Tóm tắt khóa luận: Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose Einstein

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: LÍ THUYẾT CHUNG VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEINTrong chương này sẽ giới thiệu về ngưng tụ Bose - Einstein, điều kiện để xuấthiện ngưng tụ Bose - Einstein, làm lạnh nguyên tử

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trên thế giới, vào năm 1995 đã xảy ra một đột biến mới trong công nghệ Đó

là việc tạo ra ngưng tụ Bose - Einstein (BEC) - một hiện tượng lượng tử kì lạ,được quan sát thấy ở pha loãng khí nguyên tử

Đầu thế kỉ 20 (1920) khi từ công thức lý thuyết trong ngưng tụ Bose-Einstein dự đoán sẽ xuất hiện trạng thái BEC và mới chỉ nêu được tính chất

cơ bản của nó Đó là một khối các hạt đồng nhất và có spin nguyên, chúngđều ở trong cùng trạng thái cơ bản như nhau Dừng lại ở đó cho tới khi chếtạo được BEC trong thực tế,một loạt tính chất quan trọng chưa từng biết đếntrước đây đã được phát hiện Đây là trạng thái của vật chất hoàn toàn mới,không giống với trạng thái vật chất nào mà con người được biết

BEC được chế tạo từ các nguyên tử kiềm và từ các nguyên tử Hidro bằngcách làm lạnh và sau đó giam khối khí loãng nguyên tử trong một bẫy từmạnh Đây là một tập thể các nguyên tử đồng nhất, chúng có một trạng tháilượng tử, mô tả bằng cùng một hàm sóng, chúng có tính chất đồng bộ như cácphoton của một chùm laze Chính vì thế Gross - Pitaevskii chủ yếu nghiêncứu trạng thái dừng, dựa trên giả thuyết tất cả các nguyên tử nằm ở trạng thái

cơ bản Thực tế vẫn có một số lượng các nguyên tử không nằm ở mức cơ bản

mà nằm ở mức kích thích Nên để tính được ảnh hưởng của các nguyên tử ởmức kích thích người ta phải tính tới các dao động bề mặt Và Bogoliubov đãnghiên cứu các dao động bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein trên cơ sởphương pháp lượng tử hóa lần 2

Hướng đi này đã chế tạo ra BEC từ các nguyên tử Helli ở trạng tháikích thích và hứa hẹn mang lại nhiều triển vọng ứng dụng trong tương lai.Xuất phát từ việc tìm hiểu triển vọng ứng dụng BEC tôi lựa chọn đề tài

“Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Einstein”

2 Mục đích của đề tài

Nghiên cứu hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Einsteinnhằm giới thiệu hình thức nghiên cứu của Bogoliubov trong ngưng tụ Bose-Einstein và những ứng dụng quan trọng của BEC

3 Đối tượng nghiên cứu

Các nguyên tử không nằm ở mức cơ bản mà nằm ở mức kích thích, xét cácdao động bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein trên cơ sở phương pháp lượng

tử hóa lần 2

4 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu các nguyên tử ở mức kích thích và xét các dao động bề mặtcủa ngưng tụ Bose - Einstein

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và các phép tính giải tích toán học khác

- Đọc và tra cứu tài liệu

6 Bố cục của khóa luận

-Chương 1: Lí thuyết chung về ngưng tụ Bose - Einstein

-Chương 2: Hình thức luận Bogoliubov trong ngưng tụ Bose - Eienstein

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: LÍ THUYẾT CHUNG VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN

Trong chương này sẽ giới thiệu về ngưng tụ Bose - Einstein, điều kiện để xuấthiện ngưng tụ Bose - Einstein, làm lạnh nguyên tử để có được ngưng tụ Bose-Einstein đối với khí boson lí tưởng và quá trình thực nghiệm hình thành mộtngưng tụ Bose - Einstein

1.1 Hệ hạt đồng nhất

Ngưng tụ Bose - Einstein là một hiện tượng lượng tử kì lạ đã được quansát thấy ở pha loãng khí nguyên tử lần đầu tiên vào năm 1995 và bây giờ là đềtài chính trong lí thuyết và thực nghiệm

Einstein đã tổng quát hóa lí thuyết của Bose thành khí lí tưởng của hệ hạtđồng nhất nguyên tử hay phân tử, mà số lượng hạt được bảo toàn Cùng thờigian đó, dự đoán với nhiệt độ đủ thấp , các hạt sẽ nằm trong cùng trạng tháilượng tử thấp nhất của hệ Hiện tượng đó gọi là ngưng tụ Bose - Einstein(BEC), xảy ra đối với các hạt bốn có tổng số spin nguyên

Năm 1995, nhóm JILA ở một phòng thí nghiệm đã thu được bằng chứngthuyết phục cho ngưng tụ Bose-Einstein trong khí loãng nguyên tử Ở MIT đãxác minh được tính năng hấp dẫn mà ngưng tụ Bose-Einstein nguyên tử giốngnhư laser, hay lúc này sóng nguyên tử có tính kết hợp

Thực tế một nguyên tử không thể phân biệt với nguyên tử khác, phù hợpvới nguyên lí bất định Heisenberg, vị trí nguyên tử được đánh dấu bởi bước

sóng De Broglie

2 22

Kết quả là ngưng tụ Bose - Einstein là sự chiếm đóng vĩ mô ở trạng thái

cơ bản của khí Quá trình ngưng tụ không có tương tác là một mô hình quantrọng của thống kê cơ học lượng tử Sự phân bố mật độ ngưng tụ được miêu

tả bởi hàm sóng đơn vi mô với biên độ và pha được xác định rõ, như một lĩnhvực cổ điển

1.2 Làm lạnh nguyên tử

Ngưng tụ Bose bắt đầu với Hydro, trong thí nghiệm nguyên tử Hydrođầu tiên được làm lạnh trong tủ lạnh thành pha loãng, sau đó bị giam giữ bởimột từ trường và tiếp tục làm mát bằng bay hơi, cách làm này đã tiến rất gầntới quan sát BEC, nhưng bị giới hạn bởi sự tương tác tái tổ hợp của từngnguyên tử với các phân tử cùng dạng và bị giới hạn bởi tính hiệu quả của việcphát hiện ngưng tụ

Các con đường thành công để có ngưng tụ Bose - Einstein là sự kết hợphài hòa của sự phát triển kĩ thuật làm lạnh cho Hydro và kiềm, một kim loạikiềm bốc hơi lần đầu tiên làm lạnh và sau đó làm lạnh bằng bay hơi, làm mátbằng bay hơi nguyên tử, năng lượng cao thoát ra khỏi mẫu nguyên tử vì vậynăng lượng trung bình của nguyên tử còn lại giảm Sự va chạm đàn hồi làmphân bố năng lượng giữa các nguyên tử thay đổi, phân bố vận tốc của cácnguyên tử này tuân theo hình thức Maxwell - Boltzmann nhưng ở nhiệt độthấp hơn, các mẫu nguyên tử được làm lạnh bởi nhiều bậc cường độ và sốlượng các nguyên tử bị giam giữ giảm Mặt khác đòi hỏi phải có mật độnguyên tử cao để đảm bảo làm mát nhanh chóng, yêu cầu tỉ lệ va chạm đànhồi cao, điều này phải đạt được trong một buồng chân không kéo dài tuổi thọcủa các khí bị giam giữ

Cho bay hơi và làm mát thì nguyên tử mất đi phải được cách li nhiệt từmôi trường xung quanh, điều này phải được thực hiện với các lĩnh vực điện,

làm lạnh bằng laser, tất cả ánh sáng được tắt và xây dựng xung quanh nguyên

tử một điện thế Nguyên tử chỉ có thể làm mát bằng bay hơi nếu thời gian cầnthiết là ngắn hơn nhiều so với thời gian sống của một nguyên tử trong bẫy, đòihỏi một cái bẫy giam kín chứa mật độ cao Các thí nghiệm lần đầu tiên quansát BEC là sử dụng bẫy cực từ tuyến tính

1.3 Ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí boson lí tưởng

Số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ ε

có thể tăng từ một giá trị âm đến giá trị lớn hơn(nhưng vẫn âm) vàµ

có thể đạt tới giá trị cực đại bằng không (µ

= 0), từphương trình (1.2)

3 2 0

Đối với tất cả các khí boson quen thuộc, nhiệt độ đó là rất nhỏ Như đối với

4He

, ngay cả đối với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ 120kg/m3 ta

được T0 = 2,19 K.

Khi nhiệt độ đó khác không và vì vậy sẽ tồn tại một khoảng nhiệt độ nào

đó thấp hơn nhiệt độ tới hạn T0, nghĩa là

0

0< <θ θ ,

(1.5)Trong khoảng nhiệt độ đó hiển nhiên µ =0

Nhưng khi đó, với θ θ< 0

điều

kiện (1.2) chỉ có thể thỏa mãn khi số hạt N′ < N

Thực vậy, với θ θ< 0

và0

N N

θθ

cần phải được phân bố khác đi, chẳng hạn tất cả các số

đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng nằm ở một pha khác

Như vậy ở nhiệt độ thấp hơn T0 một phần các hạt của khí boson sẽ nằm ở

mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ đượcphân bố trên các mức khác theo định luật

1

.exp ε 1θ

  −

 

 

(1.8) Hiện tượng mà chúng ta vừa mô tả, trong đó một số hạt của khí bosonchuyển xuống mức “năng lượng không” và hai phần của khí boson phân bốkhác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose Ở nhiệt độ không

tuyệt đối (T = 0) tất cả các hạt của khí boson sẽ nằm ở mức không.

1.4 Quá trình thực nghiệm hình thành một ngưng tụ Bose - Einstein

Quá trình ngưng tụ Bose - Einstein là quá trình chuyển pha: từ một hệ không

có dao động nhiệt (chỉ có dao động lượng tử) ở nhiệt độ T0 > 0K nào đó.

Có thể được diễn tả như sau: Xét một hệ khí boson lý tưởng tức là các hệ cóspin nguyên và không tương tác lẫn nhau Khi nhiệt độ của hệ khá lớn so với0K thì tất cả các hạt của hệ đều ở mức năng lượng lớn hơn 0 Giảm dần nhiệt

độ của hệ thì các hạt trong hệ cũng dần ở những mức năng lượng thấp hơn

Giảm dần nhiệt độ T0 nào đó thì bắt đầu có những hạt (phải) có năng lượng

bằng 0 tăng dần và khi tới nhiệt độ 0K thì toàn bộ số hạt của hệ đều nằm ởmức có năng lượng bằng 0 Quá trình này là quá trình chuyển pha từ phachuyển động nhiệt về pha không có chuyển động nhiệt Đó chính là quá trìnhngưng tụ Bose - Einstein

Việc tạo ra ngưng tụ đó được tiến hành cụ thể như sau: Người ta giảm nhiệt

độ bằng cách làm lạnh Sử dụng cách làm lạnh cho bay hơi các nguyên tử cònnóng, sau đó cho khối khí loãng nguyên tử này giam trong một bẫy từ mạnh

để các nguyên tử không thể va chạm vào thành bình mà chỉ quanh quẩn ở khutrung tâm Để cho các nguyên tử còn nóng có thể bay thoát khỏi bẫy, người ta

dùng một từ trường yếu hoặc một sóng điện từ yếu tác động lên khối cácnguyên tử Khi đó chỉ còn lại khối các nguyên tử chuyển động rất chậm, tức

là nhiệt độ khối nguyên tử đã hạ xuống rất rất thấp vào khoảng vài chục phần

tỉ kenvil cách 0K Như thế là ta tạo ra được ngưng tụ Bose - Einstein với khốikhí đó

CHƯƠNG 2: HÌNH THỨC LUẬN BOGOLIUBOV TRONG

NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN

Trong chương này sẽ giới thiệu về khí boson đồng nhất, sự kích thích của khí khi bị bẫy và ngưng tụ Bose - Einstein với nhiệt độ khác không.

Các hạt boson tuân theo thống kê Bose - Einstein Đối với mô hình khí lí tưởng (không có tương tác giữa các boson) Khi nhiệt độ đạt gần độ không tuyệt đối thì tất cả các boson tồn tại ở cùng một trạng thái lượng tử với năng lượng thấp nhất Đó chính là ngưng tụ Bose - Einstein Trong trường hợp một hệ khí lí tưởng ba chiều tồn tại nhiệt độ chuyển pha mà hệ khí sẽ ngưng tụ ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ này Đối với hệ khí boson có tương tác (mô hình khí thực), theo lí thuyết có tồn tại nhiệt độ chuyển pha mà khí boson có thể ngưng tụ ngay trong các hệ hai chiều (Bogoliubov - Pitaevskii).

2.1 Khí boson đồng nhất

2.1.1 Phép biến đổi Bogoliubov

Xét hệ được mô tả bởi Hamilton

với ε0

và ε1

là những c - số Các toán tử ˆa

+

và ˆa lần lượt là toán tử sinh và

hủy boson trong trạng thái với xung lượng p, toán tử ˆb+

và ˆb

tương ứng của trạng thái với xung lượng –p

Các toán tử sinh và hủy boson tuân theo các hệ thức giao hoán sau

và

ˆβ

theo định nghĩa

1 0

Thực hiện phép tính u2 + v2 và 2uv, sau đó xét tỉ số

1 0

εε

và thay vào (2.7) ta thu được kết quả

2.1.3 Sự suy giảm của ngưng tụ

Số hạt được cho bởi phương trình

0 ( 0)

Điều này cho thấy rằng khi một kích thích có xung lượng p ≠ 0 được thêm vào hệ , giữ N0 cố định, số hạt thay đổi một lượng

Sự suy giảm của trạng thái cơ bản ở nhiệt độ không được tính bằng cách xét số hạng thứ hai trong phương trình (2.16) và thấy số hạt trên mỗi đơn

(2.18)

là mật độ các hạt không ngưng tụ trong không gian

3ξ

, với

ξ

là độ dài tổng hợp Sự suy giảm này có thể thu được bằng cách sử dụng kết quả

(2.14) với các

2 0

2.1.4 Năng lượng ở trạng thái cơ bản

Việc tính các giá trị bậc cao của năng lượng đòi hỏi phải vượt qua được gần đúng bậc không, trong đó tương tác hiệu dụng được thay bằng

2 0

Nếu chúng ta chọn giới hạn trên của xung lượngplà lớn so với ms nhưng lại

2.1.5 Các trạng thái với số lượng hạt xác định

Các Hamilton ban đầu

0 0 0

ˆ ˆ ˆ ,

N =a a+Khi toán tử có momen xung lượng bằng không thì một số hạt không bị biến

mất Ngoài ra các toán tử

ˆ ˆp p

c c+tương ứng với

ˆ ˆp p

a a+ khi cho p≠0 Chỉ giữ đến

các số hạng bậc hai đối với toán tử

( ) ( ) ( )1/2 1/2 ( ) ( )1/2 1/2 0

đi bằng cách cho thêm một hạt để ngưng tụ Vì vậy, đối với N0 lớn,

ra sự thăng giáng mật độ Điều này khẳng định bản chất của phonon khi bị kích thích có bước sóng dài.

tương ứng với việc thăng giáng khỏi ngưng tụ Ngoài ra để cho dễ dàng

hơn khi tính đến sự thay đổi số hạt chúng ta sử dụng toán tử

có liên quan chặt chẽ với các nghiệm của các phương trình Bogoliubov, đối với trường hợp các toán tử là các hàm sóng ngưng tụ, trong ma trận kí hiệu là

i

u W

là một ma trận Pauli trong biểu diễn đơn giản Các chỉ số dưới i và tần số ω

được thay bởi

i

ε

h

Nghiệm của phương trình Bogoliubov là hàm riêng của

toán tử không Hermit

z M

σ

.

Từ các phương trình Bogoliubov (2.30) ta thấy nếu có một nghiệm có trị

liên hợp với các nghiệm ban đầu Chúng ta sử dụng các

ma trận Hermit M cho một khí bị giam giữ trong trạng thái cơ bản của nó,

đó là ma trận M dương, ta thấy trị riêng của ma trận

z M

δ

là thực Vì vậy, ta kết luận tất cả các trị riêng phải là thực.

Ngoài ra, còn một số nghiệm của phương trình Bogoliubov với trị riêng bằng không, tương ứng với vecto W(1) có các thành phần là

2

2 2

Ngoài các trạng thái riêng của phương trình Bogoliubov, còn có các kích

thích bổ sung hạt vào hệ Đối với N hạt, hàm sóng Gross-Pitaevskii

và thứ hai là thay đổi thời gian Xét sự thay đổi của hàm sóng ngưng

tụ trong trường hợp này có thể viết

d dN

d

∫

Biểu thức này tương ứng với vecto W(2), có các thành phần

d Q

Với khí boson đồng nhất trong phần này ta không xét trường hợp p = 0 Do

đó, đối với một khí đồng nhất,

1/2

1/2( ) 1

(2.39) Khi nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ đặc trưng

*

T , ta có

tự với hàm sóng (2.41) có hai điều kiện : đầu tiên là điều kiện trực tiếp và chúng được viết dưới dạng

* *( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Bây giờ chúng ta tính năng lượng của một kích thích Khi trạng thái của một hạt bị chiếm đóng vĩ mô, trong khi tất cả các hạt khác thì không Khi đó

xét các số hạng liên quan

1

N ,chúng ta có thể viết

0( ) 2 ( ) ( ) ( ),

2.3.4 Phép gần đúng bán cổ điển

Khi các hạt không tương tác có thể được mô tả bằng phép gần đúng bán cổ điển Trạng thái của

các hạt không ngưng tụ có thể được tính bằng cách sử dụng phân bố bán cổ điển với hàm

KẾT LUẬN

Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận: Hình thức luận Bogoliubov

trong ngưng tụ Bose - Einstein Nội dung chính khóa luận đề cập đến là:

- Giới thiệu về ngưng tụ Bose - Einstein, điều kiện để xuất hiện ngưng tụ Bose - Einstein, làm lạnh nguyên tử để có được ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí Bose lí tưởng và quá trình thực nghiệm hình thành một ngưng tụ

-Tính toán sự suy giảm khi hình thành ngưng tụ Bose - Einstein ở nhiệt

độ dưới T c Hạn chế với nhiệt độ T << nU 0 /k và T >> nU 0 /k và giải thích kết quả về số lượng các hạt và các kích thích nhiệt.

Một lần nữa em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn Thụ cùng các thầy cô giáo, các bạn sinh viên đã giúp đỡ đề tài của em được

hoàn thành

Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên

Trần Thị Huế