D(0;a;0) từ đó ta xác định được tọa độ đỉnh C(a;a;0) sau đó áp dụng công thức tính thể tích của khối hộp: 1

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Cạnh

SA(ABC), SA = 2a Gọi M, N là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC Tính thể tích của khối chóp ABCMN?

B C

S

 Trình bày lời giải

Xét SAB và SAC có AB = AC, SA chung, A = 0

90  SAB = SAC  SB =SC  mặt bên SBC là tam giác cân

Áp dụng định lý đường cao trong các tam giác SAB và SAC ta có:

AB.ASAM





= 2a5

V

1625

 VS.AMN = 16

25 VS.ABC =

38a 375Thể tích :

VABCNM= VS.ABC- VS.AMN=

3

6 -

38a 3

75 =

3

50 (đvtt)

 Nghiên cứu lời giải

Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp tọa độ bằng việc đưa vào

hệ trục tọa độ Oxyz trong đó A(0;0;0), B(a;0;0), S(0;0;2a) Ta xác định được tọa độ của C, M, N, sau đó sử dụng công thức sau:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.DEF có BE = a, góc giữa đường thẳng

BE với mặt phẳng (ABC) bằng 60 Tam giác ABC vuông tại C, góc 0

0

60 BAC, hình chiếu vuông góc của E lên (ABc) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích của tứ diện D.ABC?

A B

C

D E

F

M G

 Trình bày lời giải

Ta có: EG(ABC) nên EG là đường cao của chóp

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông EGB ta có:

Áp dung Pytago trong tam giác BMC:

Cho tứ diện ABCD gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và

CD,  là góc giữa hai đường thẳng đó Tính thể tích của tứ diện ABCD?

A

B

C

D E

 Trình bày lời giải

 Nghiên cứu lời giải

Ta xét một cách giải khác như sau:

C

D

E F

Bài 8:

Trong không gian cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đỉnh A trùng với gốc tọa độ, điểm B(a;0;0), D(0;a;0), E(0;0;b), M là trung điểm của CG.tính thể tích của khối tứ diện BDEM theo a và b?

(0 ,0 ,b)

A (0 ,0,0)

 Trình bày lời giải

M là trung điểm của CG nên:

MB, BD BE

  

= 16

23a b

2 =

2

a b

4 (đvtt)

 Nghiên cứu lời giải

Kẻ COBD, kéo dài EM cắt SO tại N, mặt phẳng (BDM) chia khối chóp thành hai khối chóp E.BDM và N.BDM nên E.BDM 1 E.BDN

2



Vì M là trung điểm của SG nên: CN = CA

Diện tích tam giác BDN:

23a2

A

D

F G H

M

N

C B E

23a

 Trình bày lời giải

Dựng tứ diện APQR, đây là tứ diện vuông tại đỉnh A, thật vậy:

AD = BC = PQ

2  BC là đường trung bình của tam giác PQR  BC = QD = DP  AD = QD = PD  AQAP

Hoàn toàn tương tự ta có: AQAR, AR AP

Ta có: VAPQR VADBQVABCD VACDP VACBR

 ABCD 1 APQR 1 1 AQR 1

Bài 2 ( Khối A - 2009)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD =

AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60 , gọi I là trung 0điểm AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SDI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a?

Bài 3 (Khối B - 2006)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a 2 ,

SA = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N là trung điểm của

AD, SC, I là giao điểm của AC và BM Tính thể tích của tứ diện ANIB?

Bài 4 (Khối A - 2008)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.DEF có độ dài cạnh bên bằng 2a Đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 2a, AC = a 3 Hình chiếu vuong góc của D lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm G của cạnh BC Tính thể tích của khối chóp G.ABC?

2 Thể tích của khối lăng trụ

Trong mục này ta sử dụng định lý sau: Thể tích của hình lăng trụ bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao

VB.htrong đó : B là diện tích đáy

h là chiều cao

Bài 1

Cho hình tứ giác đều ABCD.EFGH có khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và ED bằng 2 Độ dài đường chéo mặt bên bằng 5 Tính thể tích khối lăng trụ ?

K

D

 Trình bày lời giải

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên ED  AK ED, AB //

EF(EFD) do đó AB // (EFD) nên  d(A,EFD) = d(AB,ED)

Mà EF  (EFDA) nên EF  AK  ABAK  AK = d(A,EFD) = d(AB,ED) = 2

Đặt EK = x ( 0  x  5 ) Trong tam giác vuông AED ta có: AK2 = KE.KD  4 = x(5-x)  x2 - 5x + 4 = 0  x 1

Với x = 4 ta có AE = 2 5  V = 10 5 ( đvtt)

Bài 2

Đáy của khói lăng trụ đứng ABC.DEF là tam giác đều Mặt phẳng đáy tạo với mặt phẳng (DBC) một góc 30 Tam giác DBC có diện tích bằng 8 0Tính thể tích khối lăng trụ đó?

 Trình bày lời giải

Đặt CK = x, DK vuong góc với BC nên DKA = 30 0

Xét tam giác ADK có: cos30 = 0 AK

DK  AK = x 3 , DK = 2x Diện tích tam giác BCD: S = CK.Dk = x.2x = 8, do đó x = 2

 AD = AK.tan30 = x 30  3

3 = 2 Thể tích khối lăng trụ:

V = 1

3AD.CK.AK =

8

3(đvtt) Bài 3

Cho khối lăng trụ đứng ABCD.EFGH có đáy là hình bình hành và BAD = 0

45 , các đường chéo EC và DF tạo với đáy các góc 45 và 0 60 Chiều cao 0của lăng trụ bằng 2 Tính thể tích của lăng trụ đó?

 Trình bày lời giải

Từ giả thiết: GAC = 45 , BDF = 0 60 , AC = AG = 2, BD = 2.cot0 60 = 0 2

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EGH có đáy ABC là tam giác vuông cân, cạnh huyền bằng 2 Biết mặt phẳng (AED) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AE = 3 Góc AEB là góc nhọn, góc giũa mặt phẳng (AEC) với (ABC) bằng 60 Tính thể tích của lăng trụ? 0

C K E

Hạ EKAB(KAB)EK (ABC) Vì AEB là góc nhọn nên K thuộc đoạn AB

Kẻ KMAC  EMAC ( theo định lý ba đường vuông góc )

Cho lăng trụ ABC.DEF có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a

M là trung điểm của AD, góc BMC =  Tính thể tích của lăng trụ đó?

3 Thể tích của khối hộp chữ nhật

Trong mục này ta sẽ sử dụng định lý sau:

thể tích của khối hộp bằng tích độ dài ba kích thước

V = a.b.c = B.h trong đó: a, b, c là ba kích thước

D M

 Trình bày lời giải

tam giác EBD cân tại E ( do EB = ED ) BDEO

Mà BDAC  BD(BAO)  BDEM (2)

Từ (1) và (2) ta có: EM(ABCD) hay EM là đường cao

Đặt EAO =  , hạ EK AB  MKAK (định lý ba đường vuông góc) cos

2





Cho khối hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đáy là hình chữ nhật có

AB = 3 , AD = 7 , hai mặt bên (ABDE) và (ADEH) lần lượt tạo với đáy

các góc 45 và 0 60 , độ dài tất cả các cạnh bên đều bằng 1 Tính thể tích của 0

D N

 Trình bày lời giải

Kẻ EK(ABCD),(KABCD), KMAD(MAD), KNAB(NAB)

Theo định lý ba đường vuông góc ta có: ADEM,AB NK

Ta có: EMK = 60 , ENK = 0 45 ,đặt EK = x khi đó: EM = 0 x 0

sin 60 =

2x3

AM = EA2 EM2 =

2

3 4.x3



do đó x = 3

7Thể tích khối hộp chữ nhật:

V = AB.AD.x = 7 3 3

7 = 3 (đvtt) Bài 3

Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo bằng d, đường chéo tạo với đáy góc  , tạo với mặt bên lớn góc  ,tính thể tích của khối hộp đó?

B

C D

E

F

G H

A

 Trình bày lời giải

Đường chéo AG có hình chiếu lên (ABCD) là AC,lên mặt phẳng (BCGF0

là BG nên: GAC   , AGB  

Áp dụng định lý Pytago trong các tam giác: ACG, GBA, ABC có

CG = d.sin  , AC = d.cos  ,AB = d.sin  ,

BC = AC2 AB2 = d cos2 sin2

ta có V = AB.BC.CG = d3.sin  sin  cos2 sin2

Bài 2

Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC, qua mỗi cạnh của

tứ diện kẻ mặt phẳng song song với cạnh đối diện, các mặt phẳng nhận được xác định một hình hộp:

1) Chứng minh hình hộp nói trên là hình hộp chữ nhật?

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH, M là trung điểm của AD, mặt

phẳng (ABM) cắt đường chéo AG tại I, tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được tạo bởi mặt phẳng (EBM) cắt hộp?

 Trình bày lời giải

Gọi M, N là trung điểm của SA, BC, ta có: VS.ABC = 2.VS.MBC, các tam giác ABS, ACS có: BA = BS, CA = CS   ABS =  ACS và là các tam giác cân

Ta có: BM SA,CM SASA(MBC)  SM(MBC),

SM là đường cao, SM = x

2Tính diện tích đáy:

MB = MC =

2x14

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a, gọi là góc giữa mặt bên với mặt đáy, với giá trị nào của  thì thể tích của khói chóp là lớn nhất?

N D

 Trình bày lời giải

M, N là trung diểm của BC và AD nên SMN   , vì AD // BC suy ra AD // (SBC)  d(A,SBC) = d(N,SBC) (1)

SI = MI.tan  = a tan a

sin  cosThể tích:

thể tích V = 1

3SI.SABCD =

3 2

4a3sin .cos

Vmin sin2.cos đạt GTLN  cos  (1 - cos  ) đạt 2

GTLN

Đặt x = cos  , xét hàm số y = x - x3 trên (0,1), xét dấu hàm y ta được

Bài 3

Cho tam giác đều OAB có AB = a, trên đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng(OAB) lấy điểm M, đặt OM = x,Gọi E, F lần lượt là các hình chiếu vuông góc của A lên MB và OB.Đường thẳng EF cắt d tại N Xác định x để thể tích khối chóp ABMN là nhỏ nhất?

A O

 Trình bày lời giải

Gọi V là thể tích khối tứ diện ABMN ta có

V = VM.OABVN.OAB = 1 OAB 1 OAB

Hai tam giác  OMB  OFN suy ra: OM.ON = OF.OB = hằng số vì O,

F, B cố định, ta có: OM + ON 2 OM.ON dấu “ = ” xảy ra  OM = ON nên ( OM + ON ) đạt GTNN  OM = ON = x

Vì OM.ON = OF.OB 

2

x2

  x a 2

2

2, OB = a )

Vậy M thuộc d sao cho OM = a 2

x2

Cho hình chóp S.ABCD có 7 cạnh bằng 1, cạnh bên SC = x Tinh sthể tích của khối chóp, với giá trị nào của x thì thể tích là lớn nhất?

 Trình bày lời giải

SH là đường cao trong tam giác ÁC nên ta có:

 nên OB =

2

3 x2

 ( 0  x  3 ) Diện tích đáy SABCD = AC.OB = 1 2

2

x  1Thể tích V = 1 ABCD

V2 đạt giá trị lớn nhất là 9

4.36

6x2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB)

và (SAD) cùng vuông góc với đáy, một góc xAy450 chuyển động trên đáy quay quanh điểm A các cạnh Ax, Ay cắt CB và CD tại M, N, đặt BM =

x, CN = y, tìm x, y để thể tích của VAMCN đạt GTLN?

D S

BAM NAD45Đặt BAM   NAD      450 tan(   = 1 )

ta có AMCN ABCD ABM ADN 2 ax ay



2(x y)4



Vmax (xy) đạt GTLN khi (xy) =

2(x y)4

 đạt GTLN suy ra

2 2(x y)

a

3

  khi x = y = a( 2 1)Bài tập đề nghị

Bài 1

Cho hình chóp S.ABC trong đó SA(ABC), ABC là tam giác vuông cân tại C Giả sử SC = a Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC)

để thể tích khối chóp là lớn nhất, tìm giá giá trị lớn nhất đó?

Bài 2 ( Đề số 21- Chuyên đề luyện thi vào ĐH - Trần Văn Hạo)

Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một Xét tam diện Oxyz Điểm M cố định nằm trong góc tam diện Một mặt phẳng qua M cắt

Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C gọi khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) lần lượt là a, b, c Tính OA, OB,OC theo a, b, c để thể tích khối tứ diện là nhỏ nhất?

 Với các hệ thức về thể tich ấy sau các phép biến đổi tương đương đơn giản ta nhận được điều phải chứng minh

Bài 1

Cho tứ diện ABCD, điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của

tứ diện một khoảng r Gọi h , h , h , h lần lượt là khoảng cách từ các điểm A B C D

A, B, C, D đến các mặt đối diện

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta có:

OBCD OCAD OABD OABC

Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ một điểm nằm trong tứ diện đến các mặt đối diện của nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm nằm trong tứ diện đó?

A

O

F G

H K

Giả sử M là điểm tùy ý thuộc miền trong của tứ diện đều ABCD

Gọi d ,d ,d ,d1 2 3 4 là khoảng cách từ điểm M đến các mặt (BCD), (ACD),

3

L ( 2 1)V

162





Hướng dẫn giải

A

C O

dấu “ = “ trong (1) xảy ra khi a = b = c

Áp dụng BĐT Cauchy cho a, b, c ta có: a + b + c  3abc (2)

L3.(1 2).3 6V hay

3

L ( 2 1)V

CMR: 1 1 1 1 3 3

r  a  b c  a b c Hướng dẫn giải

A B

C

O

H

Kẻ OH  (ABCD) và giả sử OH = h

Do OABC là tứ diện vuông nên a, b, c, h là 4 đường cao của tứ diện lần lượt

kẻ từ A, B, C, O theo kết quả của bài tập 2 ta có:

1 3 3

h  a b cVậy (2) đúng suy ra đpcm, dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Từ bài toán trên ta có kết quả: h

r  Thật vậy:

Theo (1) 1 1 1 1 1

r  a  b c hDo:

Cho hình chóp tam giác có a b c

sin  sin sin, trong đó a, b, c là ba cạnh của tam giác đáy Các góc  ,  ,  tương ứng là các góc nhị diện

cankj a, b, c Chứng minh tổng khoảng cách từ một điểm O trên mặt đáy đến các mặt xung quanh của hình chóp là một hằng số