HÌNH THỨC LUẬN BOGOLIUBOV TRONG NGƯNG TỤ BOSE EINSTEIN

Trên thế giới, vào năm 1995 đã xảy ra một đột biến mới trong công nghệ. Đó là việc tạo ra ngưng tụ Bose Einstein (BEC) một hiện tượng lượng tử kì lạ, được quan sát thấy ở pha loãng khí nguyên tử. Đầu thế kỉ 20 (1920) khi từ công thức lý thuyết trong ngưng tụ Bose Einstein dự đoán sẽ xuất hiện trạng thái BEC và mới chỉ nêu được tính chất cơ bản của nó.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

TRẦN THỊ HUẾ

HÌNH THỨC LUẬN BOGOLIUBOV TRONG

NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN

Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN VĂN THỤ

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Thụ, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành bài khóa luận này Thầy cũng là người giúp tôi ngày càng tiếp cận

và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện khóa luận, tôi nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảo của các thầy cô Qua đây, cho phép tôi bày tỏ sự biết ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ lý thuyết, khoa vật lý, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện khóa luận này

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Huế

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Trần Thị Huế, sinh viên khóa 2010 – 2014 khoa Vật lý –Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan đề tài: “Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Einstein”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác Nếu có gì không trung thực trong khóa luận tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Huế

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích của đề tài 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Bố cục của khóa luận 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: LÍ THUYẾT CHUNG VỀ NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN 3

1.1 Hệ hạt đồng nhất 3

1.2 Làm lạnh nguyên tử 4

1.3 Ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí boson lí tưởng 6

1.4 Quá trình thực nghiệm hình thành một ngưng tụ Bose - Einstein 10

CHƯƠNG 2: HÌNH THỨC LUẬN BOGOLIUBOV TRONG 11

NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN 11

2.1 Khí boson đồng nhất 11

2.1.1 Phép biến đổi Bogoliubov 11

2.1.2 Các năng lượng kích thích ở trạng thái cơ bản 13

2.1.3 Sự suy giảm của ngưng tụ 14

2.1.4 Năng lượng ở trạng thái cơ bản 16

2.1.5 Các trạng thái với số lượng hạt xác định 18

2.2 Sự kích thích của khí bị bẫy 19

2.3 Nhiệt độ khác không 26

2.3.1 Gần đúng Hartree - Fock 27

2.3.2 Gần đúng Popov 30

2.3.3 Sự kích thích trong khối khí đồng nhất 31

2.3.4 Phép gần đúng bán cổ điển 32

KẾT LUẬN 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

1

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trên thế giới, vào năm 1995 đã xảy ra một đột biến mới trong công nghệ Đó

là việc tạo ra ngưng tụ Bose - Einstein (BEC) - một hiện tượng lượng tử kì lạ, được quan sát thấy ở pha loãng khí nguyên tử

Đầu thế kỉ 20 (1920) khi từ công thức lý thuyết trong ngưng tụ Bose Einstein dự đoán sẽ xuất hiện trạng thái BEC và mới chỉ nêu được tính chất

-cơ bản của nó Đó là một khối các hạt đồng nhất và có spin nguyên, chúng đều ở trong cùng trạng thái cơ bản như nhau Dừng lại ở đó cho tới khi chế tạo được BEC trong thực tế, một loạt tính chất quan trọng chưa từng biết đến trước đây đã được phát hiện Đây là trạng thái của vật chất hoàn toàn mới, không giống với trạng thái vật chất nào mà con người được biết

BEC được chế tạo từ các nguyên tử kiềm và từ các nguyên tử Hidro bằng cách làm lạnh và sau đó giam khối khí loãng nguyên tử trong một bẫy từ mạnh Đây là một tập thể các nguyên tử đồng nhất, chúng có một trạng thái lượng tử, mô tả bằng cùng một hàm sóng, chúng có tính chất đồng bộ như các photon của một chùm laze Chính vì thế Gross - Pitaevskii chủ yếu nghiên cứu trạng thái dừng, dựa trên giả thuyết tất cả các nguyên tử nằm ở trạng thái

cơ bản Thực tế vẫn có một số lượng các nguyên tử không nằm ở mức cơ bản

mà nằm ở mức kích thích Nên để tính được ảnh hưởng của các nguyên tử ở mức kích thích người ta phải tính tới các dao động bề mặt Và Bogoliubov đã nghiên cứu các dao động bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein trên cơ sở phương pháp lượng tử hóa lần 2

Hướng đi này đã chế tạo ra BEC từ các nguyên tử Helli ở trạng thái kích thích và hứa hẹn mang lại nhiều triển vọng ứng dụng trong tương lai Xuất phát từ việc tìm hiểu triển vọng ứng dụng BEC tôi lựa chọn đề tài

“Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Einstein”

2

2 Mục đích của đề tài

Nghiên cứu hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Einstein nhằm giới thiệu hình thức nghiên cứu của Bogoliubov trong ngưng tụ Bose -Einstein và những ứng dụng quan trọng của BEC

3 Đối tượng nghiên cứu

Các nguyên tử không nằm ở mức cơ bản mà nằm ở mức kích thích, xét các dao động bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein trên cơ sở phương pháp lượng

tử hóa lần 2

4 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu các nguyên tử ở mức kích thích và xét các dao động bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và các phép tính giải tích toán học khác

- Đọc và tra cứu tài liệu

6 Bố cục của khóa luận

- Chương 1: Lí thuyết chung về ngưng tụ Bose - Einstein

- Chương 2: Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Eienstein

3

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: LÍ THUYẾT CHUNG VỀ NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN

Trong chương này sẽ giới thiệu về ngưng tụ Bose - Einstein, điều kiện để xuất hiện ngưng tụ Bose - Einstein, làm lạnh nguyên tử để có được ngưng tụ Bose-Einstein đối với khí boson lí tưởng và quá trình thực nghiệm hình thành một ngưng tụ Bose - Einstein

1.1 Hệ hạt đồng nhất

Ngưng tụ Bose - Einstein là một hiện tượng lượng tử kì lạ đã được quan sát thấy ở pha loãng khí nguyên tử lần đầu tiên vào năm 1995 và bây giờ là đề tài chính trong lí thuyết và thực nghiệm

Einstein đã tổng quát hóa lí thuyết của Bose thành khí lí tưởng của hệ hạt đồng nhất nguyên tử hay phân tử, mà số lượng hạt được bảo toàn Cùng thời gian đó, dự đoán với nhiệt độ đủ thấp , các hạt sẽ nằm trong cùng trạng thái lượng tử thấp nhất của hệ Hiện tượng đó gọi là ngưng tụ Bose - Einstein (BEC), xảy ra đối với các hạt bốn có tổng số spin nguyên

Ngưng tụ Bose - Einstein và quá trình ngưng tụ đó được dự đoán có nhiều thuộc tính kì lạ và trong nhiều thí nghiệm đã cố gắng sản xuất ngưng tụ Bose - Einstein ở trong phòng thí nghiệm Cuối cùng vào năm 1995, nhóm JILA ở một phòng thí nghiệm đã thu được bằng chứng thuyết phục cho ngưng

tụ Bose - Einstein trong khí loãng nguyên tử

Ở MIT đã xác minh được tính năng hấp dẫn mà ngưng tụ Bose - Einstein nguyên tử giống như laser, hay lúc này sóng nguyên tử có tính kết hợp Trong nhiều năm thí nghiệm đã thành công trong việc quan sát sự kết hợp trực tiếp và đã giải thích bước đầu “nguyên tử laser” tạo ra một chùm nguyên tử tử kết hợp, tương tự photon phát ra bởi laser quang học

Các hành vi động lực học của một chất khí ở nhiệt độ phòng không bị ảnh hưởng, bởi thực tế một nguyên tử không thể phân biệt với nguyên tử

4

khác, phù hợp với nguyên lí bất định Heisenberg, vị trí nguyên tử được đánh dấu bởi bước sóng De Broglie

2 2

khối lượng nguyên tử, T là nhiệt độ của khí Ở nhiệt độ phòng, bước sóng DeBroglie nhỏ hơn rất nhiều lần so với khoảng cách trung bình giữa các nguyên tử Sóng vật chất của các nguyên tử riêng lẻ là không tương quan với nhau hoặc là bị rối vào nhau và khí có thể được mô tả bởi thống kê Boltzmann

Vì khi khí được làm lạnh, sự nhòe tăng lên và có nhiều hơn một nguyên

tử ở mỗi hình lập phương kích thước λdB Các hàm sóng của nguyên tử liền

kề sau đó chồng chất , các nguyên tử mất đi sự giống nhau và hành vi của khí được chi phối bởi thống kê lượng tử Thống kê Bose - Einstein tăng đột ngột tạo cơ hội tìm nhiều hơn một nguyên tử trong cùng trạng thái, và chúng ta có thể nghĩ sóng vật chất trong khí boson như “dao động điều hòa” Kết quả là ngưng tụ Bose - Einstein là sự chiếm đóng vĩ mô ở trạng thái cơ bản của khí Quá trình ngưng tụ không có tương tác làmột mô hình quan trọng của thống

kê cơ học lượng tử Sự phân bố mật độ ngưng tụ được miêu tả bởi hàm sóng đơn vi mô với biên độ và pha được xác định rõ, như một lĩnh vực cổ điển

1.2 Làm lạnh nguyên tử

Ngưng tụ Bose - Einstein như một hiện tượng quan trọng trong nhiều lĩnh vực vật lí, nhưng cho đến gần đây chỉ có bằng chứng cho ngưng tụ với Hêli siêu lỏng Trường hợp của Hêli siêu lỏng, tương tác mạnh tồn tại trong chất lỏng làm thay đổi bản chất của quá trình chuyển đổi, với mục đích là đạt được BEC trong khí nguyên tử loãng, khó khăn là làm mát khí tới nhiệt độ xung quanh hoặc dưới 1µK, đồng thời ngăn chặn nguyên tử ngưng tụ trở thành chất rắn hoặc chất lỏng Ngưng tụ Bose bắt đầu với Hydro, trong thí nghiệm nguyên tử Hydro đầu tiên được làm lạnh trong tủ lạnh thành pha loãng, sau đó

5

bị giam giữ bởi một từ trường và tiếp tục làm mát bằng bay hơi, cách làm này

đã tiến rất gần tới quan sát BEC, nhưng bị giới hạn bởi sự tương tác tái tổ hợp của từng nguyên tử với các phân tử cùng dạng và bị giới hạn bởi tính hiệu quả của việc phát hiện ngưng tụ

Những kĩ thuật làm mát bằng laser, làm mát phân cực gradient và bẫy

từ tính quang học đã được phát hiện để làm lạnh và bẫy nguyên tử Những kĩ thuật này đã làm thay đổi sâu sắc bản chất làm lạnh Nguyên tử ở nhiệt độ dưới mK hiện nay thường được sử dụng trong một loạt các thí nghiệm, nguyên tử kiềm rất thích hợp với các phương pháp dựa trên laser Các con đường thành công để có ngưng tụ Bose - Einstein là sự kết hợp hài hòa của

sự phát triển kĩ thuật làm lạnh cho Hydro và kiềm, một kim loại kiềm bốc hơi lần đầu tiên làm lạnh và sau đó làm lạnh bằng bay hơi, làm mát bằng bay hơi nguyên tử, năng lượng cao thoát ra khỏi mẫu nguyên tử vì vậy năng lượng trung bình của nguyên tử còn lại giảm Sự va chạm đàn hồi làm phân bố năng lượng giữa các nguyên tử thay đổi, phân bố vận tốc của các nguyên tử này tuân theo hình thức Maxwell - Boltzmann nhưng ở nhiệt độ thấp hơn, các mẫu nguyên tử được làm lạnh bởi nhiều bậc cường độ và số lượng các nguyên

tử bị giam giữ giảm Với kim loại kiềm, khi làm mát thì làm thế nào mật độ nguyên tử trong khi làm mát không thay đổi hoặc thay đổi không đáng kể, phương pháp quang học làm việc tốt nhất ở mức độ thấp, nơi mà ánh sáng laser không hấp thụ hoàn toàn mẫu nguyên tử Mặt khác đòi hỏi phải có mật

độ nguyên tử cao để đảm bảo làm mát nhanh chóng, yêu cầu tỉ lệ va chạm đàn hồi cao, điều này phải đạt được trong một buồng chân không kéo dài tuổi thọ của các khí bị giam giữ

Cho bay hơi và làm mát thì nguyên tử mất đi phải được cách li nhiệt từ môi trường xung quanh, điều này phải được thực hiện với các lĩnh vực điện,

vì ở nhiệt độ cực lạnh nguyên tử dính ở tất cả các bề mặt, phương pháp tốt

1.3 Ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí boson lí tưởng

Theo công thức của thống kê Bose - Einstein, số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ ε đến ε +dε là bằng

2 2

Bởi vì các hạt có thể định hướng spin khác nhau, nên số trạng thái khả

dĩ ứng với cùng giá trị của spin s của hạt g = 2s + 1 Do đó, số các mức năng

3

2 3

2( )

µ< 0. (1.11)

2 0

0

0

2 0

exp

.exp

1

d d

µθ

∂

<

phương trình (1.10)

3 2 0

∞

=

−

Khi nhiệt độ đó khác không và vì vậy sẽ tồn tại một khoảng nhiệt độ nào

θθ

′

=  

Do số hạt trong hệ được bảo toàn, vì vậy kết quả vừa thu được phải được

Còn các hạt N −N′,cần phải được phân bố khác đi, chẳng hạn tất cả các số

đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng nằm ở một pha khác

mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ

Như vậy ở nhiệt độ thấp hơn T 0 một phần các hạt của khí boson sẽ nằm ở mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ được phân bố trên các mức khác theo định luật

10

Hiện tượng mà chúng ta vừa mô tả, trong đó một số hạt của khí boson chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai phần của khí boson phân bố khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose Ở nhiệt độ không

tuyệt đối (T = 0) tất cả các hạt của khí boson sẽ nằm ở mức không

1.4 Quá trình thực nghiệm hình thành một ngưng tụ Bose - Einstein

Quá trình ngưng tụ Bose - Einstein là quá trình chuyển pha: từ một hệ không

có dao động nhiệt (chỉ có dao động lượng tử) ở nhiệt độ T 0 > 0K nào đó

Có thể được diễn tả như sau: Xét một hệ khí boson lý tưởng tức là các hệ có spin nguyên và không tương tác lẫn nhau Khi nhiệt độ của hệ khá lớn so với 0K thì tất cả các hạt của hệ đều ở mức năng lượng lớn hơn 0 Giảm dần nhiệt

độ của hệ thì các hạt trong hệ cũng dần ở những mức năng lượng thấp hơn

Giảm dần nhiệt độ T 0 nào đó thì bắt đầu có những hạt (phải) có năng lượng bằng 0 tăng dần và khi tới nhiệt độ 0K thì toàn bộ số hạt của hệ đều nằm ở mức có năng lượng bằng 0.Quá trình này là quá trình chuyển pha từ pha chuyển động nhiệt về pha không có chuyển động nhiệt Đó chính là quá trình ngưng tụ Bose - Einstein

Việc tạo ra ngưng tụ đó được tiến hành cụ thể như sau: Người ta giảm nhiệt

độ bằng cách làm lạnh Sử dụng cách làm lạnh cho bay hơi các nguyên tử còn nóng, sau đó cho khối khí loãng nguyên tử này giam trong một bẫy từ mạnh

để các nguyên tử không thể va chạm vào thành bình mà chỉ quanh quẩn ở khu trung tâm Để cho các nguyên tử còn nóng có thể bay thoát khỏi bẫy,người ta dùng một từ trường yếu hoặc một sóng điện từ yếu tác động lên khối các nguyên tử Khi đó chỉ còn lại khối các nguyên tử chuyển động rất chậm, tức

là nhiệt độ khối nguyên tử đã hạ xuống rất rất thấp vào khoảng vài chục phần

tỉ kenvil cách 0K Như thế là ta tạo ra được ngưng tụ Bose - Einstein với khối khí đó

11

CHƯƠNG 2: HÌNH THỨC LUẬN BOGOLIUBOV TRONG

NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN

Trong chương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích của khí khi bị bẫy và ngưng tụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không

Các hạt boson tuân theo thống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí tưởng (không có tương tác giữa các boson) Khi nhiệt độ đạt gần độ không tuyệt đối thì tất cả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng tử với năng lượng thấp nhất Đó chính là ngưng tụ Bose - Einstein Trong trường hợp một

hệ khí lí tưởng ba chiều tồn tại nhiệt độ chuyển pha mà hệ khí sẽ ngưng tụ ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ này Đối với hệ khí boson có tương tác (mô hình khí thực), theo lí thuyết có tồn tại nhiệt độ chuyển pha mà khí boson có thể ngưng tụ ngay trong các hệ hai chiều (Bogoliubov - Pitaevskii)

2.1 Khí boson đồng nhất

2.1.1 Phép biến đổi Bogoliubov

Xét hệ được mô tả bởi Hamilton

hˆ=ε0(a aˆ ˆ+ +b bˆ ˆ+ )+ε1(a aˆ ˆ+ +baˆˆ), (2.1) với ε0và ε1là những c - số Các toán tử ˆa+và ˆa lần lượt là toán tử sinh và hủy boson trong trạng thái với xung lượng p, toán tử ˆ b+và ˆb tương ứng của trạng thái với xung lượng –p

Các giá trị riêng và trạng thái riêng của hàm Hamilton này có thể thu được bằng cách thực hiện phép biến đổi kinh điển Phương pháp này đã được chứng minh là rất hiệu quả và được sử dụng rộng rãi trong lí thuyết siêu dẫn

giá trị của u, v là thực và tùy ý Bằng cách thay (2.3) vào (2.4) và sử dụng(2.2)

ta thấy u và v phải thỏa mãn điều kiện:

Do đó các điều kiện (2.8) được viết là

ε1(cosh2t+sinh ) 2 sinh cosh2t − ε0 t t = 0, (2.10) hoặc

1 0

ổn định của hệ

2.1.2 Các năng lượng kích thích ở trạng thái cơ bản

Sử dụng các kết quả ở phần trước đó ta đưa Hamilton

Phổ năng lượng trên cho kết qủa chính xác tương ứng với kết quả đã tìm ra

p p

p p

không tương tác với năng lượng tuân theo phổ Bogoliubov Trong gần đúng

có trong Hamilton, các kích thích được hạ xuống

và thay đổi các mức năng lượng có liên quan đến phổ Bogoliubov (2.17)

2.1.3 Sự suy giảm của ngưng tụ

Số hạt được cho bởi phương trình

0 ( 0)

15

bình bằng không ở trạng thái cơ bản Về mặt ý nghĩa vật lý của biểu thức này

ta có thể nói rằng số hạng đầu tiên chính là số nguyên tử trong trạng thái ngưng tụ Số hạng thứ 2 biểu diễn sự thiếu hụt của ngưng tụ do các tương tác khi không có một kích thích thực nào Ở trạng thái cơ bản của khí không tương tác, không phải tất cả các hạt đều có xung lượng bằng không vì tương tác giữa các cặp hạt pha trộn với các nguyên tử ở các trạng thái khác Do đó xác suất của một nguyên tử đang trong trạng thái có momen xung lượng bằng không giảm Cuối cùng là điều kiện tương ứng với sự suy giảm của ngưng tụ

do sự có mặt của một kích thích thực Đối với các toán tử có trạng thái riêng

nó biến mất và do đó các toán tử tương đương có thể được viết là

Điều này cho thấy rằng khi một kích thích có xung lượng p ≠ 0 được thêm

tương ứng với kích thích có chiều hướng tiến đến bằng đơn vị, vì các kích thích cho các hạt tự do, trong khi số hạt hiệu dụng phân kì có xung lượng nhỏ

là ms/p

Sự suy giảm của trạng thái cơ bản ở nhiệt độ không được tính bằng cách xét

số hạng thứ hai trong phương trình (2.22) và thấy số hạt trên mỗi đơn vị thể tích trong trạng thái kích thích

16

hợp Sự suy giảm này có thể thu được bằng cách sử dụng kết quả (2.18) với các

2 0

2.1.4 Năng lượng ở trạng thái cơ bản

Việc tính các giá trị bậc cao của năng lượng đòi hỏi phải vượt qua được gần

bản, đó là một trong những kết quả thu được từ biểu thức (2.16)

2

0 0

bằng cách mở rộng tổng cho p lớn Trong lí thuyết nhiễu loạn, sự tương tác sẽ

được đưa vào quá trình chuyển đổi sang trạng thái trung gian, khi hai hạt tương tác tùy ý có xung lượng cao Để tính được giá trị phù hợp của năng lượng ở trạng thái cơ bản người ta phải sử dụng một tương tác hiệu dụng

U(p c ), trong đó có tính đến các trạng thái trung gian với xung lượng lớn hơn