Chuyên đề Khoảng cách trong hình học không gian

CHUYÊN ĐỀ: KHOẢNG CÁCH ________________________________________ MỤC LỤC A.Mục tiêu dạy học.................................................................................................................... B. Nội dung dạy học................................................................................................................... Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian............................................. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng......................................................................... Khoảng cách từ đường thẳng đến đường thẳng............................................................ Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng............................................................... Khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng................................................................... C. Hình thức, kế hoạch dạy học.................................................................................................... D. Kiểm tra, đánh giá...................................................................................................................   A. MỤC TIÊU DẠY HỌC. Căn cứ: Chuẩn KT – KN. Yêu cầu của nhà trường Khả năng, mong muốn của HS… Mục tiêu dạy học: Về kiến thức: Học sinh hiểu, biết tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian, từ điểm đến mặt phẳng trong không gian, từ đường thẳng đến đường thẳng trong không gian, từ đường thẳng đến mặt phẳng trong không gian và từ mặt phẳng đến mặt phẳng. Về kĩ năng: Học sinh tính được khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, từ điểm đến mặt phẳng, từ đường thẳng đến đường thẳng, từ đường thẳng đến mặt phẳng và từ mật phẳng đến mặt phẳng Học sinh biết sử dụng thành thạo các công thức tính khoảng cách để áp dụng làm bài tập. B. NỘI DUNG BÀI HỌC. I.Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian. Nhắc lại kiến thức cũ. Kiến thức hình học phẳng về tính khoảng cách. Tam giác ABC có đường cao AH thì . Tam giác ABC vuông tai A, đường cao AH thì . Công thức Pi-ta-go trong tam giác ABC vuông tại A: . Định nghĩa Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng bằng khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu vuông góc của nó lên đường thẳng. Phương pháp chung. Xét bài toán: Cho điểm M và đường thẳng d, (M không thuộc d). Tính khoảng cách từ M đến d. Phương pháp: Hạ MH "⊥" d tại H, ta gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d. Và độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ M đến d. Kí hiệu:d(a,d) = MH. Tính MH. Ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC. Giải Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC, H là chân đường vuông góc hạ từ A đến SD. Ta có: SA (ABC) BC SA. Lại có: BC AD (Cách dựng) Lại có: (Cách dựng) . Chú ý: MN⫽∆ . Trường hợp đặc biệt: I là trung điểm của MN . Bài tập củng cố. Bài 1: Cho hình chóp S ABC, có đáy là tam giác vuông cân tại B và AC a  2 . SA có độ dài bằng a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC. Giải Ta có: Từ giả thiết ta có, Khi đó khoảng cách từ S tới BC chính là đoạn thẳng SB. Có : . Vậy

CHUYÊN ĐỀ: KHOẢNG CÁCH

MỤC LỤC

A Mục tiêu dạy học

B Nội dung dạy học

I. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian

II. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

III. Khoảng cách từ đường thẳng đến đường thẳng

IV. Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng

V. Khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng

C Hình thức, kế hoạch dạy học

D Kiểm tra, đánh giá

A MỤC TIÊU DẠY HỌC.

• Căn cứ:

- Chuẩn KT – KN

- Yêu cầu của nhà trường

- Khả năng, mong muốn của HS…

• Mục tiêu dạy học:

 Về kiến thức:

- Học sinh hiểu, biết tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian, từ điểm đến mặt phẳng trong không gian, từ đường thẳng đến đường thẳng trong không gian, từ đường thẳng đến mặt phẳng trong không gian và từ mặt phẳng đến mặt phẳng

 Về kĩ năng:

- Học sinh tính được khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, từ điểm đến mặt phẳng, từ đường thẳng đến đường thẳng, từ đường thẳng đến mặt phẳng và từ mật phẳng đến mặt phẳng

- Học sinh biết sử dụng thành thạo các công thức tính khoảng cách để áp dụng làm bài tập

B NỘI DUNG BÀI HỌC.

I.Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian.

1. Nhắc lại kiến thức cũ.

Kiến thức hình học phẳng về tính khoảng cách

- Tam giác ABC có đường cao AH thì

2S ABC AH

- Khoảng cách từ một điểm đếnđường thẳng bằng

khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu vuông góc của

 Hạ MH d tại H, ta gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d

Và độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ M đến d Kí hiệu:d(a,d) = MH

Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC, H là

chân đường vuông góc hạ từ A đến SD

Ta có: SA⊥

(ABC)⇒

BC⊥SA

AH

Bài 1: Cho hình chóp S ABC, có đáy là tam giác vuông cân

tại B và AC a = 2 SA có độ dài bằng a và vuông góc với

đáy Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC

BC⊥ AB⇒BC⊥ ⇒ ⊥

Khi đó khoảng cách từ S tới BC chính là đoạn thẳng SB

Có :

22

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SC Vì ∆ABC

vuông cân tại B có cạnh góc vuông bằng a

Suy ra: AC a= 2=SA ⇒ ∆SAC

vuông cân tại A

Suy ra: AK vừa là đường cao vừa là trung tuyến thuộc cạnh huyền

Vì S.ABC là hình chóp đều, O là tâm của đáy

Ta dễ thấy O cũng sẽ là trọng tâm của tam giác ABC

Mà I lại là trung điểm của đoạn BC thì khi đó A, O, I thẳng hàng

Gọi h là khoảng cách từ I đến SA

Xét tam giác SAI có:

h SO.AI 2.SAIS SO AI

Bài 4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, tất cả các cạnh bên đều bằng

2 3

3

a

a) Tính độ dài đương cao SH

b) Gọi I là trung điểm của BC, tính khoảng cách từ I đến SA

Hướng dẫn

a)

(ABC)

H là tâm của tam giác đều ABC

Tam giác vuông SHA Khi đó ta dễ tính được SH dựa vào định lý Pi-ta-go

trong tam giác vuông

b) Vẽ IK ⊥SA

Xét ∆SAI

có:

IK SA SH AI= = S

Suy ra tính được IK

II Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

1 Phương pháp giải

Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

( )P

, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Dựng OHvới Hlà hình chiếu của O lên

2.2

( ;( )) ( ;( ))( ) / /(P)

M N Q

d M P d N P Q

n

S A A A n

• Nếu O là tâm đường trọn ngoại tiếp VABC

và M là một điểm cách đều 3 điểm

, SBC là tam giác đều

cạnh avà mặt bên SBCvuông góc với đáy Tính theo a thể tích

khối chóp S ABC. và khoảng cách từ điểm C đên mặt phẳng

(SAB)

Giải:

Gọi H là trung điểm của cạnhBC ⇒SH ⊥BC

a SH

2

a

AB BC= o=

3

Cho hình chóp SABCDcó đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

32

a

SD=

, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

(ABCD)

làtrung điểm của cạnh AB Tính khoảng cách từ A

đến mặt phẳng

(SBD) Giải:

Cho hình hộp đứng ABCD A B C ' ' 'D' có đáy là hình vuông Tam giác A'AC vuông cân

Cho hình chóp SABCDcó đáy là hình chữ nhật, AD=2a

b) Gọi M là trung điểm cạnhBC.N nằm trên cạnhSB sao cho

13

b) Gọi J là giao điểm của AB và DM .

ADM ABCD

mà

1 .2

1 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song:

- Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song chính là khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng

2 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

2.1 Định nghĩa:

• Đường thẳng Δ vừa cắt vừa vuông góc với cả hai

đường thẳng chéo nhau a và b gọi là đường vuông

góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b

• Giả sử Δ cắt a và b lần lượt tại M và N Đoạn

thẳng MN gọi là đoạn vuông góc chung của hai

đường thẳng chéo nhau a và b

• Độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai

đường thẳng chéo nhau a và b

2.2.Cách tìm đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau:

• Dựng mặt phẳng (α) chứa b thoả mãn (α) song

song với a,

• Tìm hình chiếu vuông góc a′ của a trên (α),

• Tìm giao điểm N của a′ và b, dựng đường

thẳng Δ qua N và vuông góc với (α) cắt a tại M

Đoạn MN chính là đoạn vuông góc chung

giữa a và b ta dựng đoạn vuông góc chung như sau:

• Tìm giao điểm H của b và (α),

ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và B’C.Giải:

Gọi E là trung điểm của BB’

Khi đó mp(AME)//B’C nên d(AM,B’C) = d(B’C,(AME))Nhận thấy d(B,(AME)) = d(C,(AME))

Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME)

Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc nên

7

a h

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng B’C và AM bằng khoảng

cách từ B tới mặt phẳng (AME):

7 7

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và

2

2 2

HK = a + a = a ⇒ =

3 Nếu a, b không vuông góc với nhau

Cách dựng đường vuông góc chung: có 2 cách

Cách 1:

- Dựng mặt phẳng

( )α

chứa b và song song với a

- Dựng hình chiếu H của điểmA a∈

trên( )α

Ví dụ: Cho lăng trụ đứngABCA B C′ ′ ′

có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a= =

- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A

Đoạn AB chính là đoạn vuông góc chung của a, b

Ví dụ: Cho chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và

, AC vuông góc với BF Tính

( , )

d AC BF

Bài 2: Cho hình lập phươngABCD A B C D. ′ ′ ′ ′

cạnh bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB), (SAC) vuông góc với mặt đáy Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM song

song BC cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60

o

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

a

Bài 2:

HK d DM SC

HK =CH +SH ⇒ = =

 TH1: Đường thẳng và mặt phẳng có điểm chung thì khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng là bằng 0

 TH2: Đường thẳng và mặt phẳng song song thì khoảng cách giữa

đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng các từ

một điểm nào đó thuộc a đến mặt phẳng (P)

chứa a và song song song với (Q))

- Tìm giao tuyến của (P) và (Q)

Lấy I là trung điểm của AB Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD tại K ⇒

Ta có IK⊥

CD và SK⊥

CD ⇒

CD⊥ (SIK)

a

Ta có cosSIK=

HK IK

=

HK a

=

115

3.2 Bài 2:Cho hình chóp SABCD ABCD là hình vuông cạnh a

SA=2a và SA vuông góc với đáy M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD Chứng minh MNsong song với (SBD) và tính d(MN,(SBD))

Giải

Ta có M, N là trung điểm của AB và AD nên MN là đường trung bình của tam giác ABD⇒

MN song song với BD⇒

MN song song với (SBD)

Ta có SA ⊥

(ABCD) ⇒

SA⊥BDLấy I là trung điểm BD ⇒

AI⊥ BDTa suy ra

Vì AK ⊥

SI và BD⊥

AK⊥ (SBD)

2 Vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng trong không gian

+Hai mặt phẳng trùng nhau ta suy ra

(( ),( ))

= 0 +Hai mặt phẳng cắt nhau

Suy ra

(( ),( ))

=0

Bài 2: Cho chóp tam giác ABC.A’B’C’ các đáy là các tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A trên A’B’C’ trùng với trung điểm M của B’C’

Góc giữa AA’ với mặt phẳng đáy A’B’C’ bằng 60 độ Tín khoảng cách 2 đáy của chóp

Giải:

Theo giả thiết ta suy ra

( ' ' ')

Suy ra tam giác AMA’ vuông tại M

60 độ

Có AM=A’M.tan60=

3 3 2

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian 3

Bài 1:Cho chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật , AB=a, AD=a 2

.SA ⊥

đáy, M là trung điểm AD.Tính khoảng cách (SMB) và (SAC)

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là

H nằm trên AB sao cho AH=2HB Góc giữa SC và (ABC) bằng

Lời giải:

Câu 1:

2 2